精讲精炼（选择性必修第二册）4 .3 等比数列（精练）

4.3等比数列（精练）

【题组一等比数列的判断或证明】

1（2021•全国）有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是（f,e）；

③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若。2=ac,则a，6,c,成等比数列.其中说法正

确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】对于①，因为等比数列中的各项都不为0,所以①不正确；

对于②，因为等比数列的公比不为0,所以②不正确；

对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以③

正确；

对于④，只有当"，b,c,都不为。时，a,b,c才成等比数列，所以④不正确.

因此，正确的说法只有1个，

故选：B.

2.（2021•全国高二专题练习）以下条件中，能判定数列是等比数列的有（）

①数列1,2,6,18,...；②数列｛4,｝中，已知a=2,—=2；③常数列4，a,a,....④数列｛%｝

a\a2

中，空=虱"°），其中"eN*.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；

②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；

③中，当a=O时，不是等比数列；

④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.

故选：A.

3.（2021・全国高二单元测试）已知数列也｝是等比数列，则下列数列中：①忖卜②｛2%｝；③，（-1，等比

数列的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

1

【解析】设｛。,,｝的公比为q,则弁=d*=，故｛硝、上］］均为等比数歹I」.

2%

取a„=2",bn=2%,则瓦=2«=4也=2%=16也=2。=256,

此时,=吟=16,/哈故｛2%｝不是等比数列，

故选：C.

4.（2021•全国）设xeR,记不超过x的最大整数为印，如［2.5］=2,［-2.5］=-3,令｛x｝=x-［x］,则

亚里，三个数构成的数列

A.是等比数列但不是等差数列

B.是等差数列但不是等比数列

C.既是等差数列又是等比数列

D.既不是等差数列也不是等比数列

【答案】A

【解析】［与4=且里-1=叵口［母］=1,故三个数成等比，选A.

222L2.

5.（2021.吉林延边二中高二月考）下列命题中正确的是（）

A.若a,b,c是等差数列，则log2。，log28,log2c是等比数列

B.若a,Bc是等比数列,则log2a,log2b,log2c是等差数列

C.若a,Ac是等差数列，则2。，2b,2。是等比数列

D.若a,b,c是等比数列,则2",2h,2,是等差数列

【答案】C

【解析】若a=b=c=—1,则对数无意义，A,B错误；

对C,若a,b,c是等差数列，则a+c=»,所以2"2=2"。=22〃=（2"）2,正确;

对D,若a=l,b=2,c=4,则2"=2,2"=4,2。=16,显然2"+2,*2x2〃，错误.

故选：C.

6（2021.全国高二专题练习）已知不全相等的实数。，b,c成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（）

A.a,c,bB.a2,b2,c2C.1。1,1^1,Ic\D.—,—,—

abc

【答案】D

【解析】因为不全相等的实数。，b.c成等比数列，

所以该等比数列的公比4工1，显然有〃工。,夕工。，b=aq,c=aq2,

A：若。,c,匕成等差数列，显然2c=a+力成立，即2〃/=。+〃。，

化简为2/-q-l=0,解得4=-；,或4=1(舍去)，所以假设成立，故。，c,匕有可能是等差数列；

B：若/,/,02成等差数列，显然2从=/+d成立，即4泻2=标+潟4,

化简为：/-4/+1=0,解得：/=2±6,显然4=±^/^二万或4=±亚二3,所以假设成立，故/,b2,

,?有可能成等差数列；

C：若|a|,\b\,©成等差数列，显然2|。|=向+凡即2|匈=同+阿2|,

化简为：|才-2回+1=0,解得@=1,因为"1,所以4=-1,因此假设成立，

故Ml,1勿，Ic|有可能成等差数列；

D：若工，!，，成等差数列，显然2==，+L即2-!-=，+—L,

化简为：d-2g+l=0,解得9=1,而qxl,因此假设不成立，故!，[一定不可能成等差数列，

abc

故选：D

7.(2021•辽宁阜新•高二期末)(多选)已知等比数列｛风｝中，满足q=1,公比4=-3,贝!!()

A.数列｛3久+%｝是等比数列

B.数列｛。向-4,｝是等差数列

C.数列｛可4+J是等比数列

D.数列｛log3k1｝是等差数列

【答案】CD

【解析】等比数列｛%｝中，满足4=1,公比4=-3,q=(-3广'.

对于A,3%+%=3[(-3门+(-3)"=[(-1)*'+(-1)13"=0,不是等比数列，故A错误：

对于B,4+「。”=(-3)"-(-3广=*(-3)”,是等比数列，故B错误；

对于C%,用=（-3广二（一3）"=（-3广'，是等比数列，故C正确；

对于D,log3|a„|-log,|（-3）"''|=n-l,是等差数列，故D正确.

故选：CD.

8.（2021•全国）（多选）若｛4｝是等比数列，则（）

A.｛%是等比数列B.｛%+q用｝是等比数列

C.是等比数列D.｛4•.｝是等比数列

【答案】ACD

【解析】因为｛4｝是等比数列，所以设其公比为4,即智=4.

2

因为萼=。2,所以｛《：｝是等比数列，所以A选项正确；

1

因为?=&=1,所以是等比数列，所以C选项正确；；

a„

因为个等=T，所以｛“/向｝是等比数列，所以D选项正确：

当q=-l时，a“+a.”=0,所以此时｛4+。用｝不是等比数列，所以B选项错误.

故选：ACD

9.（2021•深圳市皇御苑学校）（多选）已知数列｛a,,｝是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是

,1,,

A.｛—）B.log,（a,,）-C.｛4+-｝D.｛an+an+l+an+2]

【答案】AD

2

【解析】氏=1时，log2（«„）=0,数列｛log?©）?｝不一定是等比数列，

4=-1时,an+an+l=0,数列｛%+.｝不一定是等比数列,

由等比数列的定义知4｝和U+《,.2｝都是等比数列.

an

故选AD.

10.（2021•全国高二专题练习）已知数列｛斯｝满足0=1,+1=2（〃+1）〃〃，设儿=4■.

n

(1)求力，岳，〃3；

(2)判断数列｛为｝是否为等比数列，并说明理由;

(3)求他〃｝的通项公式.

【答案】⑴"=1,62=2,为=4；⑵是,理由见解析；(3)a“=〃2"7.

【解析】⑴由条件可得斯+产3”»丽

n

将〃=1代入得，42=4〃],而4]=1,所以，42=4.

将〃=2代入得，〃3=3〃2,所以，6=12.

从而力1=1,岳=2,Z?3=4.

⑵数列｛儿｝是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下：

由条件可得均=生，即6,田=25，又"=1,

所以数列｛儿｝是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由(2)可得益=2-1,所以勺=〃♦2"T.

n

【题组二等比数列基本量计算】

1.(2021•全国高二课时练习)在数列｛4｝中，4=1，点m，4+J在直线y=2x上，则为的值为()

A.7B.8C.9D.16

【答案】B

【解析】因为点(«„,4,+1)在直线y=2x上，所以a„+I=2ali,

因为4=1,所以｛〃“｝是首项为1,公比为2的等比数列，

所以q=q=1x23=8.故选：B.

2.(2021•北京牛栏山一中高二期中)已知等比数列｛凡｝的前“项和为S”下表给出了S,的部分数据:

n123456

S„-120-61

那么数列但“｝的第四项为等于()

A.81B.27C.-81或81D.-27或27

【答案】B

【解析】由题意得，等比数列｛〃“｝中，__,

1'一一一—8।1

故/=81,g=±3,

因为S1<0,S产仁>0,由成-1>0,所以1-4>0,

1-g

所以g=-3,所以4=_(_3广，

故q=a闻a=-(-3)3=27.

故选：B.

3.(2021.全国高二课时练习)记正项等比数列包｝的前〃项和为S“，若为=4,，=5$2,则$6=()

A.2B.-21C.32D.63

【答案】D

(解析】设正项等比数列｛a,,｝的公比为q(q>0),

因为4=4,S4=5S2,

4g2=4\a\Q2—4jq=2

(4+44+4如+4。)=5(q+qq)[q~+q=4(1+^)[q=l

=1X^-2)=26-l=63-

61-2

故选：D.

4.(2021•全国高二课时练习)在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次

为.

【答案】80,40,20,10

【解析】不妨设等比数列｛%｝吗=160,4=5,公比为q

贝lj4=a4,即5=160g5,

a

故％=\Q=80M3=a"=40M4=a4=20,a5==10

，这4个数依次为80,40,20,10.

故答案为：80,40,20,10

5.（2021•全国高二课时练习）在等比数列｛斯｝中，若内=3,aio=384,则公比行.

【答案】2

【解析】为=3,%0=384,.•./=方，.•.384=3寸,即d=128=2，,.“=2,故答案为：2.

6.（2021.上海市进才中学高二月考）在2,x,8,y四个数中，前三个数成等比数列，后三个成等差数列，则

x—y=___________

【答案】-8或一24.

（x=4\x——4

【解析】由已知得八16』63y解得…或尸2。’…尸一8g.故答案为…或3

7.（2021•全国高二课时练习）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四

个数的和是.

【答案】45

2

【解析】设这四个数分别为maq,的2,叼3,贝|jq—],（妁一],aq-4f阳3—13成等差数歹ij.即

2(^-1)=(aq?a(q-V)2=3,

整理得

2(。夕2-4)=(。4一1)+(。/-]3),aq(q-1)2=6,

解得〃=3,q=2.因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45.

故答案为：45

8.（2021.全国高二专题练习）等比数列｛小｝中,公比为q,前一项和为国

（1）若。1=—8,43=—2,求§4；

（2）若§6=315,q=2,求0.

【答案】（1）-15或一5；（2）5.

【解析】⑴由题意可得/=2=]=;,

q—O4

所以4=一；或《=

当时，s4

综上所述，54=-15或邑=-5.

is,解得4=5.

("61"1-2"L

9.(2021•全国高二课时练习)已知数列｛%｝是等比数歹U.

⑴若4=3,4=2,〃=6,求5〃；

(2)若。=-2.7,q=_；,a〃=专,求S”；

(3)若4=-1,4=64,求夕与S4；

39

(4)若。3=5，，求以1与夕.

9131

【答案】(1)189；(2)——；(3)<7=-4,S4=51；⑷4=于4=1或q=6,g=-..

【解析】(1)因为4=3,4=2,〃=6,可得臬=色鲁岂=上"岂=189.

l-q1-2

⑵因为％=-2.7,q=_g,且6=2，

(3)设等比数列｛4“｝的公比为因为q=-l,4=64,可得°q3=-ixq3=64,

即,=-64,解得q=T,所以S,=誓二心=二平=51.

1-q11-4(-4)£1

,、39

(4)设等比数列｛%｝的公比为q,因为％=；,S3=j,

当q=l时，可得%=%=]3,此时&=9],满足题意;

3

2解得4=6,q=_；.

当4*1时,可得

q(l"=9

\-q~2

【题组三等比数列中项性质】

1.(2021•全国)若三个数1,2,胴成等比数列，则实数加=()

A.8B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】因为L2,机为等比数列，故，=£即，*=4,故选：B.

2.（2021•全国高二课时练习）在等比数列｛风）中，已知%，%是方程f-6x+l=0的两根,则勾=

A.1B.-1C.±1D.3

【答案】A

【解析】在等比数列｛4｝中，因为“3，%是方程V-6x+l=0的两个根，所以为+%=6>0,。/％=1>0,所以

a3>0,a7>0,%>0,因为。3，“7=，Y=1，所以%=1，选A.

3.（2021.全国）在正项等比数列｛%｝中，已知442a3=4,4限4=12,〃吁口/向=324,则〃等于（）

A.11B.12C.14D.16

【答案】C

【解析】设等比数列｛4｝的公比为4,则的必=靖=4,。必必=《=12,所以，/=4=3,则43=3；,

a2

因为q-=端=324,则产6=与=学=81=3」，即*人解得”=14.故选：C.

4.（2021•全国）在等比数列｛《,｝中，a5aM=3,%«?4=24,则％4a9的值为（）

A.48B.72C.144D.192

【答案】D

【解析】由生的7=3,得。；=3,由6%4=24,得蜡=24,所以/=牛===8,

纭3

所以%4%=46%”应3=24x8=192.故选：D

5.（2021・新蔡县第一高级中学）已知女工1,则等比数列a+log”,4+log〃，"+1。以％的公比为（）

A2工比B—3

C.JD.以上答案都不对

4

【答案】B

【解析】设数列的公比为4（4/0），

a+\og2k,a+logM，a+logs%的公比相当于a+log?%,a+-\og2k,a+glog2k的公比,

a1a1

+

相当于1—7+1,log2Jt2'log2&+§的公比'

10g2fc

令"春’即相当于的公比'

2f+口，解得

=(f+l)

3

311

贝niljr+lt=：,>

424

1_1

‘公比"富W

4

故选：B

6.（2021•北京清华附中高二期中）已知等比数列｛q｝的各项均为正数，且4=3,则

log3«i+>og,,«2+log3%+log,a4+log,%=()

A.-B.5C.10D.15

2

【答案】B

【解析】因为等比数列｛4｝的各项均为正数，且为=3,

3

log,O]+log3a2+log3a3+log3a4+log,a5=log3•%•4•%•%)=log3g=log33=5.

故选：B.

7.(2021•江西省铜鼓中学高二开学考试(文))已知-1,a,b,-9成等差数列，-1,c,d,e,一9成等比

数列，则号=().

a

88「8「8』8

AA-3B-iC--9D-§或一5

【答案】B

_o_(_n_88

【解析】因为-1,",b,-9成等差数列，所以公差d=[1

4—133

Q

所以6-a=</=--,

因为-1,c,d,e,-9成等比数列，所以"是-1和-9的等比中项，

所以"2=-1X(-9)=9,解得4=3或d=—3,

因为等比数列中奇数项同号，所以d=-3,

_8

所以",

故选：B

【题组四等比数列的前n项和性质】

1.（2021.安徽宣城.高二期中（文））设S,是等比数列｛%｝的前〃项和，若$3=4,a4+a5+a6=G,则今=（）

>6

A3n19「5n19

A.—B.—C.-D.—

21036

【答案】B

【解析】设等比数列｛%｝的公比为夕，若4=1，则“4+%+必=34=53,矛盾.

所以，4*1,故4+%+%=吆匕6=丝止6=夕5,则q3=j,

l-q\-q2

S19s3219

因此丁9丁函=6

故选：B.

2.（2021.全国高二课时练习）一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为（）

A.180B.108

C.75D.63

【答案】D

【解析】由题意得57,S14-S7,跖一，4组成等比数列48,12,3,

即Su—$4=3,521=63.

故选：D

3.（2021•新余市第一中学高二月考）已知等比数列前2（）项和是21,前30项和是49,则前10项和是（）

A.7B.9C.63D.7或63

【答案】A

【解析】设等比数列｛凡｝的公比为q,前〃项和为s”，

则Szo-Sio=41+%2++/()=d°(q+/++qo)=/°S]o,

^30-^20=<321+a22++a3O=<7~O(ai+a2++4())=/°儿，

2

所以，(Sg-BoynqXSinEolSso-SR)，(21-Sl0)=S10(49-21),

整理可得品-70sHi+441=0,解得E。=7或63.

当S。=63时，52。-九=-42,则，。=-==-；,显然不成立，故九=7.

633

故选：A.

4(2021.全国)设等比数列｛斯｝的前n项和记为Sn,若Sio:S5=l:2,则$5：S5=()

A.-B.-C.；D.-

4323

【答案】A

【解析】：•••数列｛斯｝为等比数歹%且其前“项和记为S“

••.S5,SlOrS5,Sl5Wo成等比数歹U.

VSio；S5=1；2,即$0=355,

等比数列S5$O-S5$5-$O的公比为邑=-1.

/.5i5-Sio=-；(5IO-S5)=-S5.

24

13

・・・S15="S5+S10=：S5.

44

3

・♦・$5:S=-.

54

故选：A.

5.(2021.全国高二课时练习)已知一个项数为偶数的等比数列｛%｝,所有项之和为所有偶数项之和的4倍,

前.3项之积为64,则q=().

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析】由题意可得所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和的4倍，・・・5奇+S偶=4S偶，

设等比数列｛为｝的公比为4，山等比数列的性质可得5偶=好奇，即S奇二：S偶，

**•1S偶+S偶=4s偶，:S偶w0,.•.解得q=§,

又前3项之积4a2%=色=64,解得。2=4,—=12,

q

故选:B.

6.(2021.北京海淀.)已知等比数列｛q｝的前"项和5'=3"+乙则％=,厂=—

【答案】6-1

【解析】因等比数列｛4｝的前"项和S"=3"+r,

232

于是得q=S1=3+r,a2=S2~St=(3+r)—(3+r)=6,a3=S3—S2=(3+r)—(3+/,)=18,

数列公比4="=&=3,解得/•=—1,

%a2

此时S'=3"-l,当"22时，a“=S“-S,i=3"-3"T=2-3"T,q=2满足上式，

a2邛

即a“=2-3”T,〃eN*,有&1=(^=3是非零常数，则心｝是等比数列，

an2・3

所以4=6/=-1.

故答案为：6；—1.

7.(2021.全国高二课时练习)设等比数列｛叫的前“项和为S“，若率=3,则%•=.

7

【答案】y

S,6a.-八

【解析】q#l，否则寸=广=2片3.

S33%

q(i-

—=―J-=1+^=3,

S34(I-0

1一夕

「q

7

故答案为：—

8.（2021•全国高二课时练习）等比数列｛斯｝中，前〃项和为S”S3=2,S6=6,则so+au+ai2=

【答案】16

【解析】由S3,56-S3,S9-S6,S12—S9成等比数列，此数列首项为$3=2

S_s6-2

其公比4=^^=-^-=2,得$2-59=2x23=16.

故答案为：16

9.（2021•全国）若数列｛4｝为等比数列，且q+%=l,%+%=4,则%+即）=.

【答案】256

【解析】

是等比数列，

・・6+生，“3+04，a5+06,%+4，%+4（）/J等比数列，

%+。4

目.公比4==4

①+4

%+^1（）=1x44=256.

故答案为：256

10.（2021.全国）已知正项等比数列｛氏｝共有2〃项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比4=.

【答案】2

【解析】设等比数列｛4｝的奇数项之和为S奇，偶数项之和为品，

贝]lS偶=%+&++a2n=a{q+a,q+--+a2n_{q=q（ai+a3++%“-）=赘奇,

由邑，=35奇，得（l+q）S奇=3S奇，因为可＞0,所以S花＞。，所以l+q=3,q=2.

故答案为：2.

11.（2021•全国高二课时练习）已知等比数列｛4｝共有2〃项，其和为一240,且奇数项的和比偶数项的和大

80,则公比4=.

【答案】2

5,-5=80S、=-80

【解析】由题意，设奇数项的和为偶数项的和为也得2

S2=760

S,-160、

故公比=2

dj—oU

故答案为2

s1§

12.（2021•全国高二课时练习）设S,是等比数列｛4“｝的前〃项和，若^=可，则丁、

»10J》20十

【答案】:

4（1-4。）4（1-力（l+q5）

【解析】设等比数列｛七｝的公比为4,由已知4工1,因为55=空匕色，510

1-q1-17l-q

=1.5=,，k=2,Si。=3S5,

,101十C/D

S，0="'（j"）=q（l-/）（1+45）（1+"°）=S5（I+q5）（1+/。）=S5（1+2）（1+4）=155,.

\-ql-q

.s5S5=1

"S10+S203S5+15S518,

故答案为：.

1o

13.（2021.全国）已知等比数列｛%｝的前〃项和S,,=J3”2-；,则实数f的值为.

【答案】3

【解析】由S“=T—g,得S“=需3T.

当夕=1时,S“=na、,不合乎题意.

当"1时，5j包,令4=y，则s=A®_1）,

“1-qq-1q-\—、'

所以，1=1,解得f=3.

故答案为：3.

14.（2021.柳州市第二中学（理））已知等比数列｛%｝的前〃项和为5„=3向+1，则数列的通项公式为=

【答案】2.3".

【解析】由S“=3向+f得，

当〃=1时，q=S]=3?+，=9+，，

当九=2时，^1+^2=^2=33+Z=27+f,9+/+〃2=27+f,所以〃？=18

当〃=3时，/=§3-S2=3,-3,=54,

因为数列｛%｝是等比数列，所以琉二%%，即18x18=54x（9+。，所以/=—3,

4=6,公比4="=3,

所以4=041=631=2.3".

故答案为：«„=2-3".

15（2021•全国高二专题练习）已知等比数列｛4｝的前n项和S“=3向+2,则6+2=.

【答案】3

+,

【解析】“22时，an=S„-S„_t=（3"+A）-（3"+2）=2x3",

又q=H=9+/l,数列｛4｝等比数列，

.•.—a,=二a.，即£178=^54，解得；l=—3.

4a29+218

a,+A=3.

故答案为：3.

【题组五等比数列的单调性】

1.（2021・全国）等比数列｛%｝是递增数列，若%-4=60,%一%=24,则公比4为（）

A.B.2C.•或—2D.2或g

【答案】D

【解析】因为等比数列｛%｝是递增数列，则数列｛%｝的公比q满足4＞。旦夕Ri,

所以，%一%==黑=\，即2q2-5q+2=0,解得q或2.

a4-a2a｝qiqq2422

i3

若9=彳，则％-%=4夕（夕2-1）=-石6=24,解得q=-64,

2o

此时q=qgi=-64x击，此时数列｛《,｝为递增数列，合乎题意；

若q=2,则4-%=%4（“i2-1）=64=24,解得q=4,

此时a“=q*=4x2"M=2T此时数列｛〃“｝为递增数列，合乎题意.

综上所述，＜7=；或2.

故选：D.

2.（2021・陕西新城•西安中学高三（文））在等比数列｛斯｝中，*=a，且”8＞。9,则使得q-，＞0的自然数”的最

a\

大值为（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

【解析】因为*=%,即所以为=1，

又因为4＞%，所以数列｛q｝为单调递减,

因为4-，=q--=/向尸T）=/（/'"T）>0,

所以广9>1=/>,所以〃<9.又因为〃为整数，故〃皿=8.

故选：C

3.（2021•全国高二课时练习）已知等比数列｛%｝的前〃项和为5,”则“S.+6SJ是单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】S,川>S“=a,m>0,例如4=/>0,但是数列｛4｝不单调递增，故不充分；

数列｛0｝单调递增，例如q=一?，但是故不必要；故选：D

4.（2021•福建省福州第一中学高三开学考试（理））（多选）设｛4｝是各项为正数的等比数列，q是其公比，刀,是

其前〃项的积，且?―,则下列结论正确的是（）

A.Q>1B.<4=iC.Ti0>T6D.T）与4均为，的最大值

【答案】BD

【解析】由题意知,

A：由工,<<得的>1,由4=4得出=^=1,

所以"="1,又q>0,所以0<4<1,故A错误;

%

B：由<=笃得4=工=1,故B正确;

C：因为｛%｝是各项为正数的等比数列，4€（0，1）,

有4>。2>>%>4=1>>《0>，

2

所以?=WMo=(asa,)=a；<1,

[6

所以几<"，故C错误；

D：T<T<

t2<T,<TS>T9>TI0>,

则1与”均为4的最大值，故力正确.

故选：BD

5.(2021.江苏连云港.高三月考)(多选)设等比数列也,｝的公比为q,前〃项和为S“，前〃项积为7；,并满足

条件4AL/MOM>1，(生020-1),(%)21-1)<。，则下列结论中正确的有()

A.q>lB.52021>02020

C.a2020-a2022<lD.Go是数列｛口中的最大值

【答案】BCD

【解析】依题意等比数列｛4｝满足条件：

“I>1，”2020,“2021>1，

(%)20—D(%)2I-1)<。,

若"1，

则生回=4P刈9>1吗⑼="「屋。2。>1,

则“202。-1>°,。2021—1>°，

则(“2020T)>0与已知条件矛盾.

所以421不符合，故A选项错误.

a

山于q>1,“2020'202l>1，

D(%)2I-1)<。,

所以。2020°<“2021<1，°<”1,«„>0,

a

则$202]=$2020+202l>$2020，

所以B选项正确，

乂“2020'02022="2021<L

所以C选项正确.

因此，前2020项都大于1,

从第2021项开始起都小于1,

因此乙2。的值是，中最大的.

所以D选项正确.

故选：BCD.

6.（2021•全国高二课时练习）（多选）关于递增等比数列｛4｝,下列说法不正确的是（）

a>0a.

A.当〈।,B.a.>0C.q>\D.—tl<1

q>Ia0+i

【答案】BCD

[a,>0,s

【解析】A,当时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列｛4｝递增，正确；

B,当4>。，4<。时，伍“｝为摆动数列，故错误；

C,当《<0,4>1时，数列仅“｝为递减数列，故错误；

D,若4>0,&<1且取负数时，则仅“｝为摆动数列，故错误，

an+\

故选：BCD.

7.（2021•全国高二课时练习）若一个数列的第机项等于这个数列的前机项的乘积，则称该数列为“沉积数

列若各项均为正数的等比数列｛%｝是一个“2020积数列“，且4>1,则当其前〃项的乘积取最大值时，〃

的值为.

【答案】1009或1010

【解析】设数列｛““｝的公比为夕.

由题意可得，«2020=4.%.%•一•，

“2019=1，

••a\'a20\9=a2,〃2OI8=〃3,〃2017==〃101（）=1.

又4>1,

0<夕<I,数列｛%｝为递减等比数列，

“1009>1，“1010=1，4ou<1>

则当其前〃项的乘积取最大值时，〃的值为1009或1010.

故答案为：1009或1010

8.（2021.西城・北京育才学校高二期中）等比数列满足如下条件：①q<0；②数列｛%｝单调递增，试写出满

足上述所有条件的一个数列的通项公式4,=.

【答案】（答案不唯一）

【解析】满足上述所有条件的一个数列的通项公式凡=-卷.

故答案为：-£（答案不唯一）

9.（2021.湖北黄州.黄冈中学高三）设数列伍“｝的前〃项和为S,,写出｛〃“｝的一个通项公式4=,满

足下面两个条件：①｛〃“｝是单调递减数列；②｛，｝是单调递增数列.

【答案】（£）”（答案不唯一）

【解析】根据前〃项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数

列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列的例子，4=（；）”就

是符合条件的例子，

故答案为：J（答案不唯一）

【题组六等比数列的实际运用】

1.（2021.全国高二课时练习）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人

口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎''新政策，整个社会将会出现一系列的问题.若某地区

2015年人口总数为45万，实施“放开二胎''新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到

2025年每年人口比上年增加0.5万人.从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.

（1）求实施新政策后第〃年的人口总数%的表达式；（注：2016年为第一年）

（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施.问到2036

年是否需要调整政策？

【答案】（1）以=京450+.9O9.，15Z?。,/1<印/?<14O2,。H,G“7V+”）2°36年-不需要倜整一政一策.

【解析】解：（1）当它10时，数列｛如｝是首项为45.5,公差为0.5的等差数列，

所以a“=45.5+0.5x（〃-l）=45+0.5〃.

当«>11时，数列｛斯｝是以0.99为公比的等比数列.

又00=50,所以斯=50x0.99"，°,

因此新政策实施后第〃年的人口总数为(单位：万人)的表达式为

j45+0.5«,l<H<10,neW,

“l[50x0.99,"'°,11</i<20,«eA/*.

⑵设S,为数列｛斯｝的前n项和，则从2016年到2035年共20年，山等差数列及等比数列的求和公式得

S2O=Slo+(〃ll+a】2+…+〃20)

10

10x9149.5(1-O.99)

二10x45.5+X+

221-0.99

=477.5+4950x(1—0.99昨950.8(万)，

所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为黑=47.54万.

因为47.54V49,故到2036年不需要调整政策.

2.(2021•全国高二课时练习)某企业进行技术改造，有两种方案：

甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；

乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000