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一阶连续偏导数,则有的整个边界曲面的外侧.12.6高斯公式通量与散度定理12.5高斯(Gauss)公式12.6.1高斯(Gauss)公式

只需分别证明以下三式,即可完成定理证明.现只证第三式,其它两式可完全类似地证明.证母线平行于z轴的柱面.(取下侧)(取上侧)(取外侧)边界面三部分组成:由三重积分的计算,有再由曲面积分的计算法取下侧,取上侧,取外侧于是故同理可证合并以上三式,即得高斯公式.说明:若区域Ω的边界曲面与任一平行于坐标轴的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的曲面把Ω分为有限个闭区域,使得每个闭区域满足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消.因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正确的.高斯公式常用形式其中

向量的方向余弦.处的外法解

例1计算其中Σ为三个坐标面与平面围成的四面体的外表面侧.例2计算其中Σ为解

的外侧.不能直接用高斯公式.点(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.可先用曲面方程将被积因被积函数中的函数化简,例3

计算曲面积分其中Σ为锥面介于平面及之间的部分的下侧.解曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式,取上侧,因故故又Σ是锥面和球面及练习设f(u)是有连续的导数,计算所围立体的表面外侧.解设由高斯公式12.6.2通量与散度现进一步解释高斯公式的物理意义

可以理解为稳恒流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场.设是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量,指向Σ的外侧.则可以理解为单位时间内穿过Σ流向指定侧的流量,记为Ф.

说明流出Σ的流体的质量多于流入的,表明Σ内有“源”;说明流出Σ的流体的质量少于流入的,表明Σ内有“漏”;说明流出与流入的流体的质量相等.用Ω的体积V去除上式两端,得此式表示单位时间内,单位体积所流出的流体由积分中值定理,当Ω向内不断收缩逐渐成一点M时,取极限得质量的积分平均值.即点M的源头强度.

体积的变化率,反映了流速场在点M流量对定义12.6为向量场,设其中P、Q、R具有一阶连续的偏导数,其指向外侧的单位Σ是场内的一有向封闭曲面,法向量即向曲面Σ的通量.

称为向量场通过有记为在点M的散度,称为向量场

散度是通量对体积的变化率,体现了流速场在点向外散发流体的能力.表明点M有正源,即流体的确是离开点M表明点M有负源,即流体是由点M周围向周围扩散;表明点M无源.向点M汇集;高斯公式可写成下面由散度的

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