沪教版六年级下册数学专题训练专题07运算能力之二元一次方程组的综合应用专练(原卷版+解析)

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题07运算能力之二元一次方程组的综合应用专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．育才中学初一年级某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了184元购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则所列方程组正确的是（）．A． B． C． D．2．在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，求阴影部分图形的总面积（）A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm23．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（）A． B． C． D．4．已知x，y互为相反数且满足二元一次方程组，则k的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．把一根20m长的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有a根，则a的值可能有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种6．已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6则k＝1．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④7．某污水处理厂库池里现有待处理的污水吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（）A．5台 B．6台 C．7台 D．8台8．在关于m，n的方程中，能使无论取何值时，方程恒成立的m，n的值是（）A． B． C． D．9．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒斗，斗酒斗，可列二元一次方程组为（）A． B．C． D．10．在某场CBA比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：技术上场时间（分钟）出手投篮（次）投中（次）罚球得分（分）篮板（个）防攻（次）个人总得分（分）数据38271163433注：①表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；②总得分＝两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各（）个．A．5，6 B．6，5 C．4，7 D．7，4二、填空题11．在“实践与探究”的数学活动中，让一组和二组分别用8个一样大小的长方形纸片进行拼图．一组拼成一个如图1所示的大长方形：二组拼成一个如图2所示的正方形，但中间留下一个边长为的小正方形，据此计算出每个小长方形的面积是______12．方程组的解满足，则___________．13．足球比赛规定：胜一场得分，平一场得分，负一场得分．某足球队共进行了场比赛，得了分，该队获胜的场数可能是________．14．下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．请将九年级课外兴趣小组活动次数填入表格．课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数七年级12.543八年级10.533九年级7________________________15．现有20吨货物，要租用货车运走．汽车公司有两种货车，大货车每车可以装7吨货物，运一次要600元，小货车每车可以装4吨，运一次要400元．要使货物全部运走，至少需要运费___元．16．已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．17．有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．18．小雅和小智约好周末一起登缙云山，两人同时从山脚出发，沿同一路线上山．小雅以每分钟45米的速度匀速上山，途中不休息；小智以每分钟120米的速度骑自行车匀速上山，每骑车5分钟休息1分钟．10分钟后小智自行车出现故障，立即以每分钟50米的速度推着自行车到山脚出发点维修．15分钟后小智修好了自行车，立即以出发时的速度骑车追赶小雅，仍然骑车5分钟休息1分钟，最后小雅还是比小智早到山顶45秒，则山脚到山顶的距离为___________米．19．为了表彰本学期表现优秀的同学，学校决定订购“荣耀王者”、“至尊星耀”、“永恒钻石”三种不同的奖励勋章共50枚，其中“荣耀王者”勋章的数量高于“至尊星耀”勋章的数量，“永恒钻石”勋章的数量不高于30枚．已知“荣耀王者”勋章每枚80元，“至尊星耀”勋章每枚60元，“永恒钻石”勋章每枚50元．实际购买时，“荣耀王者”勋章每枚降低了10元，其他勋章价格不变学校实际订购的三枚勋章数量也均有所改变，“荣耀王者”勋章的数量是计划的，“永恒钻石”勋章的数量是计划的，结果实际购进三种勋章共37枚，实际花费比计划少了940元，则学校原计划购进“荣耀王者”勋章___枚．20．如图，长方形纸片的长为6cm，宽为4cm，从长方形纸片中剪去两个形状和大小完全相同的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是_______．三、解答题21．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示5和1的两点之间的距离是_________，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么_________．（2）若数轴上表示数a的点位于-2与5之间，则的值为_________．（3）若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围__________．（4）若将数轴折叠，使得1表示的点与-3表示的点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2020（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：_______；：_______．22．某饮料厂生产大瓶装甲饮料和小瓶装乙饮料，去年11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共10000瓶，11月份的销售额为7.1万元，已知甲饮料每瓶出厂价是12元，乙饮料每瓶出厂价是5元．（1）去年11月份饮料厂售出甲、乙两种饮料各多少瓶？（2）饮料厂生产甲、乙饮料需要两种果汁原料，表1是相关数据，原料每千克进价4元，原料每千克进价3元．去年12月份，饮料厂决定对甲饮料进行促销，买一瓶甲饮料送一瓶乙饮料，单独购买乙饮料无优惠．结果12月份售出的甲饮料数量比11月份售出甲饮料的数量增加40%，12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，求去年12月份饮料厂实际售出乙饮料多少瓶（不含赠送）？每瓶用量饮料甲乙（单位：千克）0.90.2（单位：千克）0.80.4（3）今年1月份，即将迎来新春佳节，饮料厂决定量大从优，规定一次性购买甲、乙两种饮料的优惠方案分别如表2、表3．某超市分两次分别购进甲、乙两种饮料，第一次全部购进甲饮料，第二次全部购进乙饮料，两次共购进2000瓶饮料（第一次购进甲饮料的数量小于第二次购进的乙饮料的数量），超市两次实际共付给饮料厂11470元．超市甲饮料售价为每瓶18元，乙饮料的售价为每瓶10元，若超市将甲、乙两种饮料全部售出，那么超市可赚多少钱？一次性购买甲饮料的数量（瓶）优惠方案未超过500所购饮料全部按九折优惠超过500所购饮料全部按八折优惠一次性购买乙饮料的数量（瓶）优惠方案未超过500的部分不享受优惠方案超过500但未超过1000部分按九折优惠超过1000的部分按八折优惠23．某汽配厂接到一批外贸订单急需大量工人生产某配件，工厂人力资源部门计划招聘一批工人．若3名普工和1名高级技工日生产量共500个，2名普工日生产量与1名高级技工的一样多．（1）求普工和高级技工日生产量分别是多少个？（2）调查发现，人才市场资源丰富，增加了熟练工人供工厂选择，且其日生产量是普工的1.5倍，他们的工资如下表所示．为了最大限度提高产量，公司决定拨款9万元（全部用完）聘请三类工人（每类工人至少1人）共18人．人力资源部门应招聘三类工人各多少人，使得日生产最大？求出此时的日生产量．工人普工熟练工高级技工工资（元/人）35005000600024．某校九年级314名学生准备坐客车到校外参加体育中考，客车类型和租车价格如下表，已知B型客车的座位数是A型客车座位数的两倍少1个，C型客车座位数比B型客车座位数多13个．客车类型A型客车B型客车C型客车乘客座位（个）19______________租车价格（元/辆）120015001800（1）根据题意，填写表格．（2）若计划同时租A型客车和C型客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，租车用为14400元，求计划租A型和C型车各多少辆．（3）考试当天有老师和志愿者家长共36人一同前往，若同时租用三种车，且每辆车都坐满，已知A型车的数量是B型车的n倍（n为正整数），则租C型车________辆．（直接写出答案）25．阅读材料并完成题目：【材料一】我们可以将任意两位数记为（其中a，b分别表示该数的十位数字和个位数字，且），显然．【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字0，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“惟勤数”，如36的“惟勤数”为306若将一个两位正整数N减5后得到一个新数，我称这个新数为N的“惟真数”，如36的“惟真数”为31．（1）76的“惟勤数”是_________，“惟真数”是_________；（2）求证：对任意一个两位正整数，其“惟勤数”与“惟真数”之差能被5整除；（3）有一个两位数，其“惟勤数”与“惟真数”之和为439，其“惟真数”的各位数字之和为10，请通过列方程求这个两位数．26．阅读理解，对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如：，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，值等于666，而，所以．（1）计算：_________；（2）若，且，求n的值；（2）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值．27．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．问题：（1）请你直接写出方程的正整数解___________．（2）若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．（3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．28．对、定义了一种新运算T，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，．（1）求，的值；（2）求．（3）若关于的不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围．29．小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报说：“我买了两种书，共30本，单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现在还余38元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”（1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24元的书，请问：笔记本的单价为多少元？30．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题07运算能力之二元一次方程组的综合应用专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．育才中学初一年级某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了184元购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则所列方程组正确的是（）．A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】根据花了184元购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，列出方程组即可．【详解详析】解：根据题意得：，故选：B．【名师指路】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．2．在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，求阴影部分图形的总面积（）A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2【标准答案】D【思路指引】设小长方形的长为，宽为，则根据图形，列二元一次方程组，求得小长方形的长和宽，再根据阴影部分面积等于长方形减去5个小长方形的面积，即可求得答案．【详解详析】设小长方形的长为，宽为，依题意得：，解得：，阴影部分图形的总面积为：．故选D．【名师指路】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．3．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求．【详解详析】解：把代入方程组得：，把代入ax+by=2得：-2a+2b=2，即-a+b=1，联立得：，解得：，由3c+2=-4，得到c=-2，则a+b+c=4+5-2=7．故选：D．【名师指路】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．已知x，y互为相反数且满足二元一次方程组，则k的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【标准答案】A【思路指引】根据，互为相反数得到，然后与原方程组中的方程联立新方程组，解二元一次方程组，求得和的值，最后代入求值．【详解详析】解：由题意可得，②﹣①，得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得：x﹣1＝0，解得：x＝1，把x＝1，y＝﹣1代入2x+3y＝k中，k＝2×1+3×（﹣1）＝2﹣3＝﹣1，故选：A．【名师指路】本题考查解二元一次方程组，掌握消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一次方程组的步骤是解题关键．5．把一根20m长的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有a根，则a的值可能有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【标准答案】B【思路指引】设3m长的钢管有b根，根据钢管的总长度为20m，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出结论．【详解详析】设2m长的钢管有a根，3m长的钢管有b根，∵钢管长20m，且没有余料，∴2a+3b=20，∴b=，∵a，b均为正整数，∴，，，∴a的值可能有1、4、7，共3种，故选：B．【名师指路】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．6．已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6则k＝1．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④【标准答案】A【思路指引】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．【详解详析】解：①当时，原方程组可整理得：，解得：，把代入得：，即①正确，②解方程组，得：，若，则，解得：，即存在实数，使得，即②正确，③解方程组，，得：，，不论取什么实数，的值始终不变，故③正确；④解方程组，，得：，若，故④错误，故选：A．【名师指路】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义．7．某污水处理厂库池里现有待处理的污水吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（）A．5台 B．6台 C．7台 D．8台【标准答案】C【思路指引】设1台机组每小时处理污水v吨，要在5小时内处理完污水，至少需开动x台机组，根据题意列出方程组．【详解详析】设1台机组每小时处理污水v吨，要在5小时内处理完污水，需开动x台机组，根据题意得：解得则．故选C．【名师指路】本题考查了二元一次方程组的应用，根据方程求得1台机组每小时处理污水的数量是解题的关键．8．在关于m，n的方程中，能使无论取何值时，方程恒成立的m，n的值是（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】无论取何值时，方程恒成立的条件为，，列出二元一次方程组求解即可.【详解详析】解：由题意，得：，解得：，故选：A.【名师指路】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是解题关键.9．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒斗，斗酒斗，可列二元一次方程组为（）A． B．C． D．【标准答案】B【思路指引】设能买醇酒斗，行酒斗，利用总价单价数量，结合用30钱共买2斗酒，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．【详解详析】解：设能买醇酒斗，行酒斗．买2斗酒，；醇酒1斗，价格50钱；行酒1斗，价格10钱，且共花费30钱，．联立两方程组成方程组．故选：B．【名师指路】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．10．在某场CBA比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：技术上场时间（分钟）出手投篮（次）投中（次）罚球得分（分）篮板（个）防攻（次）个人总得分（分）数据38271163433注：①表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；②总得分＝两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各（）个．A．5，6 B．6，5 C．4，7 D．7，4【标准答案】B【思路指引】设本场比赛中该运动员投中两分球x个，三分球y个，根据投中次数结合总分，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解详析】解：设本场比赛中该运动员投中两分球x个，三分球y个，根据题意得：，解得：．答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个．故选：B．【名师指路】本题考查统计表和了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．二、填空题11．在“实践与探究”的数学活动中，让一组和二组分别用8个一样大小的长方形纸片进行拼图．一组拼成一个如图1所示的大长方形：二组拼成一个如图2所示的正方形，但中间留下一个边长为的小正方形，据此计算出每个小长方形的面积是______【标准答案】135【思路指引】要求每个长方形的面积，就要先求出它们的长和宽，再利用面积公式计算．所以首先要设每个长方形的宽为，长为，根据题中的等量关系：①5个长方形的宽个长方形的长，②大矩形面积大正方形的面积，列方程求解．【详解详析】解：设每个长方形的宽为，长为，那么可列出方程组为：，解得：．所以每个长方形的面积为．故答案是：135．【名师指路】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是注意图片给出的等量关系即，①5个长方形的宽个长方形的长，②大矩形面积大正方形的面积，以此可得出答案．12．方程组的解满足，则___________．【标准答案】【思路指引】根据x＋y＝0，可以得到x＝−y，代入方程组即可得到一个关于y和m的方程组，求得m的值．【详解详析】解：∵x＋y＝0，∴x＝−y，代入方程组得：，解方程组得：．故答案是：−5．【名师指路】本题考查了方程组的解的定义，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道几个方程组之间解的关系．13．足球比赛规定：胜一场得分，平一场得分，负一场得分．某足球队共进行了场比赛，得了分，该队获胜的场数可能是________．【标准答案】3或4【思路指引】设该队胜x场，平y场，则负（6-x-y）场，根据：胜场得分+平场得分+负场得分=最终得分，列出二元一次方程，根据x、y的范围可得x的可能取值．【详解详析】解：设该队胜x场，平y场，则负（6-x-y）场，根据题意，得：3x+y=12，即：x=，∵x、y均为非负整数，且x+y≤6，∴当y=0时，x=4；当y=3时，x=3；即该队获胜的场数可能是3场或4场，故答案为：3或4．【名师指路】本题考查了二元一次方程的应用，找出等量关系列出二元一次方程是解题的关键．14．下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．请将九年级课外兴趣小组活动次数填入表格．课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数七年级12.543八年级10.533九年级7________________________【标准答案】22【思路指引】设文艺小组每次活动时间为x小时，科技小组每次活动时间为y小时，根据题意列方程，求出方程的解，设九年级该月文艺小组活动a次，科技小组活动b次，得到，根据a，b为自然数，得到答案．【详解详析】解：设文艺小组每次活动时间为x小时，科技小组每次活动时间为y小时，由题意得，解得，设九年级该月文艺小组活动a次，科技小组活动b次，∴，∵a，b为自然数，∴．故答案为：2，2．【名师指路】此题考查二元一次方程组的实际应用，以及求二元一次方程的整数解，正确理解表格的意义列得方程组是解题的关键．15．现有20吨货物，要租用货车运走．汽车公司有两种货车，大货车每车可以装7吨货物，运一次要600元，小货车每车可以装4吨，运一次要400元．要使货物全部运走，至少需要运费___元．【标准答案】1800【思路指引】设需要大货车为x次，需要小货车为y次，根据题意列出方程，求出的范围，分三种情况进行讨论，分别求解每种情况所需运费，即可求解．【详解详析】解：设需要大货车为x次，需要小货车为y次，由题意可得∵都为非负的整数∴当时，，需要小货车运送0次，费用为（元）当时，，需要小货车运送2次，费用为（元）当时，，需要小货车运送4次，费用为（元）当时，，需要小货车运送5次，费用为（元）∵∴最低费用为1800元故答案为：1800【名师指路】此题考查了方案的选择问题，解题的关键是理解题意，正确求出每种情况下的费用．16．已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．【标准答案】【思路指引】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【详解详析】将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，所以，解得：．故答案为：．【名师指路】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．17．有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．【标准答案】100或85．【思路指引】设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．【详解详析】解：设所购商品的标价是x元，则①所购商品的标价小于90元，x﹣20+x＝150，解得x＝85；②所购商品的标价大于90元，x﹣20+x﹣30＝150，解得x＝100．故所购商品的标价是100或85元．故答案为100或85．【名师指路】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．18．小雅和小智约好周末一起登缙云山，两人同时从山脚出发，沿同一路线上山．小雅以每分钟45米的速度匀速上山，途中不休息；小智以每分钟120米的速度骑自行车匀速上山，每骑车5分钟休息1分钟．10分钟后小智自行车出现故障，立即以每分钟50米的速度推着自行车到山脚出发点维修．15分钟后小智修好了自行车，立即以出发时的速度骑车追赶小雅，仍然骑车5分钟休息1分钟，最后小雅还是比小智早到山顶45秒，则山脚到山顶的距离为___________米．【标准答案】3373.2【思路指引】先求出小智修好车之前用的时间，再设小智再次登顶用了t分，则可列出小雅走的距离．设t中有m个5分钟，除t中的6m分钟外还余x分钟（）．则可知小智再次登顶有m个休息，又可知，即可求出小智登顶的距离．最后利用小雅和小智登顶的距离相同，可列出关于m和x的二元一次方程．利用m为整数，即可求解．即可得出答案．【详解详析】小智前10分钟走了米，下山修车用了分钟，设小智再次登顶用了t分，t不一定是6的倍数．则小雅走了米，即米．设t中有m个5分钟，除t中的6m分钟外还余x分钟（），则小智再次登顶有m个休息．∴．∵小智登顶的距离为，∴，即，整理得：．∵m为整数，，∴，则山脚到山顶的距离为米．故答案为：3733.2．【名师指路】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键．19．为了表彰本学期表现优秀的同学，学校决定订购“荣耀王者”、“至尊星耀”、“永恒钻石”三种不同的奖励勋章共50枚，其中“荣耀王者”勋章的数量高于“至尊星耀”勋章的数量，“永恒钻石”勋章的数量不高于30枚．已知“荣耀王者”勋章每枚80元，“至尊星耀”勋章每枚60元，“永恒钻石”勋章每枚50元．实际购买时，“荣耀王者”勋章每枚降低了10元，其他勋章价格不变学校实际订购的三枚勋章数量也均有所改变，“荣耀王者”勋章的数量是计划的，“永恒钻石”勋章的数量是计划的，结果实际购进三种勋章共37枚，实际花费比计划少了940元，则学校原计划购进“荣耀王者”勋章___枚．【标准答案】16【思路指引】设原计划购进“荣耀王者”勋章x枚，“永恒钻石”勋章y枚，则购进“至尊星耀”枚，根据题意列出关于的二元一次方程，由是整数，为整数，且为整数，可以取出符合的值，然后再根据题意列出不等式，找出符合题意的取值即可．【详解详析】解：设原计划购进“荣耀王者”勋章x枚，“永恒钻石”勋章y枚，则购进“至尊星耀”枚，则原计划花费：，实际花费：，由题可知：，即，是整数，为整数，且为整数，则或或或或．．．根据题意可知，即，则满足条件的的值为，原计划购进原计划购进“荣耀王者”勋章16枚，故答案为：16．【名师指路】本题主要考查二元一次方程的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，得出关于的二元一次方程是解题的关键．20．如图，长方形纸片的长为6cm，宽为4cm，从长方形纸片中剪去两个形状和大小完全相同的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是_______．【标准答案】16【思路指引】设剪去的长方形的长为a，宽为b，然后分别表示两块阴影部分的长和宽，最后求周长即可.【详解详析】解：设剪去的长方形的长为a，宽为b，a+b=6则左下角长方形的长为ａ，宽为4-b，周长为８＋２ａ－２ｂ右上角长方形的长为b，宽为4-a，周长为8+2b-2a所以阴影部分周长和为：８＋２ａ－２ｂ+8+2b-2a=16故答案为16.【名师指路】本题考查了整式的加减，设出未知数、但并不求解未知数以及灵活运用整式的加减是解答本题的关键.三、解答题21．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示5和1的两点之间的距离是_________，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么_________．（2）若数轴上表示数a的点位于-2与5之间，则的值为_________．（3）若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围__________．（4）若将数轴折叠，使得1表示的点与-3表示的点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2020（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：_______；：_______．【标准答案】（1）4，1或；（2）7；（3）或；（4）1009，【思路指引】（1）用5减去1得到距离，然后根据题意列绝对值方程求出a的值；（2）根据数轴上点与点之间的距离理解，得到它的值；（3）根据数轴上点与点之间的距离理解，得到当表示数x的点在1和-3两点之外时，能够满足；（4）根据题意列式，解方程组得到结果．【详解详析】解：（1），，解得或，故答案是：4，1或；（2）表示数轴上表示数a的点到数轴上表示-2的点和到表示5的点的距离之和，∵数轴上表示数a的点位于-2与5之间，∴距离和就是-2和5之间的距离7，故答案是：7；（3）表示数轴上表示数x的点到数轴上表示-3的点和到表示1的点的距离之和，-3和1之间的距离刚好是4，所以要使距离之和大于4，那么表示数x的点要么在-3的左侧要么在1的右侧，∴或，故答案是：或；（4）数轴折叠，1表示的点与-3表示的点重合，则1和-3的中点-1是折叠点，设点M表示的数是m，点N表示的数是n，列式，解得，故答案是：1009，．【名师指路】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是理解数轴上点与点之间的距离的求解公式并且掌握列方程组求解的方法．22．某饮料厂生产大瓶装甲饮料和小瓶装乙饮料，去年11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共10000瓶，11月份的销售额为7.1万元，已知甲饮料每瓶出厂价是12元，乙饮料每瓶出厂价是5元．（1）去年11月份饮料厂售出甲、乙两种饮料各多少瓶？（2）饮料厂生产甲、乙饮料需要两种果汁原料，表1是相关数据，原料每千克进价4元，原料每千克进价3元．去年12月份，饮料厂决定对甲饮料进行促销，买一瓶甲饮料送一瓶乙饮料，单独购买乙饮料无优惠．结果12月份售出的甲饮料数量比11月份售出甲饮料的数量增加40%，12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，求去年12月份饮料厂实际售出乙饮料多少瓶（不含赠送）？每瓶用量饮料甲乙（单位：千克）0.90.2（单位：千克）0.80.4（3）今年1月份，即将迎来新春佳节，饮料厂决定量大从优，规定一次性购买甲、乙两种饮料的优惠方案分别如表2、表3．某超市分两次分别购进甲、乙两种饮料，第一次全部购进甲饮料，第二次全部购进乙饮料，两次共购进2000瓶饮料（第一次购进甲饮料的数量小于第二次购进的乙饮料的数量），超市两次实际共付给饮料厂11470元．超市甲饮料售价为每瓶18元，乙饮料的售价为每瓶10元，若超市将甲、乙两种饮料全部售出，那么超市可赚多少钱？一次性购买甲饮料的数量（瓶）优惠方案未超过500所购饮料全部按九折优惠超过500所购饮料全部按八折优惠一次性购买乙饮料的数量（瓶）优惠方案未超过500的部分不享受优惠方案超过500但未超过1000部分按九折优惠超过1000的部分按八折优惠【标准答案】（1）甲种饮料3000瓶，乙种饮料7000瓶；（2）4800瓶；（3）11730元【思路指引】（1）设去年11月份饮料厂售出甲种饮料x瓶，乙种饮料y瓶，根据“去年11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共10000瓶，且去年11月份的销售额为7.1万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设去年12月份饮料厂实际售出乙饮料m瓶，根据12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）设购进甲种饮料a（0＜a＜1000）瓶，则购进乙种饮料（2000-a）瓶，分0＜a≤500及500＜a＜1000两种情况考虑，根据饮料厂给出的优惠政策及两次实际共付给饮料厂11470元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值，再利用获得的利润=销售总额-进货成本，即可求出结论．【详解详析】解：（1）设去年11月份饮料厂售出甲种饮料x瓶，乙种饮料y瓶，依题意得：，解得：，答：去年11月份饮料厂售出甲种饮料3000瓶，乙种饮料7000瓶．（2）设去年12月份饮料厂实际售出乙饮料m瓶，依题意得：12×3000×（1+40%）+5m-（0.9×4+0.8×3）×3000×（1+40%）-（0.2×4+0.4×3）×[3000（1+40%）+m]=31200，整理得：3m-14400=0，解得：m=4800．答：去年12月份饮料厂实际售出乙饮料4800瓶．（3）设购进甲种饮料a（0＜a＜1000）瓶，则购进乙种饮料（2000-a）瓶．当0＜a≤500时，12×0.9a+5×500+5×0.9×（1000-500）+5×0.8（2000-a-1000）=11470，解得：a=400；当500＜a＜1000时，12×0.8a+5×500+5×0.9×（1000-500）+5×0.8（2000-a-1000）=11470，解得：a=485（不合题意，舍去）．∴18a+10（2000-a）-11470=11730（元）．答：超市可赚11730元．【名师指路】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．某汽配厂接到一批外贸订单急需大量工人生产某配件，工厂人力资源部门计划招聘一批工人．若3名普工和1名高级技工日生产量共500个，2名普工日生产量与1名高级技工的一样多．（1）求普工和高级技工日生产量分别是多少个？（2）调查发现，人才市场资源丰富，增加了熟练工人供工厂选择，且其日生产量是普工的1.5倍，他们的工资如下表所示．为了最大限度提高产量，公司决定拨款9万元（全部用完）聘请三类工人（每类工人至少1人）共18人．人力资源部门应招聘三类工人各多少人，使得日生产最大？求出此时的日生产量．工人普工熟练工高级技工工资（元/人）350050006000【标准答案】（1）个，个；（2）人力资源部门应招聘普工6人，熟练工3人，高级技工9人，使得日生产最大，此时的日生产量为2850个．【思路指引】（1）设普工和高级技工日生产量分别为个，个，根据题意列二元一次方程组解决问题；（2）设招聘普工人，熟练工人，则高级技工（）人，根据题意列出二元一次方程，由都是正整数，求得整数解，再根据题意求得最值．【详解详析】（1）设普工和高级技工日生产量分别为个，个，依题意，得：，解得：，答：普工和高级技工日生产量分别个，个．（2）设招聘普工人，熟练工人，则高级技工（）人，由题意得：，整理得：，都是正整数，工厂日生产量为：当最小时，工厂日生产量最大，时，工厂日生产量为：高级技工（人），（个）．答：人力资源部门应招聘普工6人，熟练工3人，高级技工9人，使得日生产最大，此时的日生产量为2850个．【名师指路】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的特殊解，根据题意找到等量关系建立方程（组）是解题的关键．24．某校九年级314名学生准备坐客车到校外参加体育中考，客车类型和租车价格如下表，已知B型客车的座位数是A型客车座位数的两倍少1个，C型客车座位数比B型客车座位数多13个．客车类型A型客车B型客车C型客车乘客座位（个）19______________租车价格（元/辆）120015001800（1）根据题意，填写表格．（2）若计划同时租A型客车和C型客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，租车用为14400元，求计划租A型和C型车各多少辆．（3）考试当天有老师和志愿者家长共36人一同前往，若同时租用三种车，且每辆车都坐满，已知A型车的数量是B型车的n倍（n为正整数），则租C型车________辆．（直接写出答案）【标准答案】（1）37，50；（2）计划租A型客车6辆，租C型客车4辆；（3）1或4【思路指引】（1）根据题意列式计算即可；（2）设租A型客车x辆，租C型客车y辆，根据总人数314人以及总费用14400元列出二元一次方程组并求解即可；（3）先求得总人数为350人，再设租C型客车a辆，租B型客车b辆，租A型客车nb辆，然后列出方程19nb＋37b＋50a＝350，进而对其进行分类讨论即可．【详解详析】解：（1）B型客车的座位数：19×2－1＝37（个），C型客车座位数：37＋13＝50（个），故答案为：37，50；（2）设租A型客车x辆，租C型客车y辆，根据题意，得：，解得：，答：计划租A型客车6辆，租C型客车4辆；（3）总人数为：314＋36＝350（人），设租C型客车a辆，租B型客车b辆，则租A型客车nb辆（a≥1，b≥1，n≥1且a、b、n为正整数），由题意得：19nb＋37b＋50a＝350，即：（19n＋37）b＋50a＝350，当a＝1时，则（19n＋37）b＝300，∵300＝2×2×3×5×5，∴若b＝1，则19n＋37＝300，解得：（不符合题意，舍去），若b＝2，则19n＋37＝150，解得：（不符合题意，舍去），若b＝3，则19n＋37＝100，解得：（不符合题意，舍去），若b＝4，则19n＋37＝75，解得：（符合题意），若b＝5，则19n＋37＝60，解得：（不符合题意，舍去），若b＝6，则19n＋37＝50，解得：（不符合题意，舍去），此时＜1；当a＝2时，则（19n＋37）b＝250，∵250＝2×5×5×5，∴若b＝1，则19n＋37＝250，解得：（不符合题意，舍去），若b＝2，则19n＋37＝125，解得：（不符合题意，舍去），若b＝5，则19n＋37＝50，解得：（不符合题意，舍去），此时＜1；当a＝3时，则（19n＋37）b＝200，∵200＝2×2×2×5×5，∴若b＝1，则19n＋37＝200，解得：（不符合题意，舍去），若b＝2，则19n＋37＝100，解得：（不符合题意，舍去），若b＝4，则19n＋37＝50，解得：（不符合题意，舍去），此时＜1；当a＝4时，则（19n＋37）b＝150，∵150＝2×3×5×5，∴若b＝1，则19n＋37＝150，解得：（不符合题意，舍去），若b＝2，则19n＋37＝75，解得：（符合题意），若b＝3，则19n＋37＝50，解得：（不符合题意，舍去），此时＜1；当a＝5时，则（19n＋37）b＝100，∵100＝2×2×5×5，∴若b＝1，则19n＋37＝100，解得：（不符合题意，舍去），若b＝2，则19n＋37＝50，解得：（不符合题意，舍去），此时＜1；当a＝6时，则（19n＋37）b＝50，若b＝1，则19n＋37＝50，解得：（不符合题意，舍去），此时＜1，综上所述：符合题意的a的值为1或4，故答案为：1或4．【名师指路】本题考查了二元一次方程组的应用，第（2）问的关键是理清题意，设出未知数，根据等量关系列出方程组求解，第（3）问的关键是学会正确进行分类讨论，要保证每种情况不重也不漏．25．阅读材料并完成题目：【材料一】我们可以将任意两位数记为（其中a，b分别表示该数的十位数字和个位数字，且），显然．【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字0，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“惟勤数”，如36的“惟勤数”为306若将一个两位正整数N减5后得到一个新数，我称这个新数为N的“惟真数”，如36的“惟真数”为31．（1）76的“惟勤数”是_________，“惟真数”是_________；（2）求证：对任意一个两位正整数，其“惟勤数”与“惟真数”之差能被5整除；（3）有一个两位数，其“惟勤数”与“惟真数”之和为439，其“惟真数”的各位数字之和为10，请通过列方程求这个两位数．【标准答案】（1）706，71；（2）见解析；（3）42【思路指引】（1）根据“惟勤数”和“惟真数”的定义可得结果；（2）分别算出这个两位正整数的“惟勤数”和“惟真数”，再相减即可证明；（3）首先得到55x+y=222，分5≤y≤9和0≤y≤4两种情况分别列方程组，根据结果进行取舍．【详解详析】解：（1）76的“惟勤数”是706，“惟真数”是71；（2）两位正整数，其“惟勤数”是100a+b，“惟真数”是10a+b-5，∴100a+b-（10a+b-5）=100a+b-10a-b+5=90a+5=5（18a+1），∴“惟勤数”与“惟真数”之差能被5整除；（3）由题意可得：100x+y+10x+y-5=439，则55x+y=222，当5≤y≤9时，x+y-5=10，即x+y=15，解得：；当0≤y≤4时，x-1+y+10-5=10，x+y=6，解得：；∴这个两位数为42．【名师指路】本题考查了新定义在数字问题中的应用，二元一次方程组的应用，读懂定义并正确列式，是解题的关键．26．阅读理解，对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如：，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，值等于666，而，所以．（1）计算：_________；（2）若，且，求n的值；（2）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值．【标准答案】（1）13；（2）315或324；（3）【思路指引】（1）根据F（n）的定义求解．（2）设n的十位数字为a，个位数字为b，表示出新三位数，根据新旧三位数的和得到方程，结合a的范围求出n值即可；（3）由s=100x+43，t=150+y结合F（s）+F（t）=20，即可得出关于x，y的二元一次方程，解出x，y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s），F（t）的值，将其代入k的定义式，求出最小值即可．【详解详析】解：（1）对调256的任意两个数位上的数字后得到的三个相异数是：652，265，526，这三个相异数的和为1443．∵1443÷111=13，∴F（n）=13．故答案为：13．（2）若F（n）=9，则三个新三位数的和为999，∵300＜n＜330，∴n百位数字为3，十位数字小于3，设n的十位数字为a，个位数字为b，则n=300+10a+b，∴新三位数为：300+10b+a，100b+10a+3，100a+30+b，∴300+10b+a+100b+10a+3+100a+30+b=999，∴a+b=6，∵十位数字0＜a＜3，∴a=1，b=5或a=2，b=4，∴n=315或324．故答案为：315或324．（3）∵s，t都是“相异数”，其中s=100x+43，t=150+y，∴F（s）=（403+10x+340+x+100x+34）÷111=x+7，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6，∵F（s）+F（t）=20，∴x+7+y+6=20，得x+y=7，∵1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，又∵“相异数”定义，x≠4，x≠3，y≠1，y≠5，∴或，∴或，∴或，∴k的最小值是．【名师指路】本题考查了二元一次方程的应用，新定义的阅读理解能力，解题的关键是理解相异数的定义．27．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．问题：（1）请你直接写出方程的正整数解___________．（2）若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．（3）关于，的二元