初中数学-二次函数图像与系数的关系教学设计学情分析教材分析课后反思

《二次函数图像与系数的关系》教学设计

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学科数学设计者单位

年级九年级来源鲁教版第3章第2节课时1

【课程标准】2011年版

了解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式，并能识别二次函数，结合对函

数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。

【教学目标】

1、知识与技能：理解二次函数中，a、b、c与图像的关系

2、过程与方法：通过图像与系数的关系，进一步理解和掌握利用数形结合的思

想，提高学生分析问题，解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：进一步感受数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

【教学重难点】

重点：理解并掌握二次函数中a、b、c的取值范围。

难点：利用数形结合思想解决二次函数多结论问题。

【教学活动】【学生活【二次复

回顾旧知：动】备】

⑴抛物线y=+Z?x+c(aWO)的开口方向由

____决定,a>0时开口______,a<0时开口_____.

(2)抛物线y=〃无2+Z?x+c(aWO)与y轴的交点坐

标是______,00时，__________;C<0时,

__________；c=o时，_________.

⑶抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线

b=0时，对称轴是____________

a、b同号时，对称轴是—

a、b异号时，对称轴是.

(4)若抛物线y=以之+〃x+c与x轴有交点，则交

点的横坐标就是一元二次方程cue2+Z?x+c=O的

根，因此抛物线y=a—+)x+c与x轴的交点个数由

_________决定.

A=Z?2—4ac>0

A=b2-4ac=0

A=b2-4acY0

分别对应的与X轴交点的个数为？

四、探求新知

知识点一：

抛物线y=ax2+bx+C的符号问题：

(1)a的符号：由抛物线的开口方向确定

开口向上fa>0

开口向下—a<0

(2)C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定

与y轴的正半轴相交-*c>0

与y轴的负半轴相交一c<0

经过坐标原点fc=0

(3)b的符号：由对称轴的位置确定

对称轴在y轴左侧♦♦a、b同号

对称轴在y轴右侧♦♦a、b异号

对称轴是y轴♦♦b=0

(4)b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确

定

与x轴有两个交点♦b2-4ac>0

与x轴有一个交点♦b2-4ac=0

与x轴无交点♦b2-4ac<0

练习

1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、

b、c、△的符号：

知识点二:

确定代数式a+b+c；a-b+c；4a+2b+c；

4a-2b+c；的符号

1.二次函数尸ax2+bx+c中，当x=l时，

y=_____；当x=-l时，y=__________.

2.二次函数y=ax2+bx+c中，当x=2时，

y=_______;当x=-2时，y=

抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：

(5)a+b+c的符号：

由x=l时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方a+

b+c>0；

点在x轴下方a+b+c<0

点在x轴上方a+b+c=0

(6)a-b+c的符号：

由x=-l时抛物线上的点的位置确定点在X轴上方

a-b+c>0

点在x轴下方ab+c<0

点在x轴上方ab+C=O

巩固练习，探求新知

1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所

示，下列结论中：①b>0；②c<0；

③4a+2b+c>0；@(a+c)2Vb2,其中正确的

个数是()

A、4个B、3个、A

C、2个D、1个

irp

7

2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所

示，下列结论中下不正确的是()

A、abc>0丫

B、b2-4ac>0\：/

C、2a+b>0」

A卜-i,」Mx

D、4a-2b+c<0▽

4k

4、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象

如图所示，下列结论中：①abc>0；

②b=2a；@a+b+c<0；@a+b-c>0;

⑤a-b+c>0正确的个数是（）

A、2个B、3个'I

2个D、5个小

/OVli

5、已知：二次函数丫=2乂2+6*+（：的图象如

图所示，下列结论中下正确的是（）

A、abc>0

B、b2-4ac>0ylj

C、2a+b>0

D、4a-2b+c<0<V7

k尸

六、小组竞赛，升华提升

游戏规则：AB组代表队分别找出两名代表选手，A

组一名同学写出a、b、c的取值范围，B组的同学

来画函数草图;B组一名同学写出a、b、c的取值范

围，A组的同学来画函数草图。哪一组能难倒对方

获胜！！！

七、课堂小结：

通过本节课的学习获得了哪些数学知识？

掌握了哪些解决问题的方法？

八、当堂检测：平板电脑课后作业「6题

【布置作业】

必做：同步学习与探究P64-65

选做：课本P71问题解决第3题

【板书设计】

【我思、我感、我成长】

学情分析

二次函数是在学习了一元二次方程、一次函数、反比例函数之后,

对函数的继续学习，内容较难，学生学习过程中遇到困难较多，教学

的速度要放慢，不必急于给出结论甚至让学生应用，而是让学生经历

探索新知的过程，从而使他们真正将知识内化。

1、关注学生能否认识知识之间的联系

数学学习的关键点是领会和把握知识之间的联系，在本章的学习

中也突出表现出这个特点。在对学生进行评价时，要关注学生能否

建立二次函数的图像与表达式之间的联系，能否理解表达式的变化引

起的图像的变化，能否认识到一元二次方程与二次函数的关系。

2.关注学生的数学应用能力。

在本章的教学中，要重视学生的数学应用能力，对学生进行评价

时，要关注学生能否把实际问题表示为二次函数，能否利用二次函数

的知识解决实际问题，并对结果进行解释，在适当的时候也可以给学

生机会提出超越教科书的实际问题，以本章所学模型对实际问题加以

解释，以此提升学生发现问题、提出问题的能力，发展数学模型思想。

3.关注学生能否胜任数学交流活动.

能够有效表达自己的数学思考是数学学习的基本能力之一，在本

章的学习评价中，关注学生是否乐于交流与合作，并能在活动中表现

出良好的分析、推理和表达能力.比如，在进行二次函数y=/,

y=/+i图象之间或表达式之间的比较时，是否思路清晰、表达合理，

从而能够顺理成章地得到二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式.再

如，在估算一元二次方程近似解的学习中，学生能否清楚地表达自

己的思考过程和结果，在观察、探索、说理等一系列活动中，都可以

关注学生的数学思考和交流。

效果分析

我这节课的设计是遵循了“以人为本”的理念，倡导体验、实践、

参与、合作与交流的学习方式和任务型的教学途径，通过本节专题

课，尤其是课件演示教学过程，学生们对于二次函数图像与系数的关

系有了更加深入的认识和理解。通过充分的练习，学生们能够熟练的

运用数形结合去解决问题，同时学会了对于典型问题的分析思路和做

题规范，避免了做题过程中出现的一些常见问题。提高了学生处理实

际问题的能力，使学生感受到数学学习的魅力，提高了学习数学的兴

趣。最后通过当堂检测，进一步巩固了学生对知识的理解与运用。整

堂课取得了良好的教学效果。

教材分析

本节课是鲁教版九年级数学上册第三章第二节二次函数图

像与性质的专题课，是初中数学”变量与函数”部分的基础内容

之一，本节的内容是初中四年中较难的一部分，学生学习的过程

中难免遇到困难，教师要设置适当的引导性问题，在讨论二次函

数性质的教学中尽可能结合图像进行教学，运用多种教学方式,

使学生能够形成从多个角度认识问题的习惯，进而比较全面准确

地理解二次函数性质与系数之间的关系，培养学生数形结合等函

数思想的应用，提高学习数学的兴趣。

《二次函数图像与系数的关系》【评测练习】

1.（2020泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数、=公2+版+人

（力。）与一次函数的图象可能（）

2.（2019娄底）二次函数y=ax，bx+c的图象如图所示，下列结论:①

abc<0;②b"4ac<0;③2a>b;④(a+c)2<b2.正确的是()

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3.（2019湖州）已知a,b是非零实数，|a»|b|,在同一平面直角坐标系

中，二次函数yi=ax>bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是

4.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点⑵0),则使函数值y<0成立的x

的取值范围是()

(A)x<-4或x>2(B)-4<x<2

(C)x<0或x>2(D)0<x<2

5.(2019安顺)如图，已知二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴分别交于

A,B两点,与y轴交于C点,0A=0C,则由抛物线的特征写出如下结论:

①abc>0;②4ac-b2>0;③a-b+c>0;④ac+b+l=0,其中正确的结论有

()

(A)4个(B)3个(02个(D)l个

课后反思

一堂课下来，感想颇丰，学生积极主动探究的学习情景，一幕幕

闪现在眼前，回想于此，心中便不禁激起一股股暖流，令我兴奋不已。

兴奋源于新理念的实现，本课教学以学生为本，结合学生的自主学习，

尊重学生的个性思维，创造性地使用教材，让现代化的教学走进课堂。

本节课主要内容是二次函数图像与系数的关系专题练习，在学生复习

了二次函数的图像与性质之后，通过适量的题组训练，不仅使学生掌

握了知识点，而且对学生能力的提高、思维的转化都有了新的突破,

从而使学生能够用图像的特点快速地解决实际中的数学问题。

为了让学生的复习有个依据，我精心选编试题：

首先，让学生打好基础，通过学生的口答、练习、板演，了解学

生对二次函数图像性质的理解和应用，针对出错的地方，如符号问题,

我都及时纠正、强化，并指出应注意的地方。

其次，对试题进行变式，使学生能达到同步提高。因此，学生在

富有启发性和思考性的教学情境中进行了积极的思辨，在与同伴的思

维碰撞中，获得了意想不到的数学体验，从而激发学生探索新知的欲

望，让学生在认识冲突与互相争论中看到了知识的形成过程，使学生

的思维水平得到进一步的提升。

第三，对试题进行拓展，提高学生的解题能力。学生在探索中寻

找规律，在变化中寻找不变，在学生的参与中形成了探索的能力。

第四，考题强化，提高学生的综合能力和解决问题的能力