高中数学恒成立问题的解析及练习

高考数学快速提升成绩题型训练恒成立问题

1.（1）若关于X的不等式/一如-。>0的解集为（-8,+8）,求实数4的取值范围;

（2）若关于x的不等式/一以-4«-3的解集不是空集,求实数。的取值范围.

2.三个同学对问题“关于x的不等式/+2x+8Nax在［1,12］上恒成立，求实数a

的取值范围”提出各自的解题思路.

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.

丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”.

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求。的取值范围.

3.若对任意的实数x,sin?x+2kcosx-24-2<0恒成立，求攵的取值范围。

4.对于满足la区2的所有实数a,求使不等式/+6+1>2。+尸恒成立的彳的

取值范围。

5.已知向量a=，,x+l),B=(1-元/),若函数f(x)^a-b在区间(一1,1)上是增函数,

求大的取值范围.

6.已知函数/(%)是定义在［-1,1］上的奇函数，且/⑴=1,若。力e［~\,i］,a+b^Q,

有3改〉o.

a+h

⑴证明/(幻在上的单调性；

⑵若/(x)W/-2am+1对所有a£1,1］恒成立，求〃?的取值范围。

7.已知函数/(x)=x3+3ax-l,g(x)=r(x)-ax-5,W1/'(x)是/(x)的导函数.

(1)对满足-的一切。的值，都有g(x)<0,求实数x的取值范围；

⑵设。=->，当实数〃?在什么范围内变化时，函数y=/(x)的图象与直线

y=3只有一个公共点.

8.设aeR,二次函数/。)=仆2_2%一2a.若/(x)>0的解集为A,

8={xll<x<3},An8/0,求实数a的取值范围.

9.已知函数/(x)=lnx,g(x)=~ax2+bx,awO.

若b=2,且Mx)=/(x)—g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围;

4光2_7

10.（稍难）已知函数/（》）="一-,XG[O,1].

2-x

（1）求/（X）的单调区间和值域；

（2）设aN1,函数g（x）=l-342x-2a,xe[0,l],若对于任意X|G[O,1]，总存在

X。e[O,l]使得g（x0）=/区）成立，求。的取值范围.

11.（难）设x=3是函数/（x）=（x?+ax+b）e3r（xeR）的一个极值点.

⑴求。与匕的关系式（用”表示。），并求/（x）的单调区间；

⑵设a>0,g（x）=（a2+?"若存在04引0,4]使得|/©）-g&Ml成立,

求a的取值范围.

答案：

1.(1)设/(x)=x2-ax-a.则关于x的不等式-ax-a〉0的解集为

(-00,4-00)0/(%)>0在(-00,+00)上恒成立<=>/min(3)>。，

即/mm(x)=—生子>0,解得一4<a<0

(2)设/(x)=/—ax—a.则关于X的不等式炉-ax-aw-3的解集不是空集

O/(X”-3在(-8,+00)上能成立"九上)"3,

即九n(x)=-"普"3,解得a4-6或a22.

2.关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想

的反映.

设/(x)=x2+25+,_5x],g(x)=ax.

甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个

函数，

设/(x)=x2+25+|x3-5x21,g(x)=ax

其解法相当于解下面的问题：

对于Xie[l,12],x2G[1,12],若/(xj2g(z)恒成立,求a的取值范围.

所以,甲的解题思路与题目xe[l,12],/(x)Ng(x)恒成立，求a的取值范围的

要求不一致.因而，甲的解题思路不能解决本题.

按照丙的解题思路需作出函数〃力=/+25+卜3-5》2]的图象和

g(x)=ax的图象，然而，函数/(x)的图象并不容易作出.

由乙的解题思路，本题化为斗在xe[l,12]上恒成立，等价于xw[l,12]

时,△DNa成立.

%_L

由△^=%+§+2在户2拒€[1,12]时,有最小值2+4拒,于是，o<2+4V2.

XX

3.依定义/(x)=x2(l-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,

则/'(工)=-31+2x+t.

/(x)在区间(-1,1)上是增函数等价于r(x)>0在区间(-1,1)上恒成立；

而r(x)>0在区间(-1,1)上恒成立又等价于，>31—2x在区间(-1,1)上恒成

立；

设g(x)=3x2-2x,xe(-1,1)

进而f>g(x)在区间(-1,1)上恒成立等价于摩gmax(x)，Xe(-1,1)

考虑到g(x)=3x2-2x,xe(―1,1)在11,；)上是减函数,在上是增函数，

则gmax(x)=g(T)=5.于是，亡的取值范围是摩5.

4.解法1.由题意g(x)=3x?-ax+3a-5,这一问表面上是一个给出参数。的

范围，解不等式g(x)<0的问题，实际上，把以x为变量的函数g(x),改为以a为

变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即

令夕(4)=(3-％”+3/-5,(-1<a<1),贝!J对-恒有g(x)<0,即

(p(a)<0,从而转化为对-iWaWl,夕(4)<0恒成立，又由夕(。)是a的一次函数,

因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此

只需［吗即已x—2<0,

［奴-1)<0［3X2+X-8<0.

9

解得，vxvl.

3

故时，对满足-iVaWl的一切a的值，都有g(x)<0.

解法2.考虑不等式g(元)=3x2—ax+3a—5<0.

由—知，/=。2_36。+60〉0,于是,不等式的解为

a-yja2-36。+60+-36^+60

---------------<x<---------------.

66

但是,这个结果是不正确的，因为没有考虑。的条件,还应进一步完善.

M•!'几/\u—\ci~—36。+60./\a+J。——36a+60

为此，以g(Q)=---------------,力)二-----------------；-----------------,

66

不等式化为g(a)<x</7(〃),T〈aKl恒成立，即

Jg(\a)/max<x<h(\a)/mm,-1<a<1.

由于g(q)=m工亘在—iwawi上是增函数，则

6

2

gS)max=g⑴=一葭

/?(。)="包请””在TWOWI上是减函数，则/7(吟血=力(1)=1.所以，

2,

--<X<1.

3

故时，对满足的一切a的值，都有g(x)<0.

5.解法一：由题设，awO.

f(x)=0的两个根为Xj=—J2T——,x2——卜J2T——,显然,xl<0,x2>0.

a\aci\a

(1)当Q<0时，A={x|Xj<x<x2},

4n6w0z>1<v=^—卜J2T——>1ci<-2.

ava

(2)当a>0时，A=|x|x<Xj}U{x|x>x2},

APlBw0<x=y>尤2<3—FJ2H——<3==^a>-.

a>1a7

于是,实数a的取值范围是(-8,-2)鸣,+8)

解法二：

(1)当a<0时，因为〃x)的图象的对称轴5<0,则对xe(l,3),/⑴最大,

/max(x)=/(l)="2-2a>0.na<-2.

(2)当a>0时,九式“，》€(1,3)在/⑴或“3)实现,

由/(1)=-2—a<0J(3)=7a—6,则/(3)=7a—6>Ona>?

于是,实数。的取值范围是(-8,-2川仁,+，|.

这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考.

6.只研究第(I)问.b=2时,〃(x)=Inx-gax?-2x,

r-j.i...1-ax"+2x—1

贝lj/z(x)x=ax-2=------------.

XX

因为函数〃(x)存在单调递减区间，所以“(X)<0有解.

由题设可知，Mx)的定义域是(0,+00),

而/，(x)<0在(o,+8)上有解,就等价于〃'(x)<0在区间(0,4-00)能成立,

即a>士-2,xe(0,+oo)成立，进而等价于a>“min(X)成立，其中

无X

U

"min(x)=T・

于是，a>-1,

由题设a#0,所以a的取值范围是(-l,0)U(0,+8)

8.本题的第(H)“若存在4/2€[0,4]使得忱(。)­©)卜1成立，求。的取

值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数/(x)在xe[0,4]的值域与g(x)在

xe[0,4]的值域的交集非空，则一定存在e[0,4]使得|/1)-g&)|<1成立,

如果函数“X)在xe[0,4]的值域与g(x)在xe[0,4]的值域的交集是空集，只要这

两个值域的距离的最小值小于1即可.

由(I)可得，函数“X)在xe[0,4]的值域为[-(2。+3川,。+6],

又g(x)在xe[0,4]的值域为a2+^,p+^e4,

存在0④e[0,4]使得|/(/-g©)|<1成立，等价于&稣(x)-g,疝,(x)|<1或

|gmax(x)Tmin(x)|<l，容易证明，>。+6.

于是，卜+升(”+6)<l，no<a<*

a>0.

9.(])对函数/(x)求导，得/，(X)=_4X2+16X_7__(2X_1)(2X-7)

(2-x)2(2-x)2

令八x)=0解得x」期」.

22

可以求得，当xe(O,g)时，/(x)是减函数；当xe(g,l)时，/(x)是增函数.

当xe[O,l]时，/(x)的值域为[-4,—3].

(2)对函数g(x)求导，得g'(x)=3(一一/).

因为当xe(O,l)时，g,(x)<3(l-a2)<0.

因此当xe(0,1)时，g(x)为减函数，

从而当xe[0,1]时有g(x)e[g(l),g(0)].

又g⑴=1-2"3a2,g(0)=—2a,

即时有g(x)的值域为是[1-2a-3a2,-2a].

如何理解“任给.e[0,1],/(x,)e[一4,一3],存在与e[0,1]使得g(x0)=/(x,)”,

实际上,这等价于/(x)值域是g(x)值域的子集，即[1-2a-3/,—2a]n[T,-3].

这就变成一个恒成立问题，/(x)的最小值不小于g(x)的最小值，/(x)的最大值不

大于g(x)的最大值

1-2G—3ci~4-4,©

n即n<

—2a>-3.②

解①式得3或aJ

解②式得

又4,故a的取值范围为

11.分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(D〃=3〃z+6(II)当

机<0时，/(X)在1-8,1+2]单调递减，在(1+2,1)单调递增，在(1,+8)上单调递

mJm

减.(IH)为/\x)>3m对]£[一1,1]恒成立，即3〃？(x-1)[_x-(1+—)]>3m

m

7

Vm<0,/.(x—1)Lx~(1+—)]〈1(*)

m

1°x=l时，(*)化为0〈1恒成立，m<0

2°xWl时，*/xG[—1,1],2Wx—1<0

71

运用函数思想将(*)式化为1)——L,令LX—1,贝卜£[-2,0],

mx-\

记=则g(f)在区间[-2,0]是单调增函数；

13

，g«)min=g(-2)=-2-M=-5

2344

由(*)式恒成乂，必有一<——=>——<m,又〃2<0,则—<加<0

m233

4

综合1。、2。得——〈根<0

3

分析二：(HI)中的ff(x)>3m,即mx2一2(机+l)x+2>0对xE恒成立，

2222

•/m<0/.x2(m+1)%H—<0BPx2(m+l)x+—<0,xw[-1,110

tntnmm

\7

运用函数思想将不等式转化为函数值大于0,设=+再

mm

运用数形结合思想，可得其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

(22

...rg(-l)<0=1+2+嬴+/<0解之得/<相又“<0所以/<相<0

g⑴<0-1<033

即用的取值范围为(-20)。

通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到简化，其中也包含着函数思

想和数形结合思想的综合运用。

13.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一

个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在［-2,

2］内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。

解：原不等式转化为(xT)a+x2-2x+l>0,

设f(a)=(x-l)a+x2-2x+l,则f(a)在［-2,2］上恒大于0,故有:

［/(-2)>O0np-4x+3>0.a，g卜>3或苫<1

〈即《解得：〈f

/(2)>x*2-1>0*>1或工<一1

/.x<-l或x>3.

14.分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字

母，最终求的是用的范围，所以根据上式将加当作变量，。作为常量，而x则根据

函数的单调性求出/(x)的最大值即可。

(1)简证：任取X1,%2且X]<々，贝1」一々€[-1,1]

>0」.(玉一%)(/(玉)+/(-彳2))〉0又是奇函数

/.(X1-x2)(/(x1)-/(x2))>0“X)在[-1,1]上单调递增O

(2)解：/(x)4优之一2〃m+1对所有x£恒成立，即

222

m-2am+1>,vfmaK=f(1)=1/.m-2am+l>1m-2am>0

1

a<——

口门oi,—..g(-1)=1+2。20

即g(〃)=-2〃团+机,20在r，一1,1]上怛成乂。/.<2

L」[g(l)=l-2a>0«<1

2

11

——<a<—

22o

15.分析：该题就转化为被开方数mV+6蛆+m+820在R上恒成立问题，并且注

意对二次项系数的讨论。

略解：要使y=J"zx：+6加x+加+8在R上'恒成立,即用/+6〃?x+〃?+820在R上

恒成立。

r〃z=o时，8>o.,.m=o成立

m>0

X机K0时,0<m<1

A=36/n2-4(m+8)-32/n(/n-l)<0

由1°,2°可知，04用41

16.⑴分析：y=/(x)的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点。

略解：A=a2-4(3-tz)=a2+4a-12<0/.-6<a<2

/、22

⑵/(x)=-2-a+3,令/(X)在［-2,2］上的最小值为89)。

<2)4

(1)当一］<—2,即a>4时，g(a)=/(—2)=7—3aN0又•.F>4

.'.a不存在。

2

(2)当一2W—巴<2,即一44a<4时，g(a)=/(］)=——a+3>0：.-6<a<2又

•/-4<a<4-4<a<2

⑶当一］〉2,即。<—4时，g(a)=/(2)=7+«>0a>-7又♦.•a<—4

-7<a<-4

总上所述，-7<a<2o

⑶解法一：分析：题目中要证明/(x)2。在［-2,2］上恒成立，若把。移到等号的左

边，则把原题转化成左边二次函数在区间［-2,2］时恒大于等于0的问题。

略解：/(x)=f+ax+3-a-220,即/(x)=