2024-2025新教材高中数学模块检测含解析苏教版选择性必修第一册

PAGEPAGE9模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线3x＋y－4＝0的斜率和在y轴上的截距分别是()A．－3，4 B．3，－4C．－3，－4 D．3，4解析：选A直线3x＋y－4＝0的斜率为－3，在y轴上的截距为4.2．经过圆x2＋y2－2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0平行的直线方程是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0解析：选A圆x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0)．设与直线x＋y＝0平行的直线方程为x＋y＋C＝0(C≠0)，将(1，0)代入，得C＝－1，∴直线方程为x＋y－1＝0.3．双曲线eq\f(x2,m2＋12)－eq\f(y2,4－m2)＝1的焦距是()A．2eq\r(2) B．8C．4 D．4eq\r(2)解析：选B依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(16)＝4.所以焦距2c＝8.4．过点P(－2，4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m:ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为()A．4 B．2C.eq\f(8,5) D.eq\f(12,5)解析：选A依据题意，知点P在圆C上，∴切线l的斜率k＝－eq\f(1,kCP)＝eq\f(－1,\f(1－4,2＋2))＝eq\f(4,3)，∴切线l的方程为y－4＝eq\f(4,3)(x＋2)，即4x－3y＋20＝0.又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.故切线l与直线m间的距离d＝eq\f(|0－20|,\r(42＋（－3）2))＝4.5．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为eq\r(3)的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|－|FB||的值为()A.eq\f(8,3) B.eq\f(16,3)C.eq\f(8\r(3),3) D.eq\f(8\r(2),3)解析：选A直线AB的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝\r(3)（x－1），))得3x2－10x＋3＝0，故x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，所以||FA|－|FB||＝|x1－x2|＝eq\f(8,3)，故选A.6．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a6＝25，S5＝40，则数列{an}的公差d＝()A．4 B．3C．2 D．1解析：选B设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＋a6＝25及S5＝40得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＋a1＋5d＝25，,5a1＋\f(5×4,2)d＝40))解得d＝3.故选B.7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列{an}的公比为()A．1 B．3C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选C设公比为q，则S1＝a1，S2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a1q＋a1q2，由等差中项公式得：4S2＝S1＋3S3，代入消掉a1可得：3q2－q＝0，解得q＝eq\f(1,3)或q＝0(舍)．故选C.8．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的大致图象是()解析：选A设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，则g′(x)2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增，结合选项知选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是()A．m∥l B．m⊥lC．m与圆相离 D．m与圆相交解析：选AD直线OP的斜率为eq\f(b,a)，直线l的斜率为－eq\f(a,b)，直线l的方程为ax＋by＝a2＋b2，又P(a，b)在圆外，∴a2＋b2＞r2，故m∥l，圆心(0，0)到直线ax＋by＝r2的距离d＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＜eq\f(r2,r)＝|r|，故m与圆相交．10．等差数列{an}是递增数列，满意a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是()A．d＞0B．a1＜0C．当n＝5时Sn最小D．Sn＞0时n的最小值为8解析：选ABD设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d，又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A、B正确；因为Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＝eq\f(d,2)n2－eq\f(7d,2)n，由n＝－eq\f(－\f(7d,2)n,d)＝eq\f(7,2)可知，当n＝3或n＝4时Sn最小，故C错误；令Sn＝eq\f(d,2)n2－eq\f(7d,2)n＞0，解得n＜0或n＞7，即Sn＞0时n的最小值为8，故D正确．故选A、B、D.11．设函数f(x)＝eq\f(x＋e|x|,e|x|)，则下列选项正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)的图象关于点(0，1)对称C．f(x)的最大值为eq\f(1,e)＋1D．f(x)的最小值为－eq\f(1,e)＋1解析：选BCDf(x)＝eq\f(x,e|x|)＋1，不满意f(－x)＝－f(x)，故A项错误；令g(x)＝eq\f(x,e|x|)，则g(－x)＝eq\f(－x,e|－x|)＝eq\f(－x,e|x|)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，则f(x)关于点(0，1)对称，B项正确；设f(x)＝eq\f(x,e|x|)＋1的最大值为M，则g(x)的最大值为M－1，设f(x)＝eq\f(x,e|x|)＋1的最小值为N，则g(x)的最小值为N－1，当x＞0时，g(x)＝eq\f(x,ex)，所以g′(x)＝eq\f(1－x,ex)，当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0，所以当0＜x＜1时，g(x)单调递增，当x＞1时，g(x)单调递减，所以g(x)在x＝1处取得最大值，最大值为g(1)＝eq\f(1,e)，由于g(x)为奇函数，所以g(x)在x＝－1处取得最小值，最小值为g(－1)＝－eq\f(1,e)，所以f(x)的最大值为M＝eq\f(1,e)＋1，最小值为N＝－eq\f(1,e)＋1，故C、D项正确．故选B、C、D.12．已知P是椭圆E：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是()A．P点纵坐标为3B．∠F1PF2＞90°C．△F1PF2的周长为4(eq\r(2)＋1)D．△F1PF2的内切圆半径为eq\f(3,2)(eq\r(2)－1)解析：选CD由椭圆方程，可知a＝2eq\r(2)，b＝2，c＝2.由S△F1PF2＝3可得3＝eq\f(1,2)·|F1F2|·|yP|，故|yP|＝eq\f(3,2).故A错误；把|yP|＝eq\f(3,2)代入椭圆方程，可求得xeq\o\al(2,P)＝eq\f(7,2).所以eq\o(PF1,\s\up6(―→))·eq\o(PF2,\s\up6(―→))＝(－2－xP，－yP)·(2－xP，－yP)＝xeq\o\al(2,P)＋yeq\o\al(2,P)－4＝eq\f(7,2)＋eq\f(9,4)－4＞0，故∠F1PF2＜90°.故B错误；△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4eq\r(2)＋4.故C正确；S△F1PF2＝eq\f(1,2)·(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·R＝3.∴R＝eq\f(3,2)(eq\r(2)－1)，故D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线斜率等于－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3).又g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g(3)＝3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为y－3＝0.答案：y－3＝014．已知点C在直线l：x＝－1上，点F(1，0)，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．解析：由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝eq\r(3)，所以点C的纵坐标为eq\r(3)，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.答案：(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝115．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2.(1)数列{an}的通项公式为an＝________；(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，则m＝________．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1.又∵a1＝1，∴d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．(2)∵an＝2n－1，∴am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化为10am＋45d＝20m＋80＝180，解得m＝5.答案：(1)2n－1(2)516．设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且满意∠MAN＝120°，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设M在第一象限，N在第三象限，易知A(－a，0)，由已知条件知圆的方程为x2＋y2＝c2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,x2＋y2＝c2，))得M(a，b)，N(－a，－b)，∴eq\o(AM,\s\up6(―→))＝(2a，b)，eq\o(AN,\s\up6(―→))＝(0，－b)，又∠MAN＝120°，∴cos〈eq\o(AM,\s\up6(―→))，eq\o(AN,\s\up6(―→))〉＝eq\f(－b2,\r(4a2＋b2)·b)＝－eq\f(1,2)，∴4a2＝3b2，∴4a2＝3(c2－a2)，∴7a2＝3c2，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(21),3)，即双曲线的离心率为eq\f(\r(21),3).答案：eq\f(\r(21),3)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在①b1＋b3＝a2；②a4＝b4；③S5＝－25，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2?注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：选条件①：设{bn}的公比为q，则q3＝eq\f(b5,b2)＝－27，即q＝－3，所以bn＝－(－3)n－1.从而a5＝b1＝－1，a2＝b1＋b3＝－10，由于{an}是等差数列，所以an＝3n－16.因为Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2等价于ak＋1＜0且ak＋2＞0，所以满意题意的k存在，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（k＋1）－16＜0，,3（k＋2）－16＞0，))解得k＝4.选条件②：设{bn}的公比为q，则q3＝eq\f(b5,b2)＝－27，即q＝－3，所以bn＝－(－3)n－1.从而a5＝b1＝－1，a4＝b4＝27，所以{an}的公差d＝－28.因为Sk＞Sk＋1且Sk＋1<Sk＋2等价于ak＋1<0且ak＋2>0，此时d＝ak＋2－ak＋1＞0，与d＝－28冲突，所以满意题意的k不存在．选条件③：设{bn}的公比为q，则q3＝eq\f(b5,b2)＝－27，即q＝－3，所以bn＝－(－3)n－1.从而a5＝b1＝－1，由{an}是等差数列得S5＝eq\f(5（a1＋a5）,2)，由S5＝－25得a1＝－9.所以an＝2n－11.因为Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2等价于ak＋1＜0且ak＋2＞0，所以满意题意的k存在，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（k＋1）－11＜0，,2（k＋2）－11＞0，))解得k＝4.18．(本小题满分12分)已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直．(1)求直线l的方程；(2)若圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2eq\r(2)，求圆C的标准方程．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－3＝0，,4x－3y－5＝0))解得两直线交点为(2，1)，∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.又∵l过点(2，1)，∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＝r2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))\s\up12(2)＋2＝r2，))解得a＝3，r＝2.∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.19．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)有一内接△OAB，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up6(―→))·eq\o(OB,\s\up6(―→))＝0，直线OA的方程为y＝2x，且|AB|＝4eq\r(13)，求抛物线方程．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y2＝2px，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，又eq\o(OA,\s\up6(―→))·eq\o(OB,\s\up6(―→))＝0，所以OA⊥OB，故直线OB的方程为y＝－eq\f(1,2)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y2＝2px，))解得B(8p，－4p)．因为|AB|＝4eq\r(13)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－8p))eq\s\up12(2)＋(p＋4p)2＝16×13，所以p＝eq\f(8,5)，所以抛物线方程为y2＝eq\f(16,5)x.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋6lnx，f′(x)为f(x)的导函数．(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数g(x)＝f(x)－f′(x)＋eq\f(9,x)的单调区间和极值．解：(1)f(x)＝x3＋6lnx，故f′(x)＝3x2＋eq\f(6,x).可得f(1)＝1，f′(1)＝9，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8.(2)依题意，g(x)＝x3－3x2＋6lnx＋eq\f(3,x)，x∈(0，＋∞)．从而可得g′(x)＝3x2－6x＋eq\f(6,x)－eq\f(3,x2)，整理可得g′(x)＝eq\f(3（x－1）3（x＋1）,x2).令g′(x)＝0，解得x＝1.当x改变时，g′(x)，g(x)的改变状况如表：x(0，1)1(1，＋∞)g′(x)－0＋g(x)微小值所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；g(x)的微小值为g(1)＝1，无极大值．21．(本小题满分12分)已知椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，右焦点为(2eq\r(2)，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解：(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1，))消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0. ①设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4)；因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝eq\f(2－\f(m,4),－3＋\f(3m,4))＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以A(－3，－1)，B(0，2)．所以|AB|＝3eq\r(2).此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝eq\f(|－3－2＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以△PAB的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,2).22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)探讨f(x)的单调性；(2)当a＜0时，证明f(x)≤－eq\f(3,4a)－2.解：(1)f(x)的定义