2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第06讲 利用导数研究双变量问题（原卷版）

第06讲利用导数研究双变量问题目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：方法篇 1方法一：分离双参数，构造函数 1方法二：比值法换元 5方法三：变更主元法 11方法四：借助根与系数关系化双变量为单变量 13方法五：借助对数平均不等式解决双变量问题 19方法六：值域法解决双变量函数相等问题 25方法七：最值法解决双变量不等式问题 30第一部分：方法篇方法一：分离双参数，构造函数典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当时，若，求证：例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中为常数，且．(1)当时，若在，上的最大值为1，求实数的值；(2)若，且函数有两个不相等的零点，，证明：．精练核心考点1．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知函数有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）设方程的两个根分别为，，求证：.方法二：比值法换元典型例题例题1．（2023·四川遂宁·统考二模）已知函数有两个极值点、.(1)求的取值范围；(2)若时，不等式恒成立，求的最小值.例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若，当时，证明：．精练核心考点1．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个零点，，证明：．2．（2023春·四川成都·高二校考期中）已知函数．(1)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．(2)设，点为曲线上的两个不同点，若，且存在，使得曲线在点处的切线与直线平行，试证明.方法三：变更主元法典型例题例题1．（2023·上海浦东新·高一华师大二附中阶段练习）使不等式恒成立的的取值范围是________.例题2．（2023高一单元测试）对任意，不等式恒成立，求的取值范围.精练核心考点1．（2023·上海·高一专题练习）对于，不等式恒成立的的取值范围是_____________2．（2023·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）设．(1)求在上的最小值；(2)当时，若不等式在上有解，求x的取值范围．方法四：借助根与系数关系化双变量为单变量典型例题例题1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，（1）求函数的单调增区间；（2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．例题3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数（为自然对数的底数），其中.（1）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.（2）若函数的两个极值点为，证明：.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数在和时取极值，且.（1）已知，求的值；（2）已知，求的取值范围.3．（2023·全国·高三专题练习）设函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．方法五：借助对数平均不等式解决双变量问题典型例题例题1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，且在内有两个极值点（）．(1)求实数的取值范围；(2)求证：．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，，求实数的取值范围；(2)若，使得，求证：．精练核心考点1．（多选）（河北省衡水市第二中学2023届高三上学期一模数学试题）直线：与的图象交于、两点，在A､B两点的切线交于，的中点为，则（

）A． B．点的横坐标大于1C． D．的斜率大于02．（2022·全国·高三专题练习）设函数为的导函数.(1)求的单调区间；(2)讨论零点的个数；(3)若有两个极值点且，证明：.方法六：值域法解决双变量函数相等问题典型例题例题1．（2023春·四川宜宾·高二四川省高县中学校校考期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C．

D．例题2．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知函数，.若，则实数________；若对，总使成立，则实数的取值范围为________.例题3．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数，.(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·广东揭阳·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，其中、，且.(1)求、的值；(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.（2023·江苏·高一专题练习）已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数m的取值范围为_________方法七：最值法解决双变量不等式问题典型例题例题1．（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）（1）已知函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围；（2）已知函数，集合，若任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．例题3．（2023秋·海南海口·高一海口一中校考期末）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，.(1)①作出函数在上的图象；②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；设，若，，使得成立，求实数的最小值.精练核心考点1．（2023秋·浙江·高一期末）已知函数是偶函数，且有且仅有两个零点．(1)求实数a，b的值；(2)设，若对任意和，