高中数学不等式大题强化训练（解析版）

专题32高等数学不等式大题强化训练

1.已知a,b,c£R,且3。2+3/+4/=60.

⑴求Q+b+C的最大值

(2)若a,Z?e(O,4),cG(O,6),求，-+2+生的最小值

4—a4-06-C

【答案】(1)厚(2)5

【解析】

(1)由柯西不等式，知

(a+b+c)。=仁•Via+-y/3b+j2c)

S恃)+信)+(外〔(•产+(W+(2c)邛

=(；+；+；)(3加+3b?+4c2)=：60=404-15=55.

a+&+c<V55.

点时,等号成立.

当且仅当浮~=半=丰>0,即a=b

3石2

/.a+b+c的最大值为v'55.

(2)由a,。£(0,4),c£(0,6),知a,4—a,b,4—b,c,6—c均为正数,

，a(4-a)=丫=4,&(4-b)<(^)：=4,c(4-c)<(^)==9.

4-a4-h6-ca(4-a)b(4-b)c(4-c)

」(r.lr.l3a*+3b*+4c60

.>—+----1---=---------------=—=□r.

―4491212

又当a=b=2,c=3时，满足a,。£(0,4),c£(0,6),3«2+3Z?2+4c,2=60,且‘-+-^+*=5.

士+叁+三的最小值为5・

2.证明：(1)米+3+丸+…37cl(应2,AGN)；

（2）分别以1,3……，二……为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为;的正方形内.

23n2

【答案】（1）见解析⑵见解析

【解析】

证明：（1）吃--f--F-r--F+-7-^-<吃+合+…+T=彳=1

2个

（2）由（1）知，氐+&+我+…+p^C7<1

故以边长为支，亏，亏，…匚二的正方形可以并排放入底为1,高为士的矩形内，而不重叠.

取k=2,3,4,...,即得底分别为全+品+…+之，或+金+…+士，亲+右+…+金，­••>

高分别为3士，。.....的一系列矩形，

这些矩形的底小于1,高的和为

111.击（1一知111

不一V=+…=Hm-----：—=lim彳（1-zr）（彳

2-2324L8.1x-oc22n2

1-2

因此，以1,：,:，…，：，…为边长的正方形中，除了边长为1,：,；的正方形外，其余的正方形全部可

以放入底为1,高为之的矩形中.

而边长为1,3：的三个正方形显然可以放入底为W高为1的矩形内.

2018

Znr左<L

【答案】见解析

【解析】

证明：由递推式得%+1-1=*一册=/（册一1）所以

111

an%-1an+t-1

从而得

Z201S^-,2018,、

-=V（―-------）=1———

Va

n=lOnT：-lOn.L*/02（119—1

:

又《n+l_/=（an-D>o

得数列｛%｝单调递增，所以册之A=2.

Z20.8

-■=1--------<1

k<*2019-1

由递推式可得册=-士从而

On—!1

4•a：…册==詈=M+L-1.

由均值不等式及已证结论有

n

2->1

Z“a%一々54a”

n

所以。「a2—an>n

201fl

特另U地a"、-1=a「。二­••a201B>2018

2O1«2OW

a(afc+bc)bQr+e)cCc2+ab)

4.设a,b,c>0.证明:---------------1------------------1--------------->ab±be-rca.

b+cc+aa+b

【答案】见解析

【解析】

由对称性不妨设a<b<Cf则#-<“-<—

b+cc+aa+b

当a?^bc<b2+ca<c2+ab时，即a+bNc时，

由切比雪夫不等式3LH52(桑+裔+土)(。=+b:+c2+ab+bc+ca).

由他加前不等式知氏+会+也灵・

且易知。二+炉+”>ab4-&c+ca.

故3LHS>7,2(ab+be+ca)oLHS>afe+&c+ca.

当且仅当a=b=c时，等号成立.

2

当a+b<c时，a+b>c4-a&>c(a+b)+ab=ab+be+ca,

显然有LHS>ab+be+ca.

综上所述，原不等式成立.

5.设a,瓦c>0.证明：^^+^^+^^>ab+bc+ca.

b+cc+aa+b

【答案】见解析

【解析】

由对称性不妨设a<b<Cf则b+c<-c+-a<二a+rb.

当。二+&c<&2+ca<cz+ab时，即a+bNc时，

由切比雪夫不等式3LHS>(端；+工+卷)+炉+/+ab+be+ca).

由Nesbitt不等式知/+-^-+-4>-.

b+ch+<a+b2

且易知a二+炉+c，>a&+he+ca.

故3LHS>7,2(ab+be+ca)oLHS>ab^beca.

当且仅当a=b=c时，等号成立.

当。+b<c时，+产>c，+ab>c(a+b)+ab=ab+be+CQ,

a+b

显然有LHS>ab-kbe-bca.

综上所述，原不等式成立.

a(a2+bc)+b(b2+ca)+cl+ab)

6.设a,b,c>0.证明:Nab+be+ca.

b+cc+aa+b

【答案】见解析

【解析】

由对称性不妨设awbwC,则；W上

o+cc+aa+b

当a二+6c<b2+ca<c2+ab时，即a+&>c时，

由切比雪夫不等式3LHSN(亲+念+工)G+炉+/+ab+be+cd).

由Nesbitt不等式知;匕+J-+-*>-.

b+cb+ca+b2

且易知a?+&:+c:>a&+&c+ca.

故3ms>7-2(ab+be+ca)=LHS>a&+de+ca.

当且仅当。=b=c时，等号成立.

2

当a+b<c时，a+b>cab>c(a+b)+ab=ab+be+ca,

显然有LHS>ab+bc+ca.

综上所述，原不等式成立.

7.⑴求证：对于任意实数x、y、z都有二二+2y「+3z。2V5(xy+yz+zx).

⑵是否存在实数k>V5,使得对于任意实数x、y、z有炉+2尸+3z,之A（xy+yz+zx）恒成立？试证明你

的结论.

【答案】（1）见解析（2）见解析.

【解析】

⑴由均值不等式，可知三+小工、氏V，三+与之V5xz,三+与2、序yz.

故有x2+2y2+3z2>V3(xy+yz+zx).

(2)xz+2y2+3z2-k(xy+yz+zx)=(x-+(2-+(3-_(j+k)yz.

上式20恒成立，当且仅当2-白。且仔+2)、4(2-？)(3-9

化简得网<2v2且炉+6H<24.故存在k>V5满足要求.

8.已知正数a、b满足a+b=L求M=11+2a=+2+」的最小值.

【答案】宅

【解析】

由柯西不等式可得(2(f+1)(1+A:)>(a+A):,

归+偿)1(1+*)2(》+为1

所以

M=71+20:+2J(-Y+b:>-^=+2--^2=.①

«1+“2

取等号的条件分别为

4a，=奈②

炉=皂.③

当—=="三时，有『=4笳+L结合②③得

后+*0+-尸

(|娟胪=第

又a+b=L所以炉+高?=仁)〔整理得

144b&-288b3+263b=+50&-25=0,

故

(4b-1)(36产-63炉+50b+25)=0.④

记/'(b)=36b3-63b2+50b+25,则

f(b)=108b2-126b+50=108仅一白一+羊>0,

所以f(b)在(0,1)上为增函数，故当0<b<1时，

f(b)>/(0)=25>0.

于是，由④可得!>=；,从而a=:.

代入②③求得，=],〃=；.

代入①式，整理得M2些，因此M的最小值为书.

1212

9.设x,y,z》0,且至多有一个为0,求f（x,y,z）=母等+第+段的最小值•

【答案】12

【解析】

不妨设x>y>z.

情形一：当256y?2Kz时，因为乎卧一弓=与衿/20；

户+产y2।广+户）产

y2+ZSbzxy2式256尸一尸0j

-------------=------------>UA：

三+/x2B+X2）短一

/+二564・_二56*尸_Z2.八

产+产一/+产=/+产—5

+腐『+16孱

所以f(%y,z)>

x-+y-孙』之3/=】2

=----—+8.:+8

xyx-+y-

当且仅当x：y=(2+<1)：L且z=0时，f(x,y,z)取到12.

情形二：当256y'C/z时，又Kzw炉y,故256）"<x:y,从而256产<K.

故f（u，z）=e箸+J昔*第

x-+256yz256产+256yz

>―—:+0+0>

J"+z~y2+z2

=16辟。>12.

综上，f(x,y,z)min=12.

10.若a、b、c为正数且a+6+c=3,证明：ab+be+ca《+\历+\后43

【答案】见解析

【解析】

因为v'a+va+n2>3Vo^=3。,

同理、0+、仿+炉>3v^=36

Vc+历+c，>3=3c

三式相加得2(V0+\'rb+yF)+。二+b二+c，>3(a+b+c)=9=(a+b+c)二

所以2(y£+、仿+Vc)>(a+&+c)2-a2-&2-c2=2(ab+be+ac)

占攵ab+be+ac<、万+v&+&

又(口+小+、£>《(a+b+c)(l+l+l)=9,所以、&+、吊+、E43

综上可得ab+be+ac(y'a+\!b+\c<3.

11.设无、y、z为正实数，求(x+：+&)(y+：+在)(z+：+0)的最小值.

【答案】20+14在

【解析】

记T=(x+j+V2)(y+：+&)(z+；+V2),当x=y=z=l时，T有最小值

(2+V2)1=20+14V2.

下证：T>20+14^.

解法一

rT=(xyz+亡)+V2(xy+yz+zx+标+^+习+3(x+y+z+；+：+：)+々(：+?+1+

S>/222+V2x6"/xy-yz•zx•--,—,--+3x6blx•y•z•-•—,-+V2x33—+5v?=2+6V2+

y，/xyyzzxX，xyzy^zxy

3x6+V2x3+5y/2=20+14\^2,

当X=y=Z=1时，可取到等号.

所以，7的最小值为20+14&.

解法二:

=20+14V2.

当X=y=Z=1时，可取到等号.

所以，T的最小值为20+14G.

解法三：注意到

2+732+732+V3y2+VIb”

于是，

(r+1+V2)(y+1+V2)(z+1+V2)

(2+V2)3

x+1+&y+~+V2z+[+在

-2+V22+V22+V2

故(x++V2)(y+G+在)(z+j+在)>(2+V7)3.

当X=y=Z=l时，可取到等号.

所以，T的最小值为(2+V2)3=20+14Vl

12.设aeR,且对任意实数人均有蜀蕊|r+ax+b|之L求〃的取值范围.

【答案】aw-3

【解析】

解1：/(x)=x2+ax+b,对于|b|21=|f(0)|21,

所以只要考虑叫<1.

(1)当一三三0时，即a20,此时函数f(x)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意仍|<1有

f(l)=l+a+b</(0)=b,所以/'(1)=1+a+b>1,

解得a>1

(2)当0<-]w轲，即一1<a<0,此时函数f(x)的最值在抛物线的顶点和右端点取得，

而对6=0有If(1)1=11+a|<1,|f(-=|9|<1.

(3)当=<一三±1时，即一2wa<—l时，此时函数f(x)的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对斤0有

1〃0)1=同<1,/3/用<i.

(4)当一自21时，即as—2,此时函数f(x)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意

\b\<1有|f(0)|=|&|<1，所以/'(1)=L+a+b<-1,解得a<-3.

综上或a<-3.

解2：设max\x2+ax+b|>1,则有m>|b|,m2|1+a+b|=2?n>|b|+|1+a4-h|>|1+a|依题意,

x€[O,l]

匕抖N1=>aNL或a三一3.

13.已知实数a、b>c满足屐+b，+c，=L求M=a，bc++abc，的最大值和最小值.

【答案】见解析

【解析】

由均值不等式和柯西不等式可得

|a2dc+ab2cabc2\<label+(|a|+\b\+|c|)

《业产”a+W+旧)

^p3(a:+b:+c=)]=：.

当。=5=。=4时取等号，故M的最大值为上

v33

要使M取最小值，只需考虑6b>0,c<0,且a+b>0的情形,令c=-3贝ij

a2+fe2+12=1,a+&-1>0,此时由于

M=abc(a+b+c)=-abt(a+b—t)

>_£l±Lt^2(a=+&=)-t]

=—

当a=b=月时取等号，令

fM=J2(l._x)一岗，0<x

若M0为/(x)在[0用上的最大值，则一,也为M的最小值.由于/XO)=f0=0,则/Xx)在(0,5内取到最大

值,因此在广6。=0)的9处取到,由于

—Qr

f'(x)=—=z[v/l-x(l-4x)+(2x-l)V2x]

2V2x(1-x)

令VT^I(l-4x)=(l-2x)疹，两边平方，整理可得

(l-3x)(8x:-8x+l)=0

此方程有根x=Jx=:士二.又因为：+匹〉三，且是增根，故x°=：-三是f(x)的最大值点.因此，

324243324

-/(%)=-彳是M的最小值.

14.已知在正整数n的各位数字中，共含有七个1,a：个2,册个n.证明：2a，xx…x10的Wn+1

并确定使等号成立的条件.

【答案】见解析

【解析】

对正整数n的位数使用数学归纳法.

当n是一位数，即lVn<10时，所证式显然成立，

这是因为，此时”的十进制表达式中只有一位数字”，

即=L其余%=0。H??),所以，左边=(n+1)1=右边.

假设当正整数n不超过k位，即“<10"时，结论皆成立.

现考虑n为k+1位数,即10、<n<10/+工时的情形.

设n的首位数字为r.贝M=”0k+%(0S%S10*-1).①

若“1=0,则在数”的各位数字中，ar=1,其余%=0。h?-).

显然，6+1)册<n+1.

k

<nt<10-1,记八的各位数字中含有4个1,a?个2,…，4个r,…，个9.

则n的各位数字中,含有册+1个r、勺个j(l<j<9,Jhr).

注意到，正整数&不超过k位.

由归纳法假设，对心有

2a,x3a2x…x10%<n+1

=>2a,x3a2x•••x(r+1)/+1x•••x10的

<(r+l)(nt+1)=r(n，+1)++1

k

<rlO+nx+1=7i+1.②

则当“为k+1位数时，结论也成立.

故由数学归纳法，知对一切正整数”，结论皆成立.

欲使等号成立，由证明过程，知要么n为一位数；要么在n的位数大于或等于2时，由式②，必须%+1=10%

此时，由式①得四="0"+10"-l(lwr三9),

即兀可表示为二’(k>0,1<r<9)的形式.

上述条件也是充分的，当”能够表成以上形式时，有％=1«9=匕其余%=().

柏2alx3%x-x(r+1)0Tx—x10%

=(r+l)110k=n+1.

15.一次竞赛共有n道判断题，统计八名考生的答题后发现：对于任意两道题，恰有两名考生答“T,T”；

恰有两名考生答“F,F”；恰有两名考生答“T,F”；恰有两名考生答“F,T”.求n的最大值.

【答案】7

【解析】

记“T”为1,“F”为0,从而，得到一个8行n列的数表.

显然，交换同一列的0和1,此表的性质不改变.因此，不妨设数表第一行全为0.

设第i行共有2个0(i=l,2,…，8).

则A=n,Qf=4n-n=3?i.

下面考虑同一行中的“00”的对数，则

9\,S<,S

Z1=11=■1=_

由柯西不等式

"G泡皿，

知：(雪=1-£：=/；<n:-n=>1(3n)2-3n<n:-n=»n<7.

表1为n取最大值的情形.

表1

0000000

0111100

0110011

0001111

1010101

1011010

1100110

1101001

从而，n的最大值为7.

-<z<min(xy)

16.正实数x、y、z满足qxz>^,求三+三+?的最大值。

J15Kyz

【答案】13

【解析】

由;Wzwmm{x,y},得

又由XZ*,得上卓•亚

类似地，由,三、q.ajwL得

/299

n+<

=飞

\2~-2-

故二十二+三=（2+二）+2（二+二）＜4+2x-=13,

xyz\xz/\yzf2

当万=：4=32=：时，以上各式等号成立

所以，二+二+'的最大值为13.

XyZ

17.设函数f(x)=炉一(H-5ak+3)x+7(a、kwH)。对于任意的kc[0,2],若修、也满足

xx6[k,k+a],x2e[k+2a,k+4a],则fCq)NfGJ。求正实数a的最大值。

【答案】n>

【解析】

依题意，函数/"(X)的对称轴为x=三"三.从而，题设条件等价于对于任意的kc[02],均有

.5U-k2-"+3

>fc+-ac=>5a<-----------.

2-------------2k+l

又？：：>+'1=(fc+1)+-4>24-1)^7—4=2^6—4,当且仅当k=、另—1时，上式等号成立.从

而，正实数a的最大值为咨之

a+b+c

18.已知a、b、c为正实数.证明:abc>>(a+5-c)(b+c—Q)(C+Q—b).

【答案】见解析

【解析】

先证明:abc>a+b+c上式等价于证明:

r+A•

二a«+^b£一

(ab)。+(be)2+(ca)-a&c(a+b+c).

令x=ab,y=be,z=ca.

由不等式犬+y2+z2>xy+yz+zx,知结论成立.

再证明：a+b+c2(n(a+b-c))(££),①其中，表示轮换对称积，表示轮换对称和.

注意到，不等式是轮换对称的.

不妨设a=max{a,fe,c).

则a