2024-2025学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数教案 文 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数教案文新人教A版选修1-1学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的教学内容来自2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数。本节课主要通过导数的概念和性质，研究函数的单调性。具体内容包括：

1.单调增函数和单调减函数的定义及性质；

2.利用导数判断函数的单调性；

3.单调区间与极值的判断；

4.利用导数解决实际问题，如最优化问题等。

本节课的内容是学生进一步深入理解导数的重要环节，通过本节课的学习，学生将能够掌握利用导数研究函数单调性的方法，并能运用到实际问题中。核心素养目标分析本节课的核心素养目标分析主要包括以下几个方面：

1.逻辑推理：通过学习函数的单调性，使学生能够理解并运用导数的概念和性质判断函数的单调性，培养学生的逻辑推理能力。

2.数学建模：使学生能够将导数的概念和性质应用到实际问题中，如最优化问题，培养学生解决实际问题的能力。

3.直观想象：通过图象分析函数的单调性，使学生能够建立数学与图象之间的联系，培养学生的直观想象能力。

4.数学运算：使学生能够运用导数判断函数的单调性，并进行相关的计算，提高学生的数学运算能力。

5.数据分析：通过实例分析，使学生能够理解导数在研究函数单调性中的作用，培养学生分析数据、总结规律的能力。

6.数学抽象：使学生能够从具体的实例中抽象出导数的概念和性质，培养学生数学抽象的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了导数的基本概念、求导法则以及导数的几何意义。同时，学生应该具备一定的函数知识，如函数的定义、图像以及基本性质。此外，学生还需要了解一些初等数学的知识，如极限的概念。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：对于高中阶段的学生，数学学科的抽象性和逻辑性可能使一部分学生感到困难。因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习兴趣，尽量将抽象的数学概念与生活实际相结合，激发学生的学习兴趣。在能力方面，学生需要具备一定的逻辑推理能力和数学运算能力。在学习风格方面，学生可能存在差异，有的学生喜欢通过图象来理解概念，有的学生则更注重文字和公式的推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习本节课的过程中，学生可能遇到的困难和挑战主要包括以下几点：导数的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解和掌握；利用导数判断函数的单调性时，学生可能对符号和运算规则掌握不牢固；在解决实际问题时，学生可能难以将导数的知识运用到具体问题中。针对这些困难和挑战，教师需要在教学过程中注重引导和帮助，通过具体实例和练习题让学生加深对知识点的理解，提高运用能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数的教材或学习资料，以便于学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。例如，可以准备一些函数图像和导数图像的对比图，以帮助学生直观地理解函数的单调性和导数之间的关系。此外，还可以准备一些动画视频，演示导数的概念和性质的推导过程，以提高学生的学习兴趣和理解能力。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。例如，可以准备一些滑轮和绳子等实验器材，让学生通过实际操作来体验导数的概念和性质。同时，要确保实验环境的安全性，避免学生在实验过程中受伤。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。将教室布置成适合学生分组讨论和实验操作的形式，以便于学生能够更好地进行合作学习和实践操作。例如，可以设置一些小组讨论区，让学生在讨论和交流中深入理解和掌握函数的单调性和导数之间的关系。同时，还可以设置一些实验操作台，让学生通过实际操作来验证和巩固所学的知识。

此外，教师还应该准备一些练习题和案例分析题，以便于学生在课堂练习和课后复习中巩固所学知识。同时，可以准备一些解答和解析，为学生提供参考和指导。

最后，教师还应该准备一些教学反馈和评价工具，如学生学习成绩记录表、学习态度评价表等，以便于对学生的学习情况进行全面了解和评估。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对函数单调性与导数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道什么是函数的单调性吗？它与导数有什么关系？”

展示一些关于函数图像和导数图像的对比图，让学生初步感受函数单调性和导数之间的关系。

简短介绍函数单调性的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.导数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解导数的基本概念、求导法则和导数的几何意义。

过程：

讲解导数的定义，包括其主要组成元素和求导法则。

详细介绍导数的几何意义，使用图象帮助学生理解。

3.导数在研究函数单调性中的应用（15分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解导数在研究函数单调性中的特性和重要性。

过程：

分析一些典型的函数图像，引导学生思考如何利用导数判断函数的单调性。

讲解单调增函数和单调减函数的定义及性质，让学生全面了解导数在研究函数单调性中的应用。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与导数和函数单调性相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对导数和函数单调性的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调导数和函数单调性的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括导数的定义、求导法则、导数的几何意义以及导数在研究函数单调性中的应用。

强调导数和函数单调性在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用导数解决实际问题。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于导数在研究函数单调性中的应用的短文或报告，以巩固学习效果。教学资源拓展1.拓展资源

（1）函数单调性与导数的数学历史：介绍函数单调性与导数的概念是如何在数学发展史上逐渐形成的，让学生了解数学的发展过程，提高对数学的兴趣。

（2）生活中的导数：举例说明导数在生活中的应用，如物理学中的速度、加速度的概念，经济学中边际效应的原理等，帮助学生理解导数在现实世界中的重要性。

（3）导数与函数图像：分析导数与函数图像之间的关系，如何通过导数图像判断函数的单调性，让学生更深入地理解导数的几何意义。

（4）数学游戏：设计一些与导数和函数单调性相关的数学游戏，如导数计算游戏、单调性判断游戏等，让学生在游戏中学习，提高学习兴趣。

2.拓展建议

（1）阅读数学故事：建议学生阅读一些关于导数和函数单调性的数学故事，了解这些概念在数学发展史上的应用和意义，提高对数学的兴趣和认识。

（2）观察生活中的导数：鼓励学生观察生活中的导数现象，如物理运动、经济学现象等，并尝试用学到的导数知识进行解释和分析。

（3）绘制函数图像：让学生尝试绘制一些常见函数的图像，并观察导数在函数图像上的表现，加深对导数和函数单调性的理解。

（4）参与数学竞赛：鼓励学生参加与导数和函数单调性相关的数学竞赛，提高自己的数学水平和解决问题的能力。

（5）小组研究项目：组织学生进行小组研究项目，选择一个与导数和函数单调性相关的课题进行深入研究，提高学生的研究能力和团队合作能力。典型例题讲解为了更好地巩固本节课所学的导数在研究函数单调性中的应用，下面将举例讲解一些典型的题目。

例1：已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，求证：函数在区间（0，1）上单调递增。

解：首先求出函数的导数：

f'(x)=3x^2-6x+3。

由于导数f'(x)是一个二次函数，其开口向上，且判别式Δ=(-6)^2-4*3*3=0，所以f'(x)在实数范围内恒大于等于0。

因此，函数f(x)在区间（0，1）上单调递增。

例2：已知函数f(x)=x^2+2x+1，求证：函数在区间（-∞，-1）上单调递减，在区间（-1，+∞）上单调递增。

解：首先求出函数的导数：

f'(x)=2x+2。

当x<-1时，f'(x)<0，所以函数f(x)在区间（-∞，-1）上单调递减；

当x>-1时，f'(x)>0，所以函数f(x)在区间（-1，+∞）上单调递增。

例3：已知函数f(x)=e^x，求证：函数在定义域上单调递增。

解：首先求出函数的导数：

f'(x)=e^x。

由于e^x>0对所有x∈R都成立，所以函数f(x)在定义域上单调递增。

例4：已知函数f(x)=ln(x)，求证：函数在区间（0，+∞）上单调递增。

解：首先求出函数的导数：

f'(x)=1/x。

当x>0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递增。

例5：已知函数f(x)=x^2-4x+4，求函数的单调递增区间。

解：首先求出函数的导数：

f'(x)=2x-4。

令f'(x)>0，解得x>2；

令f'(x)<0，解得x<2。

所以函数f(x)的单调递增区间为（2，+∞）。作业布置与反馈作业布置：

1.请学生完成课本第xx页的练习题1-5，加深对导数在研究函数单调性中的应用的理解。

2.请学生选择一个与导数和函数单调性相关的实际问题，运用所学知识进行分析和解决，并在下节课前提交报告。

3.请学生绘制一个函数的图像，并标注出导数为正和导数为负的区间，以此判断函数的单调递增和单调递减区间。

作业反馈：

1.在下节课开始前，我会及时批改学生的练习题，并针对每个学生的作业给出详细的反馈。我会指出学生在解题过程中的错