2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第10讲 第三章章节综合检测（解析版）

第10讲第三章一元函数的导数及其应用章节综合检测本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，得.故选：A2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【详解】因为，所以，解得.故选：D3．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）函数的极小值为（）A． B．1 C．0 D．不存在【答案】A【详解】函数，定义域为，，，解得；，解得，在上单调递减，在上单调递增，时有极小值，极小值为.故选：A4．（2023春·陕西西安·高二校考期末）函数有三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可得：，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，据此可得函数在处取得极大值，在处取得极小值，结合题意可得：，解得：，所以实数的取值范围是.故选：B．5．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，则，即，即，所以，即的解集为.故选：D6．（2023春·陕西西安·高二统考期末）若对任意的，且，都有成立，则实数m的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对，且，都有，可得，即，两边同除得，构造函数，则函数在区间上单调递增，，令，即，解得，即函数的单调递增区间为，，则，因此，实数的最大值为.故选：C.7．（2023春·陕西安康·高二统考期末）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】，排除A.当时，.令函数，，，所以在上单调递增，即在上单调递增.，，因为，所以，，即.所以存在，使得，即当时，，当时，.函数在上单调递减，在上单调递增..因为，所以，，排除CD.故选:B.8．（2023春·浙江温州·高二校联考期末）设，，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】记函数，因为，当时，，所以当时，，单调递增，所以，即.记函数，，当时，，单调递增，所以，即.综上，.故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023·重庆·校联考三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【详解】A选项，根据可得，在R上单调递增，因为，所以，A正确；B选项，因为，，且，总有，所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率，显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，因为，所以，B正确；C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.

故选：ABD10．（2023·全国·高二专题练习）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点B．0是函数的极小值点C．函数的单调递增区间是D．函数的单调递减区间是【答案】BC【详解】由题意可得，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误.故选：BC11．（2023春·浙江丽水·高二统考期末）已知非零实数，满足，实数，满足，则下列可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】令，则.由，可得.当时，有，所以在上单调递减；当时，有，所以在上单调递增.所以，在时有唯一极小值，也是最小值.又，，，所以，根据零点存在定理可知，，使得.又，所以，所以.现作出函数，以及的图象，如图1所示

对于A项，由图2可知，，满足，故A项正确；对于B项，由图2可知，当时，恒成立，即，所以.又单调递增，所以当时，有，所以，，故B项错误；

对于C项，由图3可知，时，满足成立，故C项正确；

对于D项，由图4可知，时，满足成立，故D项正确.故选：ACD.12．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】由题意，可得，，易知，则，，则在有解，求导得：，令，解得，可得下表：极大值则当时，取得最大值为，，则的取值范围为，设，，则，所以函数在上单调递减，所以，所以的值可以是，，.故选：BCD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023·全国·高三专题练习）直线分别与曲线，交于，，则的最小值为_______.【答案】【详解】由题知，，，则，令，，，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，最大，且为，所以，即的最小值为.故答案为：14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数______.【答案】1【详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以是函数的一个极值点即方程的一个根，则由，得，解得，经检验符合题意.故答案为：115．（2023春·山东泰安·高二宁阳县第四中学校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】由题意的定义域是，，∴是奇函数，，当且仅当时等号成立，∴是增函数，不等式化为，因此，解得．故答案为：．16．（2023·天津河西·天津实验中学校考模拟预测）已知函数，则时，的最小值为______，设，若函数有6个零点，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】当时，，此时函数在上单调递增，所以此时函数的最小值为，当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以函数的最小值为，综上，当时，的最小值为，函数的图象如图所示

令，则由，得，因为函数有6个零点，所以有两个解，所以，且满足，解得，即实数的取值范围是，故答案为：，四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知函数.(1)求的单调区间；(2)求在上的最值.【答案】(1)增区间、；减区间(2)，【详解】（1）因为，所以，由得到或，由得到，所以单调增区间为和；单调减区间为.（2）由（1）知，当时，单调递增，时，单调递减，故又，故.18．（2023春·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知函数，．(1)求函数在上的值域；(2)若，，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1），当时，；在上单调递减，，；在上的值域为.（2），，使得，；当时，；由（1）知：当时，，，解得：，即实数的取值范围为.19．（2023春·江苏无锡·高二统考期末）已知函数．(1)若函数在处有极大值，求实数c的值；(2)若不等式对任意恒成立，求实数c的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）．当，即或时，函数可能有极值．由题意，函数在处有极大值，所以．所以，时，，在区间上单调递增；时，，在区间上单调递减；时，，在区间上单调递增；所以，当时，取得极大值，此时，．（2）若，时，，在区间上单调递增，，解得．所以符合题意．若即，由（1）可知，在区间上单调递增所以，解得．所以，不合题意．若即，由（1）可知，在区间上的最大值为，所以只需，即，又，解得．综上所述：．20．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知.(1)证明：；(2)证明：时，.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）由题意知，的定义域为，，令，解得：令，解得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，所以.（2）由（1）知，当且仅当时等号成立，所以，，，…，，所以.21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，，定义域为，所以，所以切线的斜率，又，所以函数在处的切线方程为，即.（2）的定义域是，由，得，令，则．①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．②当，即时，由，得，所以当或时，，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．22．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增(2)【详解】（1）（1）因为，所以．因为，，所以，当时，，所以在上单调递增