浙江省2024年第一届启航杯联考数学试题

1第一届启航杯数学试题一,选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A={x|2|x|⩽4,x∈Z},则A的元素数量是()A.2B.3C.42−13.椭圆E:+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,G为E上一点,则当△GF1F2的面积最大时,7F1GF2的取值为()A.B.C.D.4.已知棱长为6的正方体与一个球相交,球在正方体的每个面上的交线都为一个面积为16π的圆,则该球的表面积为()5.已知的二项式系数之和为64,则的展开式中常数项为()6.已知xx−1⩾lnx+对∀x>0恒成立,则a的最大值为()7.已知an=/,an∈且a1=cos,则a1a2a3的值为()A.B.C.D.8.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为p(0<p<1),她掷了N次硬币,最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X表示每掷N次硬币中正面向上的次数,现以使P(X=10)最大的N值估计N的取值并计算E(X).(若有多个N使P(X=10)最大,则取其中的最小N值).下列说法正确的是()A.E(X)>10B.E(X)<10C.E(X)=10D.E(X)与10的大小无法确定2二,选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.如图所示,在棱长为2的正方体中,M为BB1的中点,G为D1B1靠近B1的四等分点,H为线段MG上一动点,则()A.三棱锥H−D1AC的体积为定值B.∠AMC=∠D1MCC.HD的最小值为,则λ−µ=10.设定义域为(0,+∞)的单调递增函数f(x)满足f(x)=f(x−1)+x(x≥2),且f(1)=1,则下列说法正确的是()A.当x∈N+时,fC.不等式f(√x)≤f(x)的解集为[1,+∞)D.若∃M>0使得x>1时,恒成立,则a的最小值为211.数学有时候也能很可爱,如题图2所示是小D同学发现的一种曲线,因形如小恐龙,因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线C1:x2+y3−axy=20,下列说法正确的是()A.该曲线与x=8最多存在3个交点B.如果曲线如题图2所示(x轴向右为正方向,y轴向上为正方向),则a>0C.存在一个a,使得这条曲线是偶函数的图像D.a=3时,该曲线中x≥8的部分可以表示为y关于x的某一函数3二,填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.随着某抽卡游戏在班级内流行,矜持统计了6位同学获得某角色的抽取次数,结果如下:13.已知正四面体O-ABC棱长为4,棱OA上有一点A1,棱OB上有一点B1,棱OC上有一点C1.若1B11C11C114.设函数f(x)=ex-ax-alnx(a>0)的极小值点为x0,若y=f(x)的图像上不存在关于直线x=x0对称的两点,则x0的取值范围为为.三,解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知c=3，S△ABC=b2sinC.(1).求a的取值范围(2).求∠B最大时,△ABC的面积.已知双曲线C:x2-y2=8,圆A:(x-2)2+(y-2)2=r2,其中r>0.圆A与双曲线C有且仅有两个交点D,E线段DE的中点为Gk2.(1).记直线AG的斜率为k1,直线OG的斜率为k2,k2.(2).当直线DE的斜率为3时,求G点坐标.4浙里启航团队举办了一场抽奖游戏,玩家一共抽取n次.每次都有的概率抽中,的概率没抽中.小明的抽奖得分按照如下方式计算:1.将玩家n次抽奖的结果按顺序排列,抽中记作1,未抽中记作0,形成一个长度为n的仅有01的序列.2.定义序列的得分为:对于这个序列每一段极长连续的1,设他长度为t,那么得分即为t2.3.序列的得分即为每一段连续的1的得分和.例如:如果玩家A抽了7次,第1,3,4,5,7次中奖,那么序列即为1,0,1,1,1,0,1,得分为12+32+12=11.可能用到的公式:若X,Y为两个随机变量,则E(X)+E(Y)=E(X+Y).(1).若n=3,清照进行了一次游戏.记随机变量X为清照的最终得分,求E(X).(2).记随机变量Z表示长度为n的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度,求E(Z)(3).若n=k,清照进行了一次游戏.记随机变量A为清照的最终得分,求E(A).定义:[x]表示x的整数部分,{x}表示x的小数部分,例如[1.2]=1,{1.75}=0.75.数列an满足其中a1=m.若存在k∈N+,使得当n>k时,an=an+1恒成立,则称数m为木来数.(3).若m为大于1的有理数.且mZ.求证:m为5称代数系统G(x,◦)为一个有限群,如果1.X为一个有限集合,◦为定义在X上的运算(不必交换),∀a,b∈X,a◦b∈X4.∀a∈X,存在唯一元素a−1∈X使a◦a−1=a−1◦a=e,a−1称为a的逆元有限群H(Y,◦)称为G(X,◦)的子群.若Y⊆X,定义运算a◦H={a◦h|h∈H}(1).设H为有限群G的子群,a,b为G中的元素.