北师大版七年级数学下册常考题专练专题16作辅助线构造全等三角形(原卷版+解析)

专题16作辅助线构造全等三角形题型一倍长中线1．已知在中，，，是边上的中线，则的取值范围A． B． C． D．2．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求证：．3．已知：如图，、分别是和的中线，且，求证：．4．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的延长至使连接利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是．（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若．求证：．5．（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．，，之间的等量关系；（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．

6．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是________．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是________．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．

7．已知：点为的边的中点，点为射线上的一个点（点不与点重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为、．（1）当点与点重合时，如图1，求证：；（2）直线绕点逆时针方向旋转，当时，①当点在线段上，如图2，猜想线段、、之间又怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；②当点在线段的延长线上，如图3，线段、、之间又有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）题型二角平分线8．如图，的面积为，平分，过点作于，则的面积为．9．已知，如图中，，，的平分线交于点，，求证：．10．如图，的面积为，是的平分线，于，则的面积为A． B． C．6 D．711．如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为．12．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为．

13．如图，在四边形中，，，，为边中点，若平分，平分，，则的长为．14．观察发现：如图1，平分，在，上分别取，，使，再在上任取一点，连接，．请你猜想与之间的数量关系，并说明理由．拓展应用：如图2，在中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点，请你写出与之间的数量关系，并说明理由．

15．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点，连接．（1）求证：平分的外角；（2）过点作，是垂足，并延长交于点．求证：．16．已知等腰直角三角形，是斜边．的角平分线交于，过作与垂直且交延长线于，求证：．17．（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点，过点作分别交、于、．①求证：；②若的周长是25，，试求出的周长；（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点，连接，试探求与的数量关系式．18．已知：．小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即的角尺来作的角平分线．（1）如图1，他先在边和上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线是的角平分线．试根据小新的做法证明射线是的角平分线；（2）如图2，小新在确认射线是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段和仍然相等．请问小新的观点是否正确，为什么？（3）如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得，请判断线段与的数量关系，并说明理由．19．是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，为的角平分线，点在的延长线上，，连接、，求证：；（3）在（2）的条件下，若，，求长．

题型三截长补短20．如图，在中，，，垂足为，且，则的度数是．21．（1）如图1，四边形中，，，的角平分线交于边上的点，求证：①；②是的中点；（2）如图2，（1）中的条件“”改为“条件”，其他条件不变，（1）中的结论是否都依然成立？请什么理由．22．如图，在中，，、分别平分、．（1）求的度数；（2）求证：；（3）图中还有相等的线段吗？请找出来（不用说明理由）．

23．如图，已知在中，，，是的平分线．（1）．（2）求证：．24．在等腰中，，为边上的高，点在的外部且，，连接交直线于点，连接．（1）如图①，当时，求证：；（2）如图②，当时，求的度数；（3）如图③，当时，求证：．

25．如图．已知，，，，垂足为．（1）求证：；（2）求的度数；（3）请问线段、、之间有什么数量关系？请说明理由．26．如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．（1）如图1，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；（2）如图2，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；（3）如图3，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．专题16作辅助线构造全等三角形题型一倍长中线1．已知在中，，，是边上的中线，则的取值范围A． B． C． D．【解答】解：如图，延长到，使，是边上的中线，，在和中，，，，，，即，．故选：．2．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求证：．【解答】证明：（1）理由如下：（已知），（两直线平行，内错角相等），是的中点（已知），（中点的定义）．在与中，，；（2）由（1）知，，，，，即，在与中，，，，；3．已知：如图，、分别是和的中线，且，求证：．【解答】证明：延长至，使，连接．是的中线，．，．，．，，．，，．是的中线，．．．，即．4．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的延长至使连接利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是．（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若．求证：．【解答】（1）解：是边上的中线，，在和中，，，，在中，由三角形的三边关系得：，，即，；故答案为：；；（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：同（1）得：，，，，，在中，由三角形的三边关系得：，5．（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．，，之间的等量关系；（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）理由如下：是的平分线，点是的中点，在和中，，（2）理由如下：如图②，延长交的延长线于点是的中点，，，．在和中，，是的平分线，，，，，6．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是________．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是________．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中EQ\B\lc\{(\a\al(AD＝DE,∠ADC＝∠BDE,BD＝CD))，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故选B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8－6＜2AD＜8＋6，∴1＜AD＜7，故选C．（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中EQ\B\lc\{(\a\al(DC＝DB,∠ADC＝∠MDB,DA＝DM))∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．7．已知：点为的边的中点，点为射线上的一个点（点不与点重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为、．（1）当点与点重合时，如图1，求证：；（2）直线绕点逆时针方向旋转，当时，①当点在线段上，如图2，猜想线段、、之间又怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；②当点在线段的延长线上，如图3，线段、、之间又有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）【解答】解：（1），，，在和中，，，；（2）①图2中的结论为：，证明如下：延长交于点，，，，，在和中，，，，，在中，，，，，是等边三角形，，，，，．②图3的结论，证明如下：延长交的延长线于点，，，，，在和中，，，，，在中，，，，，是等边三角形，，，，，．题型二角平分线8．如图，的面积为，平分，过点作于，则的面积为12.5．【解答】解：延长交于，平分，，，，在和中，，，，，，，故答案为：12.5．9．已知，如图中，，，的平分线交于点，，求证：．【解答】证明：如图，延长交的延长线于，，，平分．10．如图，的面积为，是的平分线，于，则的面积为A． B． C．6 D．7【解答】解：延长交于，平分，，，，在和中，，，，，，，故选：．11．如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为4．【解答】解：延长交于，垂直的平分线于，，又知，，在与中，，，，和等底同高，，设的面积为，．故答案为：4．12．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为6．【解答】解：是的平分线，于，，在中，在中，．即，在中，的面积为故答案为6．13．如图，在四边形中，，，，为边中点，若平分，平分，，则的长为26．【解答】解：如图，在线段上截取，，连接，．是的中点，，，，，，同法可证，，，，，，，，，，，，是等边三角形．，，，故答案为26．14．观察发现：如图1，平分，在，上分别取，，使，再在上任取一点，连接，．请你猜想与之间的数量关系，并说明理由．拓展应用：如图2，在中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点，请你写出与之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）．理由：平分，，，，，．（2）．理由：如图2，在上截取，连接，，，．是直角，即，又，，，分别是，的平分线，，，，，又为公共边，，，．15．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点，连接．（1）求证：平分的外角；（2）过点作，是垂足，并延长交于点．求证：．【解答】证明：（1）过作于，于，于，如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点，，，，平分，即平分的外角；（2）平分的外角，，，，在和中，．16．已知等腰直角三角形，是斜边．的角平分线交于，过作与垂直且交延长线于，求证：．【解答】证明：如图，分别延长，交于一点．，，平分，，又，．．．，，，，．又，，．．，．17．（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点，过点作分别交、于、．①求证：；②若的周长是25，，试求出的周长；（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点，连接，试探求与的数量关系式．【解答】解：（1）①平分，，，，，；②的周长；（2）解：延长，做，，，平分，，，平分，，，，，，，．18．已知：．小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即的角尺来作的角平分线．（1）如图1，他先在边和上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线是的角平分线．试根据小新的做法证明射线是的角平分线；（2）如图2，小新在确认射线是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段和仍然相等．请问小新的观点是否正确，为什么？（3）如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得，请判断线段与的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，在和中，，，．（2）解：结论正确．理由：如图2中，过点作于，于．，，，，，平分，，，，，在和中，，，，在和中，，，．（3）解：结论：．理由：如图3中，在上取一点，使得，连接．平分，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．19．是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，为的角平分线，点在的延长线上，，连接、，求证：；（3）在（2）的条件下，若，，求长．【解答】证明：（1）如图1，是等边三角形，，在和中，，，，，；（2）如图2，作交的延长线于，作于，，，为的角平分线，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，；（3）解：如图3，作于，于，为的角平分线，，，，在（2）中已证，，的面积的面积，，，，．题型三截长补短20．如图，在中，，，垂足为，且，则的度数是．【解答】解：延长至，使，连接．（已知），（等量代换），即；，（外角定理）；，（三角形内角和定理）．故答案是：．21．（1）如图1，四边形中，，，的角平分线交于边上的点，求证：①；②是的中点；（2）如图2，（1）中的条件“”改为“条件”，其他条件不变，（1）中的结论是否都依然成立？请什么理由．【解答】（1）证明：如图中，过点作于点．，分别平分，，且，，即是中点，在和中，，，，同法可得：，．（2）解：结论仍然成立．理由如下：如图2中，在上截取，连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．22．如图，在中，，、分别平分、．（1）求的度数；（2）求证：；（3）图中还有相等的线段吗？请找出来（不用说明理由）．【解答】解：（1）如图1，在上截取，连接，平分，，在和中，，，，、分别平分，，；（2），，，在和中，，，；（3），如图2，过作，，垂足分别为、，、为角平分线，点在的平分线上，，，，平分，平分，，