高中数学 矩阵的简单应用教学案 苏教版选修4-

矩阵的简单应用

设小、儿是二阶矩阵力的两个不同的特征值，即、是4的属于特征值九、九的

特征向量，对于任意的非零向量

£,设£=打。1+力2a2(方1,力26R),则有4£=方14；。1+力2工。2(77£叶).

ri11「3］

［例1］已知矩阵—02，£=1.

(1)求出矩阵〃的特征值和特征向量；

(2)计算就。。8；

(3)从第⑵小题的计算中，你发现了什么？

［思路点拨］(1)先求出矩阵〃的特征多项式，求出特征值，再求出与其对应的特征向

量；

⑵利用=打入：ai+友几；。2(41、42是矩阵2的特征值，。1、a2是九、几2的特

征向量，£=打。1+12a2)计算；

(3)由"£中〃的变化情况与计算结果即可发现规律.

［精解详析］(1)矩阵〃的特征多项式为

4一1-1

/1(4)==(4-1)(4一2),

0A-2

令/*(4)=0,解得儿=1,几2=2.

所以它们对应的特征向量为*=［：］，。2=口］

(2)令£=0。1+77a2,

113

则有十刀

011

解得勿=2,/?=1,即P=2ai+a2.

2"I441+2"

所以〃£=材(2。1+。2)=2"。1+川。2=24：。1+工。2=

18-

16j

-210+2-2—2

同理可得，"。21。

8='H8=2100

(3)当〃很大时，可近似的认为

[11「2]

"£="(2%+。2)。2=2'=.

L1JL2nJ

[方法•规律・<1、结]s

求4。的一般步骤为：

第一步：求矩阵2的特征值4和相应的特征向量A

第二步：把向量。用fl,f2线性表出，即。=%12+方2打；

第三步：由公式计算4。=方”"1+力2"乳.

1.已知矩阵A的一个特征值为3,对应特征值3的特征向量a=，求那°a.

-1-3100-

解：A100a=3100

33101

212-

2.给定矩阵2=,B=

,30.-2.

⑴求4的特征值41,42及对应的特征向量。2；

⑵求施

解：(1)设4为2的特征值,

A-2-1

由F(4)4(4-2)一3=0,

-34

解得小=-1,几2=3.

21

当儿=—1时，由

30

1

得4属于特征值一1的特征向量为%=

-3.

1

同理，Z属于特征值3的特征向量为口

1

2

⑵设B=mana2=

—

111+13=2,

得

一3勿+z?=—2.

m=1,

解得

77=1.

所以B=%+a2.

44

因此dB=A，(ai+a2)=(-1)ai+3a2

IT「81]「82

矩阵方塞4的求法

4—5

［例2］设4=°°,利用矩阵的特征值和特征向量计算4.

L-32J

［思路点拨］先求出矩阵2的特征值小，42与其对应的特征向量。2,然后利用

Ana=Ana,并令4=,最后利用待定系数法建立二元方程组求得a,b,c,d.

_cd_

［精解详析］/的特征多项式

A-45

=(4—4)(4—2)—15

=22—64—7=0,

令/1(4)=0,得2的特征值为41=7,几2=—1.

(3x+5y=0,

对儿=7,解相应的线性方程组°「八

[3x+5y=0,

一5-

可得即=°为矩阵2的属于特征值儿=7的特征向量.

L-3J

［—5x+5y=0

对42=-1,解相应的方程组彳，

〔3x—3尸0

可得。2=［］为矩阵4的属于特征值小=—1的特征向量.

4-55

于是21==7

-32-3

-5"|「5

显然4°=7,°

-3-3

「ab]

设4=」则有

_cd_

5a—36a~\~b

5c—3(yc+d_

〃5z—36=5,ln,

5c—3d=—3・V,

所以〈

a-\-b=—”,

、c+d=—

5•7n-\--5•7n+~n

解得a=b=-----------------------：

-3•7n+~n3•7n+~n

----------------------------,d=-----------------------:

一5・7〃+:-5-7〃+

8一8

所以4

一3・7"+3・7〃+

88

［方法・规律•小结］

矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘,更高次方的运算可运用矩阵的特征向量与特征值

对计算进行设计、转化.一般步骤为:

⑴求二阶矩阵4的特征方程的根小，小，并分别求出对应的一个特征向量X,%,

nhDh

令/=

,771.

b]ab仍入；nh

⑵设4=,根据4%=入年，4%=几觊，得

_cd_cd_.771.入H

42n2_

4

[anh+bni=入：nh[cnh~\-dn\=

⑶解方程组一-和一门即可求得4.

[anh-Tbn2=入2nh[c@十办2=42刀2,

〃^题速4利'〃〃/

r

3.已知2=],求及

解：特征多项式为

A-l-1

F(4)==(4一1)2—1=几2—2几，

一14一1

令/O)=0,解得矩阵2的特征值小=0,'=2,

(—x—y=O,

对九=0,解相应的线性方程组

〔一才―P=°，

-r

可得即=।是矩阵4属于特征值儿=0的一个特征向量.

-1

(x—y=0,

对小=2,解相应的线性方程组,

[~x+y=0,

可得。2是矩阵Z的属于特征值小=2的一个特征向量.

-111「1一1

于是，2。1==0

11—1-1

mcH；]

显然,弋1《卜】

a

设万=

c

a+b21U1024

c+d~2101024

'a—b=3

c-d=Q,

3+8=1024,

、c+d=1024.

解得<3=512,6=512,c=512,"=512.

512512-

所以，Ai0=

512512_

-21

4.已知A=，求An.

1_30」

解：特征多项式为

4一2一1

/*(4)==(久一2)4一3=几一一3.

解方程乂―24一3=0,求得特征值儿=—1,力2=3.

—3^—y=0,

对于几i=-1,解相应的线性方程组•

—3x—y=0,

「11

得是属于人的一个特征向量.

_13_

[x-y=0,

对小=3,解相应的线性方程组_八

[―3ox+3oy=0,

得口]是属于小的一个特征向量.

rinrr

显然4=（一>一①

—3o」L-3J

dH；］,②

「5b]

设4=,代入①②得

'a—3b=—

a~\~6=3",

c-3d=—

、c+d=3",

6

3小+

a

4

,3〃一

b=-----

4

解得＜

3〃+』〃+i

c

4

3”+

7d------

4

3小+3」

44

因此4=

3小+3〃+

44

国聚"|矩阵的实际应用

［例3］某人进行股票投资，获利与亏损的规律为：如果某年投资获利，则第二年投资

21

亏损的概率为］如果某年投资亏损，则第二年投资获利的概率为5,假设2013年他获利的

3

概率为了

(1)求他2014年投资获利的概率；

(2)问他2014年与2015年哪一年投资获利机会大？

［思路点拨］列出数组之间的矩阵表达式，转化为矩阵问题求解.

3

4-

31

［精解详析］(1)2013年他获利的概率为“则投资亏损的概率为?它可以用W=1表

4-

33

-ir

4-8-

32

=3

示.2014年他获利与亏损的概率为限14=八।15所以2014年获利的概率为］

21O

4-8-

32

(2)2015年获利与亏损的概率为

113113

3-2-4-3-2-8-

_--

L211215

3-2-4-3-2-8-

7

所以2015年获利的概率为主，2015年投资获利机会大.

［方法•规律•小结］—f

对于一些实际问题可通过列出数组之间的矩阵表达式，将实际问题转化为矩阵问题，利

用矩阵的相关知识，最终达到解决实际问题的目的.

〃〃/题做杂钠

5.为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密原理如下:

明文乃加密,密文Y发送,密文V解密，明文1

现在加密方式为：把发送的数字信息X写为“司11刘21刘12H22”的形式,先左乘矩阵A=

62,

1455

，再左乘矩阵B=得到密文上现在已知接收方得到的密文是

-22148

T5_

4,12,10,22,试破解该密码.

解：由题意知,

~62-

551424

BA=

148-2268

5

11

-1

2

・•・（胡）T

31

_44

410

又（物）1=

1222

「口

-1-

410_2410

・,・>=（胡）722」—3_1

121222

4~4

8

21

-_02「

即发送的数据信息是2012.

~x+y^2,

6.已知不等式组<x20,确定的平面区域为龙，点版(a,6)在平面区域片内,

点肱(a+b,26)在平面区域R内.

(1)求平面区域E的面积；

(2)若点加功,A)在平面区域用内，则点例(ai+瓦2m便在平面区域内内，若点胭(az,

㈤在平面区域K内，则点胭(包+A2㈤便在平面区域R内，…，依次类推，试判断平面区

域6的形状，并求其面积SSGN*).

解：(1)设幽(国,4),依题意有

ELX=a+braiF1

可表示为，=八

bi—2b,-4」l_0

由于平面区域凡是由三个点4(0,0),4(2,0),4(0,2)组成的，故平面区域月是由三

个点。(0,0),A(2,0),白⑵4)组成的,其面积s=4.

(2)设%+i(a〃+i,4+1)(〃eN*),由题意有

a〃+i=a"+bn,1

可表示为，

60+i=26",_bn+\.0

-1

设2=

求得2的特征值九=1,几2=2,

1

儿=1对应的一个特征向量。1=

0.

42=2对应的一个特征向量a

又［»明,

故"［：］=2四即=2><1"乂11F2'

又=-2ai+2a2

故力[2]=—2XA"a)+2X八之即

=—2Xl"ai+2X2"a2

由题意知矩阵A所对应的变换是线性变换，即在矩阵A的作用下，将直线4反变换成

Ai氏,将44变换成4%…，将直线4T员t变换为4员，

，平面区域凡是由三点ft(O,0),4(2,0),民(2"+i—2,2小)组成的三角形，其面积S„

=2小(AGN*).

课下训练经典化，贵在触类旁通［对应学生用书P45］

1.已知向量$1=1]]鼻=[1]'au]]'把.用鼻线性表出.

解：设a=zhfi+i2f2即||=|

⑶Lti+foJ

力2=2,=1,

均+方2=3,方2=2.

「・a=fi+2f2.

2.若矩阵/有特征值九=2,九=—1,它们对应的特征向量分别为，=［：］和尸，

⑴求矩阵/及逆矩阵/T;

1

⑵若。=试求/°°a.

16.

ab\Ai=^17,

解：(1)设4=,则由题意可得

cd_AJ=42J；

10

7=2,

6=0,20

所以〈即A=

c=0,Lo-1

、d=T,

1

-o

2

所以=

o-

⑵设afj,贝匕6]=«。)+{[=[/

所以"=1,刀=16.

34

3.设A=,求4(〃£N*).

52

解：矩阵2的特征多项式为:

A-3-4

/1(几)==4?一54一14—(4—7)(几+2),

-5-2

令/1(4)=0得矩阵2的特征值为小=7,42=-2.

把小=7,42=—2代入线性方程组

4—3-4x0

=

-5A-2,7.0

得各自对应的一个特征向量。1、a2,

・・2。1=几1。1,2。2=几2。2,

4al=a1,4a2=力9。2.

□b]

设4=J则

_cd_

解得：石=/[5乂7〃+(—1)”・2〃+2],

4

b=-[7n+(-iy+i-21,

y

5

c=g[7"+(—1严、21，

y

d=！[4X7”+(―1)"X5X2].

y

4[5X7"+-14

"•2〃+1-[7B+-1

yy

5i

x7+-11•2]T[4X7"+-1"X5X2"]

yy

1o-21

112

4.若M=-T2-,8=，求［（胧

2<-2-2

-

1o--21-

-2-1-

11-

-12--

2±2-

---1o

-2-1

二•det(硼==1.

10

设（胧-的特征值为A,特征向量为f,

=一4(—2—4)+1=4+1=0.

一1

A=—l,f=.：、B=2W.

-1

2,

・・・[(脉T『°°£=4侬.2f=2f=£=

-2.

1a2

5.已知矩阵2=的一个特征值为4=2,其对应的特征向量是,向量

-1b1

12

£=1J•求己、b及6B.

ri

解：由题意可知

2+a=4a=2

即:

-2+6=26=4

HL—1I2的特征多项式为

A-1-2

/1(4)==A2—5A+6,

1―4

令/*(几)=0得：小=2,42=3.

显然儿=2时的一个特征向量为

设42=3时的一个特征向量为。2=1］，

则［一；1Hl

[x+2y=3,x1

BP：得y=x,不妨令。2=

〔一x+4y=3p1

7-21

又£==3+=3。1+。2,

411

「23X26+35~435'

A/^=3X25

13X25+35_339

-1;及向量

6.已知矩阵2=

(1)计算4'a,并分析讨论当〃的值越来越大时，4a的变化趋势;

(2)给出4。的一个近似公式，并利用这一公式计算/3。.

4—1—2

解：⑴/*(几)==/P—54—6=(A+1)(2—6),

—54—4

则矩阵N的特征值为九=-1,几2=6.

1

属于特征值儿=—1的一个特征向量1=

-1

属于特征值42=6的一个特征向量a2=

“+2X6"'

A1o=Aia712a2

—5X6：

当力的值越来越大时，（一1）〃和（一I）5可忽略不计,

「2义6「

A'a心

5X6：

「2X6.

(2)由⑴可得,4s

2X6100-

.5X6100_

50

7.已知矩阵A=2,求点尸⑶3）