专题08 一元二次方程应用的四种考法（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题08一元二次方程应用的四种考法类型一、销售利润问题例．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：①每千克茶叶应降价多少元？②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．【答案】(1)①30元或80元②八折(2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元【分析】（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可；②为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．（2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为，代入根的判别式得，方程无解，故不能达到要求．【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：．解得：．答：每千克茶叶应降价30元或80元．②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：元，．答：该店应按原售价的八折出售．（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得：0,整理得：，∵，∴原方程没有实数根，即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．【变式训练1】某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．(1)求出y与x的函数关系式；(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．【答案】(1)y与x的函数关系式为y=10x＋200；(2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大.(3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由图可知其函数图象经过点（0,200）和（10,300），将其代入y=kx+b得解得∴y与x的函数关系式为y=10x＋200；（2）解：由题意得（10x＋200)(100－x－60)＝8910，整理得x2－20x＋91＝0，解得：x1＝7,x2＝13；当x＝7时，售价为100－7＝93（元），当x＝13时，售价为100－13＝87（元），∵优惠力度最大，∴取x＝13，答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；（3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，∴100－60－x≥60×50%,解得：x≤10；依题意，得(100－60－x)(10x＋200)＝9000，整理得x2－20x＋100＝0，解得：x1＝x2＝10；∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．【变式训练2】某服装店以每件30元的价格购进一批恤，如果以每件40元的价格出售，那么一个月内能售出300件，根据以往的销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设这种恤的销售单价提高元．(1)该服装店希望一个月内销售这种恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，则这种恤的销售单价应提高多少元？(2)当销售单价提高多少元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)提高2元．(2)当销售单价提高10元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大，最大利润是4000元．【分析】（1）设销售单价提高x元，根据题意列出方程求解即可；（2）设销售利润为元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】（1）解：设销售单价提高x元，由题意，得，解得，∵要尽可能减少库存，∴不符合题意，故舍去，答：这种恤的销售单价应提高2元；（2）解：设该服装店一个月内销售这种恤获得的利润为元，由题意，得，∵，∴当时，有最大值，最大值为4000，答：当销售单价提高10元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大，最大利润是4000元．【点睛】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润一单件利润×销售量列出二次函数解析式．【变式训练3】嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题．嘉海学校社会实践记录表团队名称遇数临风活动时间班级人员王嘉、马俊、张宁地点城南蔬菜超市实践内容调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调研信息青菜的进价为2元/千克．青菜售价为元/千克时，每天可销售千克．每千克每涨价元，每天少销售5千克．解决问题问题1某天超市正好销售千克的青菜，则获利多少元？问题2若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为多少元/千克？【答案】某天超市正好销售千克的青菜，则获利元；若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克【分析】问题1：设售价为元/千克，，计算得即可得；问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利元，，计算得，，即可得．【详解】解：问题1：设售价为元/千克，，，，，则获利：（元），答：某天超市正好销售千克的青菜，则获利元；问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利元，，，，，答：若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．类型二、几何图形运动问题例．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．

(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？(2)连接．①当为等腰三角形时，求t的值；②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当时，最小，的最小距离为(2)①当为等腰三角形时，t的值为或或；②不存在一个时刻，使得，理由见解析【分析】（1）首先根据题意，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据垂线段最短，得出当时，最小，此时四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，然后代入数据，得出，解出即可得出答案；（2）①过点作于点，得矩形，矩形，根据矩形的性质，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程进行求解，即可得出答案；②当时，根据勾股定理，得出，进而得出，整理得出，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案．【详解】（1）解：根据题意，可得：，，∵，，∴，当时，最小，此时四边形是矩形，∴，∴，解得：，∴当时，最小，的最小距离为；（2）解：①如图，过点作于点，得矩形，矩形，

∴，，∴，在中，根据勾股定理，可得：，，当时，可得：，整理可得：，解得：；当时，可得：，整理可得：，解得：或（不符合题意，舍去），当时，为的中点，∴，解得：，综上可得：当为等腰三角形时，t的值为或或；②不存在一个时刻，使得，理由如下：当时，可得：，即，整理可得：，∵，∴此方程无实数解，∴不存在一个时刻，使得．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答．【变式训练1】如图，已知，在直角梯形中，，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向以的速度运动，、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)为何值时，？为什么？(2)当cm时，求t的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）当时，可得四边形是平行四边形，必有，列出等式计算即可，（2）分两种情况，在利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：（1）由题意知，，，，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，解得：，即当时，．（2）如图1，过作于，∵，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，，，∴，在中，，，，∴，∴，解得：，（不合图，舍去）；如图2，过作于，则四边形是矩形，∴，，，∴，在中，，，，∴，∴，解得：（不合图，舍去），；综上所述，满足条件的t的值为6或7．【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰梯形等知识，解题关键是正确理解题意，列出方程．【变式训练2】如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．(1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________．(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？(3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)，(2)、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是(3)、出发3秒时四边形为矩形【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值．（3）利用矩形的性质得出当时，四边形为矩形求出即可【详解】（1）解：由题意得：，∵，∴；故答案为，；（2）解：设出发秒后、两点间的距离是．则，，作于，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，由勾股定理得：，解得：或，答：、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是；（3）解：四边形的形状有可能为矩形；理由如下：当四边形为矩形，则，即，解得：．答：当、出发3秒时四边形为矩形．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，本题结合几何知识并根据题意列出方程是解题的关键．【变式训练3】如图，为矩形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点Q以的速度向移动．(1)两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？(2)两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？(3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？【答案】(1)两点从出发开始到秒时，四边形的面积为(2)两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是(3)经过秒或秒或秒或秒时，点组成的三角形是等腰三角形【分析】（1）设两点从出发开始到秒时，四边形的面积为，根据梯形面积公式列方程求解即可；（2）过点作于点，设两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是，根据勾股定理列方程求解即可；（3）根据等腰三角形不同的腰进行分类讨论，求解即可．【详解】（1）解：设两点从出发开始到秒时，四边形的面积为，根据题意得：，，则，解得：，答：两点从出发开始到秒时，四边形的面积为；（2）解：过点作于点，设两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是，根据题意可得：，，根据勾股定理得：，整理得：，解得：或，答：两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是；（3）解：过点作于点，于点，设运动时间为，则，分三种情况：当时，，∵，∴；当时，在直角中，由勾股定理得：，解得：；当时，在直角中，由勾股定理可得，解得：（舍去）；综上所述：经过秒或秒或秒或秒时，点组成的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程．类型三、工程问题例．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．【答案】(1)300；(2)5【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解；（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解．【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：，解得：，答：小型设备的使用时间为300小时；（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，∴，整理得：，解得：（舍去）．即m的值为5．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子(2)400【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题．（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程．【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子由题意得：解得：答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子由题意得：整理得：解得：，，又∵甲、乙两组加工的天数均为整数∴∴200+100×2=400（袋）答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键．【变式训练2】2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．【答案】（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见解析．【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论；②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论．【详解】解：（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2=720，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500，解得：m1=4，m2=25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m=4．答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000，化简得：a2-29a+270=0，∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．【答案】(1)甲最多施工2500米；(2)a的值为6【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，依题意，得：12（5000-x）≥×10x，解得：x≤2500，答：甲最多施工2500米．（2）依题意，得：，整理，得：，解得：，，当时，总成本为：（万元），∵，∴不符合题意舍去；当时，总成本为：（万元），∵，∴符合题意；答：a的值为6．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．类型四、行程问题例．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为，依据题意列方程得，，，，经检验，是原式方程的解．．小红的速度为，小明的速度为．故答案为：；．（2）解：小明的速度为，小明从A地道B地需要的时间为：．小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，．设B地到C地的距离为，依据题意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要时间为：．故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．【变式训练1】小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）(1)当时，求关于t的函数关系式；(2)求图中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由见解析【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．【详解】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得，，解得，∴关于t的函数关系式为；（2）解：对于球来说，，小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为，由小明在4s时第一次追上球可得，，解得，即图中a的值为；（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为，，，则，，第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米，，第三次踢后，变化规律为，，，则，，第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米，，又开始下一个循环，故第四次踢球所需时间为，经过24米，故第五次踢球所需时间为，经过48米，故第六次踢球所需时间为，经过24米，故第七次踢球所需时间为，经过48米，∵，，∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，故答案为：7【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．【变式训练2】“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值．【答案】（1）1600；（2）20．【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；（2）根据题意得出：进而求出即可．【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，解得：，答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；（2）由题意可得出：，解得：，（不合题意舍去），答：m的值为20．课后作业1．“五月枇杷黄似橘，谁思荔枝同此时”，“天上王母蟠桃，人间合川枇杷”．五月正是枇杷大量上市时，某超市以相同的进价购进两批枇杷，第一批400千克，以每千克20元出售；第二批300千克，以每千克16元出售，两批枇杷全部售完，超市共获利7200元．(1)求枇杷的进价是每千克多少元？(2)枇杷很受欢迎，该超市以比前两次每千克少2元的进价购进第三批枇杷600千克，计划两天售完，第一天将枇杷涨价到每千克20元出售，结果仅售出200千克，第二天超市决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价的基础上每降2元，第二天的销量在第一天的基础上增加20千克，到了晚上关店时还剩部分枇杷没售完，超市老板便把剩余枇杷免费分享给员工，第三批枇杷的利润恰好为4040元，求第二天枇杷的售价为每千克多少元？【答案】(1)枇杷的进价是每千克8元(2)第二天枇杷的售价为每千克14元【分析】（1）设枇杷的进价是每千克x元，两批枇杷全部售完，超市共获利7200元，列出方程，解方程即可；（2）设第二天枇杷降价y元，根据第三批枇杷的利润恰好为4040元列出方程，解方程，求出x的值，然后再求出第二天枇杷的售价即可．【详解】（1）解：设枇杷的进价是每千克x元，根据题意得：，解得：，答：枇杷的进价是每千克8元；（2）解：设第二天枇杷降价y元，根据题意得：，解得：，（舍去），（元），答：第二天枇杷的售价为每千克14元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程．2．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8）(1)当t＝1时，试求PE的长；(2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长；(3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）作EM⊥AB于M，由正方形的性质和已知条件得出AB=BC=CD=AD=8，证出EM∥BC，得出EM是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EM=BC=4，当t=1时，AP=1，求出PM=AM-AP=3，再由勾股定理求出PE即可；（2）由平行四边形的性质得出PF=EQ，PF∥EQ，当点F恰好落在线段AB上时，得出EQ⊥BC，Q为BC的中点，得出EQ是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EQ=AB=4，求出PF=4，AP=2，即可求出BF的长；（3）由菱形的性质得出PE=PQ，分四种情况：①当0＜t≤2时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；②当2＜t≤4时；③当4＜t≤6时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；④当6＜t≤8时；分别由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）作于交于点M，如图1所示：∵四边形是正方形，E是对角线的中点，∴，∴是的中位线，∴，当时，，∴，∴（2）∵四边形是平行四边形，∴，当点F恰好落在线段上时，，∴，∴Q为的中点，∴是的中位线，，∴，∴，∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿方向运动到点C，∴，∴∴（3）当为菱形时，，分四种情况：①当时，作于M，于N，如图2所示：∵，∴，解得：（舍去），或（舍去）；②当时，同①得：，解得：（舍去），或∴③当时，作于M，于N，如图3所示：∵，∴，解得：或（舍去），∴④当时，同③得：，解得：（舍去）或（舍去）；综上所述：在整个运动过程中，当为菱形时，t的值为或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，运用勾股定理得出方程才能得出结果．3．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；

(1)求与之间的函数关系式；(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值．【答案】(1)(2)该车刹车后秒内向前滑行了米【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：将点，代入，，解得：，∴与之间的函数关系式为；（2）解：依题意，，，，则