高中数学 第2章末质量评估 北师大版必修2

章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每 小题5分，共50分)1．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于()．A．2B．3C．9D．－9解析由kAB＝kAC，得b＝－9.答案D2．过原点且在x，y轴上的截距分别为p、q(p、q均不为0)的圆的方程是()．A．x2＋y2－px－qy＝0B．x2＋y2＋px－qy＝0C．x2＋y2－px＋qy＝0D．x2＋y2＋px＋qy＝0解析由题意知，圆过原点，且在x，y轴上的截距分别为p、q，则圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，\f(q,2)))且常数项为0.答案A3．直线Ax＋By＋C＝0，经过第一、二、三象限，则()．A．AB＞0B．AB＜0C．AB＝0D．A与B的符号不确定解析由题意，知直线的倾斜角为锐角，则k＝－eq\f(A,B)＞0，则AB＜0.答案B4．已知正方体不在同一侧面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是()．A．16B．192C．64D．48解析要求正方体的体积，只要知道它的棱长问题就解决了．根据已知A、B为不在同一侧面上的两顶点，我们可以求出该正方体的对角线长为：|AB|＝eq\r(3＋12＋－2－22＋3＋12)＝4eq\r(3)，∴正方体的棱长为eq\f(\r(3),3)|AB|＝4.∴正方体的体积是43＝64.答案C5．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为()．A．－4B．20C．0D．24解析垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，故－eq\f(a,4)×eq\f(2,5)＝－1，∴a＝10，l1：10x＋4y－2＝0.将(1，c)代入，得c＝－2；将(1，－2)代入l2：得b＝－12.则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.答案A6．曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,12))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))解析首先明确曲线y＝1＋eq\r(4－x2)表示半圆，由数形结合可得，eq\f(5,12)＜k≤eq\f(3,4).答案D7．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线斜率是0，则AC、AB所在直线斜率之和为()．A．－2eq\r(3)B．0C.eq\r(3)D．2eq\r(3)解析kAB＝tan60°＝eq\r(3)，kAC＝tan120°＝－eq\r(3)，所以kAB＋kAC＝0.答案B8．过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，且|MP|＝|MQ|，则l的方程是()．A．x－2y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x＋y－5＝0D．x＋2y－4＝0解析由题意可知，M为线段PQ的中点，Q(0,2)，P(4,0)，可求得直线l的方程x＋2y－4＝0.答案D9．直线y＝x＋b与曲线x＝eq\r(1－y2)有且只有一个公共点，则b的取值范围是()．A．|b|＝eq\r(2) B．－1＜b＜1或b＝－eq\r(2)C．－1＜b≤1 D．－1＜b≤1或b＝－eq\r(2)解析如图，由数形结合知，选D.答案D10．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)、B(－5,2,1)、Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，2，3))，则它在yOz平面上射影图形的面积是()．A．4B．3C．2D．1解析△ABC在yOz平面上的射影点的坐标分别为(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在yOz平面上的射影图形是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.答案D二、填空题(每小题5分，共30分)11．在空间直角坐标系Oxyz中，点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正射影，则|OB|＝________.解析易知点B坐标为(0,2,3)，故OB＝eq\r(13).答案eq\r(13)12．若平行直线2x＋3y－6＝0和4x＋6y＋a＝0之间的距离等于eq\f(5\r(13),26)，则a的值是________．解析2x＋3y－6＝0,2x＋3y＋eq\f(a,2)＝0，d＝eq\f(5\r(13),26)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－6－\f(a,2))),\r(22＋32)).∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6＋\f(a,2)))＝eq\f(5,2)，解之得a＝－7或a＝－17.答案－7或－1713．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_____________________________________________________．解析将x2＋y2－4x＋2y－11＝0配方，得(x－2)2＋(y＋1)2＝16，则圆心A(2，－1)，设PA的中点M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)代入方程x2＋y2－4x＋2y－11＝0.化简，得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.答案x2＋y2－4x＋2y＋1＝014．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．解析设M(0，y,0)，由12＋y2＋4＝1＋(－3－y)2＋1，可得y＝－1，故M(0，－1,0)．答案(0，－1,0)15．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为________． 解析如图所示，只有当直线l与OA垂直时，原点到l的距离最大， 此时kOA＝eq\f(1,2)，∴kl＝－2， ∴方程为y－1＝－2(x－2)， 即2x＋y－5＝0. 答案2x＋y－5＝016．直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a＜3)相交于两点A，B，弦AB的中点为 (0,1)，则直线l的方程为________．解析圆心为(－1,2)，弦中点与圆心连线的斜率为eq\f(2－1,－1－0)＝－1， 由圆的性质知，弦AB所在直线即l的斜率为k＝1.故l的方程为x－y＋1＝0. 答案x－y＋1＝0三、解答题(本大题共4小题，共40分) 17．(10分)求过点M(2,3)且与点P(1,0)的距离是1的直线方程． 解当直线的斜率存在时，设过点M(2,3)且与点P(1,0)距离是1的直线的方 程是y－3＝k(x－2)，将其化简为一般形式得kx－y－2k＋3＝0.由点到直线的 距离公式得P点到直线的距离是1＝eq\f(|k－2k＋3|,\r(k2＋1))，解得k＝eq\f(4,3)，所求直线方程 为4x－3y＋1＝0. 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2时也满足已知条件． 综上所述可知，所求直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.18．(10分)直线l：3x＋4y－10＝0与曲线C：x2＋y2－5y＋p＝0交于A，B两点， 且OA⊥OB，O为坐标原点，求实数p的值． 解直线l和曲线C的方程联立，得 eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－10＝0，,x2＋y2－5y＋p＝0，))消去x，得25y2－125y＋100＋9p＝0. ∴y1y2＝eq\f(100＋9p,25). 同理，x1x2＝eq\f(16p－100,25). ∵OA⊥AB，∴eq\f(y1y2,x1x2)＝－1. ∴eq\f(\f(100＋9p,25),\f(16p－100,25))＝－1， 解得p＝0.19．(10分)如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上中线CE所在直线的方程为x ＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线 BC的方程． 解设B(x0，y0)， 则AB中点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－8,2)，\f(y0＋2,2)))， 由条件可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－5y0＋8＝0，,\f(x0－8,2)＋2·\f(y0＋2,2)－5＝0，)) 得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－5y0＋8＝0，,x0＋2y0－14＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝6，,y0＝4，)) 即B(6,4)，同理可求得C点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC的方程为eq\f(y－0,4－0)＝eq\f(x－5,6－5)，即4x－y－20＝0.20．(10分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝ 9. (1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交． (2)求直线l被圆C所截得的弦长的最小值． (1)证明法一设圆心C(3,4)到动直线l的距离为d， 则d＝eq\f(|m＋3·3－m＋2·4＋m|,\r(m＋32＋m＋22)) ＝eq\f(1,\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(5,2)))2＋\f(1,2)))≤eq\r(2). ∴当m＝－eq\f(5,2)时，dmax＝eq\r(2)＜3(半径)． 故动直线l总与圆C相交．法二直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0. 令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al