2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第04讲 双曲线（含直线与双曲线的位置关系）（解析版）

第04讲双曲线（含直线与双曲线的位置关系）目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：双曲线定义 1题型二：双曲线中的焦点三角形问题 4题型三：双曲线的离心率 8题型四：双曲线中的渐近线问题 14题型五：直线与双曲线的位置关系判断 18题型六：双曲线中点弦问题 21题型七：双曲线弦长（面积）问题 24题型八：双曲线中定点、定值问题 30题型九：双曲线中定直线问题 39题型十：双曲线中向量问题 45题型一：双曲线定义典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，，所以设双曲线的方程为，半焦距为；又因为是双曲线上一点且，所以，即，则；所以双曲线的标准方程为.故选：C.例题2．（2023秋·高二课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线左支C．双曲线右支 D．一条射线【答案】C【详解】解：因为的几何意义是动点到点与的距离之差为2，又因为，所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．故选：C例题3．（2023·全国·高二随堂练习）在相距2000m的两个观察站A，B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s．建立适当的平面直角坐标系，判断爆炸点可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程．【答案】爆炸点在以为焦点的双曲线上（左半支），轨迹方程为【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，

设爆炸点为，由题意可得：，所以爆炸点在以为焦点的双曲线上（左半支），设双曲线的焦距为，实轴长为，虚轴长为，可得，则，所以爆炸点的轨迹方程为.精练核心考点1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第一中学校考期末）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】在椭圆中，由题知，解得，所以椭圆的焦点为，，因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，所以曲线的虚半轴长为，故的标准方程为：.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线上一点P到焦点的距离为9，则它到另一个焦点的距离为（

）A．15 B．5 C．3或5 D．3或15【答案】D【详解】由双曲线的定义可知，而，所以，或，由，双曲线上的点到焦点的距离最小值为，显然和都符合题意，故选：D3．（2023·全国·高二课堂例题）已知，动点P满足，求动点P的轨迹方程．【答案】【详解】因为，所以根据双曲线的定义可知，一定在1，2且焦点在x轴上的双曲线的右支上，则，这就是说，点P的坐标一定满足．另一方面，由可知，因此P的横坐标要大于零，从而可知P的轨迹方程为．题型二：双曲线中的焦点三角形问题典型例题例题1．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（

）A． B． C．3 D．5【答案】A【详解】设双曲线的右焦点为，由题意可得，连接，则有，，若为等腰三角形，则（线段与显然不相等），所以，又为的中点，所以，则有．由双曲线的定义得，所以，设点到轴的距离为，则．故选：A．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设双曲线的半焦距为.由题意，点在双曲线的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根据双曲线定义得，解得，故双曲线的离心率.故选：D例题3．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离.【答案】【详解】

由题可得，，所以,设，则，解得,由于对称性，不妨取，所以根据双曲线的定义可得，，解得，设到直线的距离为，在直角三角形中，，所以.精练核心考点1．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【详解】如图，若在第一象限，因为，所以，由图形的对称性知四边形为矩形，因为的面积为，所以，又因为，所以，，在中，，解得．

故选：B2．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【详解】由，所以是以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的交点，又，即它们也在点所在的圆上，且为直径，所以为直角三角形，，

如上图，，且，所以，则，故的面积为.故选：A3．（2023秋·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为.【答案】/【详解】由题意可得，，，，，为双曲线右支上一点，，又，，则的周长为．故答案为：．

题型三：双曲线的离心率典型例题例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】设，双曲线的半焦距为c，则有，，，于是，因此，当且仅当时取等号，则，即，离心率，所以双曲线离心率的最小值为.故选：D例题2．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】

可知，，得设，则，由双曲线的定义可知：.因为平分，所以，故，又，即有，，，，，在，中，由余弦定理可得，，，由，可得.故选：C.例题3．（多选）（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】当时，两渐近线的斜率为，此时直线与另一渐近线平行，不满足题意.当时，如图1所示，

.，又，解得，，，，即渐近线的斜率为，当时，如图2所示，设与轴交于点P，

，，又，解得，即渐近线的斜率为，综上，双曲线的离心率为或.故选：AC.例题4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C：，过其右焦点F作直线交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限.设为坐标原点，若的面积为面积的2倍，且，则双曲线C的离心率为.【答案】【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由解得，即，同理可求得，由于的面积为面积的2倍，所以，，解得，此时，由于，所以①，由于，所以①可化为，两边除以得，即.故答案为：精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（

）A． B．2C． D．【答案】D【详解】由题意知直线的方程为，令，得，所以．又因为，不妨设，所以有，解得，所以，将其代入双曲线方程，化简得，解得或（舍去），所以的离心率．故选：D.2．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知双曲线：，是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，则直线与直线的距离为，因为点是直线上任意一点，且圆与双曲线的右支没有公共点，所以，即，得离心率，因为，所以双曲线的离心率的取值范围为，故选：A.3．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为.【答案】【详解】设双曲线焦距为，不妨设点在第一象限，由题意知，由且与垂直可知，四边形为菱形，且边长为，而为直角三角形，，

故，则，则，故，即离心率.故答案为:.4．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为.【答案】【详解】如图，因为，所以，所以，则，，，解得.故答案为：

题型四：双曲线中的渐近线问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由点在双曲线上，得，则，即，整理得，解得或，当时，，此时方程无解，当时，，而，解得，所以该双曲线的渐近线方程为.故选：B例题2．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于双曲线的渐近线为，且注意到双曲线的离心率为，又在双曲线中有平方关系：，所以离心率为，又由题意，所以有，解得，即双曲线的渐近线的斜率为，由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是或.故选：B.例题3．（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为.

【答案】【详解】设，，则，解得，∴.在中，，则①.由双曲线的定义，得②.由①②得.∵，∴，即.∴.∴双曲线的渐近线方程为.故答案为：.精练核心考点1．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为直线过原点，所以关于原点对称，设，因为与轴垂直，所以，设，则，而所以，，所以，所以渐近线方程为.故选：D

2．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，设双曲线右焦点为，OM，ON为双曲线的两条渐进线.由题意可知，，又，则M为FN中点，则为等腰三角形，则，又，则.所以双曲线的渐进线方程为：.故选：B

3．（2023·江苏·高二假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足，且，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】作于点，如图所示，

因为，所以为的中点，由双曲线的定义知|，所以，故，因为，所以，即，得，所以，得，故双曲线的渐近线方程为，即.故选：B题型五：直线与双曲线的位置关系判断典型例题例题1．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条【答案】A【详解】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.故选：A.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围．【答案】【详解】联立双曲线、直线方程，消去整理得，由题意，设方程的两根为，则，解得．故答案为：

例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．【答案】(1)或或；(2)或(3)或【详解】（1）联立，消整理得，（*）因为直线l与双曲线C有两个公共点，所以，整理得解得：或或.（2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．当时，因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，则，解得；综上，或.（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，所以，解得：或.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得曲线，即，可得；当时得到即；当时得到；由以上可得曲线的如图中所示，易知直线与双曲线的一条渐近线平行；把直线向上平移到点时，即与曲线有两个交点，此时；继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点．当直线与椭圆的上半部分相切时，联立直线与椭圆的方程代入整理得即或（舍），由图示可得；综上可知.故选：C2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知双曲线的方程为，点、分别在的左支和右支上，则直线斜率的取值范围是．【答案】【详解】设点、，则，则直线的斜率为存在，设直线的方程为，联立可得，所以，，解得.因此，直线的斜率的取值范围是.故答案为：.题型六：双曲线中点弦问题典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，则有，两式相减，得，因为线段AB的中点为，所以，因此由，即直线AB的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以线段AB存在，故选：C例题2．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得，即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．例题3．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？【答案】不能，证明见解析.【详解】当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1，又双曲线，右顶点为（1,0）在直线l上所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意；当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且，因为A、B在双曲线上，所以，两式相减可得，所以，若点为线段AB的中点，则，即，代入上式，所以，则直线l的斜率，所以直线l的方程为，即，将直线l与双曲线联立，可得，，故方程无解所以不存在这样的直线l，综上，点P不能是线段AB的中点.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设点，则有，两式做差后整理得，由已知，，又，，得故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）已知倾斜角为的直线l与双曲线C：交于A，B两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．【答案】【详解】设，，中点的坐标为，则①，②，②－①得，，即，又，所以，所以直线l的方程为，即.联立，得，则，综上，直线l的方程为.3．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线，过点作直线交双曲线于，，若线段的中点在直线上，求直线的斜率．【答案】【详解】由题意可设的方程为，联立，消去整理得．显然，设，，则，解得，由解得，显然不适合，适合，所以．

题型七：双曲线弦长（面积）问题典型例题例题1．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线交于两点，若，求的值．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为，设焦点坐标为，焦点到渐近线的距离，又离心率，，解得：，双曲线的方程为：.（2）由得：，则，解得：且，设，则，，，即，解得：或，均满足且，或.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点.(1)证明：；(2)若的面积为8，求直线的斜率.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，令且，而，则线段中点为，又，则，所以，则中点在双曲线上或外部，即，仅当重合时等号成立，故.（2）若，则，令，，联立双曲线，则，而，则，，所以，故，可得（负值舍），所以，故直线斜率为.例题3．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．(1)求双曲线的方程；(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．【答案】(1)(2)或.【详解】（1）解：由题意可得：，，，解得，，，所以双曲线的方程为.（2）解：由题意可知，直线的斜率不为0，设：，设，，联立，消，得，由，解得，则.所以，所以的面积，由，整理得，解得，，所以直线的方程为或.精练核心考点1．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐䏡为，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以，化简得：所以的方程为：.（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

设，，直线方程为，与联立得：，由且，解得且，由韦达定理得，因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，所以，解得或（舍去），所以直线为，所以，所以，点到直线的距离，所以.2．（2023·全国·高一专题练习）已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点.(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与相交于、两点，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：设双曲线的方程为，将点代入方程中得，所以双曲线的方程为，即双曲线的方程为.（2）解：在双曲线中，，，则，则，所以直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，则，所以，.3．（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.(1)求双曲线的方程；(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，代入点得，即，所以双曲线方程为，即．（2）由（1）得，则，，，又直线倾斜角为，则，故直线的方程为，设，，联立，消去，得，则，，，由弦长公式得，又点到直线的距离，所以．题型八：双曲线中定点、定值问题典型例题例题1．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点在双曲线上．(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；(2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．【答案】(1);(2)证明见解析.【详解】（1）解：因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线，则．设点坐标为，则，所以．因为点在曲线上，所以，所以，所以的值为．（2）证明：依题意，直线的斜率存在，故设其方程为，设，联立，消得，显然，否则不可能有两个交点，，由韦达定理得，因为直线的斜率之积为，所以，所以，即，所以有，将韦达定理代入化简得，而当，此时直线为，易知恒过定点，故舍去，所以，此时满足且直线过定点，（如图所示）

又因为为垂足，所以为直角三角形，为直角，所以当点为斜边的中点时，为定值．综上所述，存在定点，使得为定值．例题2．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；(3)证明：直线过定点.【答案】(1)(2)(3)直线过定点,证明见解析.【详解】（1）因为点和点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，设，联立，整理得，若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，所以，，因为,所以，所以.（3）（i）当轴时，且，所以，则，联立，整理得，即，解得或，当时，，所以，由于对称性，，此时直线过定点；（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，因为，所以联立，即，所以，解得或，当时，，所以,同理，将上述过程中替换为可得，所以，，因为，所以，所以，所以三点共线，即此时直线恒过定点，综上直线过定点.例题3．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为、，为双曲线上异于、的任意一点，直线、的斜率乘积为．双曲线的焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线的方程；(2)设不同于顶点的两点、在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为．试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)过定点，定点坐标为【详解】（1）设，由可得，又，，又焦点到其一条渐近线的距离为，解得：．所以双曲线的方程：.（2）设直线的方程为，如图，

由得，，，直线，则直线在轴上的截距为，直线，则直线在轴上的截距为，由题得：，又，所以．所以，则，，，，化简得：或．若，直线过顶点，舍去．．则直线的方程为，所以直线过定点．精练核心考点1．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点【详解】（1）由题意知，解得，，，双曲线的方程为.（2）证明：设直线的方程为，联立方程组，消去，得，则，，所以直线方程为，令，则，同理直线方程为，令，则，由，可得，即，即，即，即，即，即，即，当时，，此时直线方程为，恒过定点，不符合题意；当时，直线方程为，恒过定点符合题意，综上所述，直线过定点.

2．（2023·全国·高二专题练习）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且是直角三角形．(1)求双曲线C的标准方程；(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k1，k2，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．【答案】(1)(2)过定点，理由见解析【详解】（1）根据题意可得，，半焦距，则当时，，，所以，所以，由，得，所以，，解得或（舍去），所以，所以双曲线方程为，（2）由题意可知直线的斜率不为零，所以设直线为，设，由，得，由，得，所以，由（1）知，所以，因为，所以，所以，所以，化简得，所以，所以，化简得，解得或，因为M，N是C右支上的两动点，所以，所以，所以直线的方程为，所以直线恒过定点

3．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知直线与双曲线的右支交于不同的两点和，与轴交于点，且直线上存在一点满足（不与重合）．(1)求实数的取值范围；(2)证明：当变化时，点的纵坐标为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足，解得；（2）设，

则由（1）知：.由，得：，所以.又，所以点D的纵坐标为定值.题型九：双曲线中定直线问题典型例题例题1．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．(1)求Γ的方程；(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．【答案】(1)；(2)详见解析.【详解】（1）由题意得，又为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为，所以，解得，所以双曲线Γ的标准方程为；（2）设直线MN的方程为，由，可得，则，，设，，，，，所以，直线：，：，联立两方程，可得：，解得，当直线与x轴重合时，则，：，：，联立可得，综上，直线ME与NF的交点在定直线上.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.【答案】(1)(2)或(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析【详解】（1）由题意得：，，.解得，，所以双曲线的标准方程为.（2）方法1：设，则依题意有解得，所以直线的方程为或.方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：.当时设，，得，.又因为，所以，，解得.此时，所以直线MN的方程为或.（3）方法1：设，，直线PM的方程为，直线ON的方程，联立两方程，可得①结合（2）方法2，可得代入①得故.所以直线PM与QN的交点在定直线上.方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：.设，，，，由根与系数的关系，得，.：，：，联立两方程，可得：，解得所以直线PM与QN的交点在定直线上.精练核心考点1．（2023春·云南红河·高三开远市第一中学校校考阶段练习）设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．(1)求双曲线的方程；(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为，∴，，∵，∴，，∴双曲线的方程为．（2）解：设点，A，的坐标分别为，，，且，∵，∴，即，①设直线的方程为，②将②代入中整理，得，∴，，代入①，整理可得，得，联立②消得，∴点落在某一定直线上．2．（2023秋·全国·高二期中）已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由得，其半径为4，因为线段的垂直平分线与直线交于点，

故，则,而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线，则，故点的轨迹的方程为.（2）证明：由题意知，

若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；故直线l的斜率不能为0，故设其方程为，联立，得，，故，设，则直线的方程为，直线的方程为，故，则，即，解得，故直线与直线的交点在定直线上