浙教版初中八年级上册数学组卷

初中八上数学组卷（2）

评卷人得分

一.选择题（共18小题）

1.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的

面积为（）

A.4B.8C.16D.64

2.如图NA0P=NB0P=15°,P(:〃OA,PD±OA,若PC=10,则PD等于()

A.10B.575c.5D.2.5

3.下列三角形，不一定是等边三角形的是（）

A.有两个角等于60。的三角形

B.有一个外角等于120。的等腰三角形

C.三个角都相等的三角形

D.边上的高也是这边的中线的三角形

4.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为（）

A.13B.13或近痴C.13或15D.15

5.已知等腰三角形的两条边长分别为2和3,则它的周长为（）

A.7B.8C.5D.7或8

6.如图，已知DE〃BC,AB=AC,Zl=125°,则NC的度数是（)

A

A.55°B.45°C.35°D.65°

7.如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽，会徽的主体

图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=...=A7A8=1,

如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么0A1，0A2,...OA25这些线段中有

8.如图，将^ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点

A,B,C恰好在网格图中的格点上，那么^ABC中BC的高是（）

A.B..VJQc..^Q-D.

245

9.如图：在^ABC中，CE平分NACB,CF平分NACD,且EF〃BC交AC于M,

若CM=5,则CE2+CF2等于()

A.75B.100C.120D.125

10.下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是()

A.0匹B.6,7,8C.12,25,27D.243,2泥，472

11.如图，^ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD±AC

于点D,则CD的长为（）

D，5

12.如图，4ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD〃AB,PE//

BC,PF〃AC,若4ABC的周长为12,则PD+PE+PF=()

13.如图，RtAABC中，ZC=90",AD平分NBAC,交BC于点D,AB=10,SAABD=15,

则CD的长为()

14.如图，^ABC中，NABC与NACB的平分线交于点0,过点。作MN〃BC,

分别交AB,AC于点M,N,若AB=12,AC=18,BC=24,则^AMN的周长为（）

15.如图所示，4ABC是等边三角形，且BD=CE,Zl=15°,则N2的度数为（)

E

BDC

A.15°B.30°C.45°D.60°

16.如图，RtAABC中，ZC=90°,AD是NBAC的平分线，CD=3,AB=10,则4

ABD的面积等于（）

A.30B.24C.15D.10

17.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记

图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2,S3.若

S1+S2+S3=60,则S2的值是（）

A.12B.15C.20D.30

18.如图，一块直尺与缺了一角的等腰直角三角形如图摆放，若Nl=115。，则下

列结论：

①N2=60°

②N2=N4

③N2与N3互余

④N2与N4互补

其中正确的个数是（）

评卷人得分

二.填空题（共11小题）

19.等腰三角形两内角度数之比为1：2,则它的顶角度数为.

20.在4ABC中，AB=AC=5,BC=6,若点P在边AB上移动，则CP的最小值是

21.在^ABC中，a=3,b=7,c2=58,贝IS^BC=.

22.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5,那么这个等腰三角形的周长

为.

23.如图：ZDAE=ZADE=15°,DE〃AB,DF±AB,若AE=8,则DF等于.

24.如图，小巷左右两侧是竖直的墙.一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙

角的距离为0.7m,顶端距离地面2.4m.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠

在右墙时，顶端距离地面2m,则小巷的宽度为m.

25.若^ABC的三边a、b、c满足|a-5|+(b-12)2+Vc713=0，则△ABC的面

积为.

26.如图，已知^ABC中，ZACB=90°,以^ABC的各边为边在^ABC外作三个

正方形,S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=81,S2=225,则S3=.

27.如图，在^ABC中，ZC=90°,NABC的平分线BD交AC于点D,若DC=6,

AB=12,则4ABD的面积是.

28.在Rt^ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且NEDC=72。，点F在

AB±,满足DE=DF,则NCEF的度数为.

A

CB

29.已知：在4ABC中，ZACB=90°,AC=BC=3A/^,点D,E都在边AB上，且AD=BE,

过点D作DFLAC于点F,连接CD,CE,若SACDE=6,则线段CF的长为.

评卷人得分

三.解答题（共6小题）

30.如图，在^ABC中，AB=AC,D为BC的中点，DE±AB,DF±AC,垂足分别

为E、F,求证：DE=DF.

31.如图1,在四边形ABCD中，DC〃AB,AD=BC,BD平分NABC.

(1)求证：AD=DC；

(2)如图2,在上述条件下，若NA=NABC=60。，过点D作DE^AB,过点C作

32.如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD,绕点C顺时针

旋转90。得到长方形FGCE,连接AF.通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验

证勾股定理，请你写出验证的过程.

AD

BacbE

33.如图，BD是^ABC的角平分线，DE〃BC交AB于点E,EF〃AC,EF分别交

BC、BD于点F、G.

(1)求证：BE=CF；

(2)若AE=BE,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三

BC

34.如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5

海里，客船与货船速度的比为4：3,货船沿东偏南10。方向航行，2小时后货船

到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里.

（1）求两船的速度分别是多少？

（2）求客船航行的方向.

35.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法"

给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,

都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中NDAB=90。）

求证：a2+b2=c2.

初中八上数学组卷（2）

参考答案与试题解析

一.选择题（共18小题）

1.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的

面积为（）

A.4B.8C.16D.64

【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形

PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，

根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积.

【解答】解：•.•正方形PQED的面积等于225,

即PQ2=225,

•.•正方形PRGF的面积为289,

；.PR2=289,

又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：

PR2=PQ2+QR2,

...QR2=PR2-PQ2=289-225=64,

则正方形QMNR的面积为64.

故选：D.

【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式.勾股定理最大的贡献就

是沟通"数"与"形"的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形

的性质问题转化为数量关系的问题来解决.能否由实际的问题，联想到用勾股定

理的知识来求解是本题的关键.

2.如图NA0P=NB0P=15。，P（:〃OA,PD±OA,若PC=10,则PD等于（）

B

ODA

A.10B.5V3C-5D.2.5

【分析】根据平行线的性质可得NAOP=NBOP=NCPO=15。，过点P作NOPE=N

CPO交于AO于点E,则△OCP之△OEP,可得PE=PC=10,在RtZkPED中，求出N

PEA的度数，根据勾股定理解答.

【解答】解：•.•PC〃OA,

AZCPO=ZPOA,

VZAOP=ZBOP=15",

ZA0P=ZB0P=ZCP0=15o,

过点P作NOPE=NCPO交于AO于点E,则△OCP之△OEP,

.,.PE=PC=10,

VZPEA=ZOPE+ZPOE=300,

.♦.PD=1OX1_=5.

2

故选：C.

【点评】本题利用了：

1、两直线平行，内错角相等；

2、三角形的外角与内角的关系;

3、全等三角形的判定和性质.

3.下列三角形，不一定是等边三角形的是（）

A.有两个角等于60。的三角形

B.有一个外角等于120。的等腰三角形

C.三个角都相等的三角形

D.边上的高也是这边的中线的三角形

［分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可.

【解答】解：A、根据有两个角等于60。的三角形是等边三角形，不合题意，故

此选项错误；

B、有一个外角等于120。的等腰三角形，则内角为60。的等腰三角形，此三角形

是等边三角形，不合题意，故此选项错误；

C、三个角都相等的三角形，内角一定为60。是等边三角形，不合题意，故此选

项错误；

D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条

边都相等的三角形是等边三角形.（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等

边三角形.

（3）判定定理2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

4.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为（）

A.13B.13^7119C.13或15D.15

【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，

因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长

必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解.

【解答】解：当12是斜边时，第三边是蟹？2-53式自；

当12是直角边时，第三边是J1+5生魂.

故选：B.

【点评】如果给的数据没有明确，此类题一定要分情况求解.

5.已知等腰三角形的两条边长分别为2和3,则它的周长为（）

A.7B.8C.5D.7或8

【分析】因为腰长没有明确，所以分①2是腰长，②3是腰长两种情况求解.

【解答】解：①2是腰长时，能组成三角形，周长=2+2+3=7,

②3是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+2=8,

所以，它的周长是7或8.

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，易错点为要分情况讨论求解.

6.如图，已知DE〃BC,AB=AC,Zl=125",则NC的度数是（）

【分析】首先根据Nl=125。，求出NADE的度数；然后根据DE〃BC,AB=AC,可

得AD=AE,ZC=ZAED,求出NAED的度数，即可判断出NC的度数是多少.

【解答】解：•；/1=125°,

,ZADE=180°-125°=55°,

VDE/7BC,AB=AC,

，AD=AE,NC=NAED,

NAED=NADE=55°,

XVZC=ZAED,

AZC=55°.

故选：A.

【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的

应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等.②等

腰三角形的两个底角相等.③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上

的高相互重合.

（2）此题还考查了平行线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两

条平行线之间的距离处处相等.

7.如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME〜7）的会徽，会徽的主体

图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中0A尸A1A2=A2A3=...=A7A8=1,

如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么0A1，0A2,...OA25这些线段中有

多少条线段的长度为正整数（）

【分析】0Al=1,+F0OA3=^12+12+Y2=43,找到6\广«的规

律即可计算OAi到OA25中长度为正整数的个数.

【解答】解：找到0An=4的规律，

所以。A1到OA25的值分别为近，我，盛…4…每，

故正整数为五=1,JZ=2,召4,-/25=5.

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到0%=行的规律是解题的

关键.

8.如图，将^ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为工），点

A,B,C恰好在网格图中的格点上，那么^ABC中BC的高是（）

A.B.2/Mc..?AQ..D.

245

【分析】根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及NBAC的度数，再根据三

角形的面积公式列出方程进行计算即可.

【解答】解：根据图形可得：

AB=AC=J]2+工

BC=q12+32=VT3'

NBAC=90°,

设^ABC中BC的高是x,

则AC・AB=BC・x,

代X后伍・x，

x_VTo

2

故选：A.

【点评】此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、三角形的面积公式,

关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程.

9.如图：在^ABC中，CE平分NACB,CF平分NACD,且EF〃BC交AC于M,

若CM=5,则CE2+CF2等于()

A.75B.100C.120D.125

【分析】根据角平分线的定义推出4ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可

求得CE2+CF2=EF2,进而可求出CE2+CF2的值.

【解答】解：：CE平分NACB,CF平分NACD,

AZACE=1ZACB,NACF=LNACD,即NECF=L(NACB+NACD)=90°,

222

...△EFC为直角三角形，

又：EF〃BC,CE平分NACB,CF平分NACD,

I.NECB=NMEC=NECM,ZDCF=ZCFM=ZMCF,

，CM=EM=MF=5,EF=10,

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100.

故选：B.

【点评】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解

题的关键是首先证明出4ECF为直角三角形.

10.下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（）

A.岳胃，遍B.6,7,8C.12,25,27D.2正，2辰,472

【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,

那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种

关系，就不是直角三角形.

【解答】解：A、（盛）2+（«）V（灰）2,故不是直角三角形，此选项错误;

B、62+7V82,故不是直角三角形，此选项错误；

C、122+25^272,故不是直角三角形，此选项错误；

D、（2«）2+（2遥）2=（4&）2,故是直角三角形，此选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真

分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的

平方之间的关系，进而作出判断.

11.如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BDXAC

于点D,则CD的长为（）

5555

【分析】利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度，再

利用勾股定理即可求出CD的长.

【解答】解：如图，由勾股定理得AC=A^2^2=V5.

V1BCX2=1TXC»BD,

22

即《X2X2=/&・BD,

.•.BD=3应，

5_

D

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积.利用面积法求得线段BD的长度

是解题的关键.

12.如图，4ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD〃AB,PE//

BC,PF//AC,^AABC的周长为12,则PD+PE+PF=()

【分析】过点P作平行四边形PGBD,EPHC,进而利用平行四边形的性质及等边

三角形的性质即可.

【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H,

贝I)由PD〃AB,PE〃BC,PF//AC,可得，

四边形PGBD,EPHC是平行四边形，

.*.PG=BD,PE=HC,

又4ABC是等边三角形，

又有PF〃AC,PD〃AB可得APFG,ZkPDH是等边三角形，

.•.PF=PG=BD,PD=DH,

又^ABC的周长为12,

PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC」X12=4,

3

故选：C.

A

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性

质，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60。.

13.如图，RtAABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,交BC于点D,AB=10,SAABD=15,

则CD的长为()

【分析】过点D作DELAB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得

DE=CD,然后利用4ABD的面积列式计算即可得解.

【解答】解：如图，过点D作DELAB于E,

VZC=90°,AD平分NBAC,

.*.DE=CD,

.••SAABD=LB・DE=LX10・DE=15,

22

解得DE=3.

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积,

熟记性质是解题的关键.

14.如图，^ABC中，NABC与NACB的平分线交于点O,过点。作MN〃BC,

分别交AB,AC于点M,N,若AB=12,AC=18,BC=24,则^AMN的周长为()

【分析】先根据角平分线的性质和平行线判断出OM=BM、ON=CN,也就得到三

角形的周长就等于AB与AC的长度之和.

【解答】解：如图，：0B、0C分别是NABC与NACB的平分线，

AZ1=Z5,N3=N6,

又•.,MN〃BC,.*.Z2=Z5,N6=N4,

.*.BM=M0,N0=CN,

AAMN的周长=AM+AN+MN=MA+AN+MO+ON=AB+AC,

又•.•AB=12,AC=18,

AAMN的周长=12+18=30.

故选：A.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质；解答此题的关键是熟知平行线的性质，

等腰三角形的性质及角平分线的性质及利用线段的等量代换.

15.如图所示，4ABC是等边三角形，且BD=CE,Zl=15°,则N2的度数为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【分析】易证4ABD之ABCE,可得N1=NCBE,根据N2=N1+NABE可以求得N

2的度数，即可解题.

【解答】解：在4ABD和4BCE中，

'AB=BC

-ZABC=ZACB，

kBD=CE

/.△ABD^ABCE,

AZ1=ZCBE,

VZ2=Z1+ZABE,

Z2=ZCBE+ZABE=ZABC=60".

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三

角形内角为60。的性质，本题中求证4ABD之4BCE是解题的关键.

16.如图，RtAABC中，ZC=90°,AD是NBAC的平分线，CD=3,AB=10,则4

ABD的面积等于（）

A.30B.24C.15D.10

【分析】过D作DELAB于E,由角平分线的性质，即可求得DE的长，继而求

得三角形面积.

【解答】解：如图，过D作DELAB于E,

：AD平分NBAC,NC=90°,

；.DE=DC=3,

VAB=10,

.,.△ABD的面积=1T\B・DE=LX10X3=15.

22

故选：C.

D

【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出DE=CD是解此

题的关键，注意：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

17.如图是由“赵爽弦图"变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记

图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、若

ABCDEFGHMNPQSiS2.S3.

则的值是()

SI+S2+S3=60,S2

D

G

C

A.12B.15C.20D.30

【分析】设每个小直角三角形的面积为则依据

m,Si=4m+S2,S3=S2-4m,

可得进而得出的值.

SI+S2+S3=60,4m+S2+S2+S2-4m=60,S2

【解答】解：设每个小直角三角形的面积为则

m,Si=4m+S2,S3=S2-4m,

因为

SI+S2+S3=60,

所以4m+S2+S2+S2-4m=60,

即3s2=60,

解得S2=20.

故选：C.

【点评】此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾

股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面

积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.

18.如图，一块直尺与缺了一角的等腰直角三角形如图摆放，若Nl=115。，则下

列结论：

①N2=60°

②N2=N4

③N2与N3互余

④N2与N4互补

其中正确的个数是（)

A.4B.3C.2D.1

【分析】过三角板的顶点作平行线，利用平行线的性质和对顶角以及三角形内角

和解答即可.

【解答】解：因为Nl=115。，

所以N4=180°-115°=65°,

由对顶角性质得N3+Nl+45°=180°,

所以N3=20°；

过E作EF〃CD〃AB,贝l]NFEH=N3=20。，

所以NGEF=70°=N2,即①、②错误,

所以N2+N3=90°,Z2+Z4=135°,即③正确，④错误.

故选：D.

【点评】此题考查平行线的性质，关键是利用平行线的性质和对顶角以及三角形

内角和解答.

二.填空题（共11小题）

19.等腰三角形两内角度数之比为1：2,则它的顶角度数为36。或90。.

【分析】根据已知条件，根据一个等腰三角形两内角的度数之比先设出三角形的

两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数.

【解答】解：在^ABC中，设NA=x,NB=2x,分情况讨论：

当NA=NC为底角时,x+x+2x=180°解得,x=45°,顶角NB=2x=9底;

当NB=NC为底角时，2x+x+2x=180°解得，x=36°,顶角NA=x=36°.

故这个等腰三角形的顶角度数为90。或36。.

故3答案为：36°或90°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确

顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答

问题的关键.

20.在4ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AB上移动，则CP的最小值是4.8.

【分析】作BC边上的高AF,利用等腰三角形的三线合一的性质求BF=3,利用

勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长.

【解答】解：如图，作AFLBC于点F,作CPLAB于点P,

根据题意得此时CP的值最小；

解：作BC边上的高AF,

VAB=AC=5,BC=6,

，BF=CF=3,

...由勾股定理得:AF=4,

SAABC=1T\B»PC=^BC»AF=-LX5CP=1X6X4

2222

得：CE=4.8

故答案为4.8.

【点评】本题考查了等腰三角形、勾股定理及三角形的面积的知识，特别是利用

面积相等的方法求一边上的高的方法一定要掌握.

2

21.在^ABC中，a=3,b=7,c=58,则SAARC=10.5.

【分析】由勾股定理的逆定理，先验证两小边的平方和等于最长边的平方，那么

此三角形是直角三角形，再利用三角形面积公式求即可.

【解答】解：；a=3,b=7,

.*.a2+b2=58,

又B=58,

.*.a2+b2=c2,

/.△ABC是直角三角形，

.,.SAABC=—><3X7=10.5.

2

故答案是10.5.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式.判断三角形是

否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即

可.

22.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5,那么这个等腰三角形的周长为

12.

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5,而没有明确腰、底分别是多

少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：分情况讨论：

①当三边是2,2,5时，2+2<5,不符合三角形的三边关系，应舍去；

②当三角形的三边是2,5,5时，符合三角形的三边关系，此时周长是12.

故填12.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和

底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成

三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

23.如图：ZDAE=ZADE=15°,DE〃AB,DF±AB,若AE=8,则DF等于4

5,

AEC

【分析】作DG,AC,根据DE〃AB得至UNBAD=NADE,再根据NDAE=NADE=15。

得至U/DAE=/ADE=NBAD,求出NDEG=150X2=30。，再根据30。的角所对的直角

边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF.

【解答】解：作DGLAC,垂足为G.

：DE〃AB,

AZBAD=ZADE,

VZDAE=ZADE=15°,

ZDAE=ZADE=ZBAD=15°,

AZDEG=15°X2=30°,

；.ED=AE=8,

.•.在RQDEG中，DG=1DE=4,

2

.\DF=DG=4.

【点评】本题主要考查三角形的外角性质，直角三角形30。角所对的直角边等于

斜边的一半的性质，平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性

质，熟练掌握性质是解题的关键.

24.如图，小巷左右两侧是竖直的墙.一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙

角的距离为0.7m,顶端距离地面2.4m.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠

在右墙时，顶端距离地面2m,则小巷的宽度为2.2m.

【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论.

【解答】解：在RtAACB中，

VZACB=90",BC=0.7米，AC=2.4米，

.,,AB2=0.72+2.42=6.25.

在Rt^A'BD中，VZA,DB=90°,A'D=2米,BD^A'D^A'B2,

/.BD2+22=6.25,

.*.BD2=2.25,

VBD>0,

.\BD=1.5米，

.••CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2（米）.

故答案为：2.2.

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定

理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一

数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

25.若^ABC的三边a、b、c满足|a-5|+(b-12)2+V^13=0,则4ABC的面

积为30.

【分析】先根据非负数的性质得到^ABC的三边a、b、c的长，再根据勾股定理

的逆定理可知4ABC为直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解.

【解答】解：•Ja-5|+(b-12)2+五五葬0,

，a-5=0,b-12=0,c-13=0,

解得a=5,b=12,c=13,

V52+122=132,

/.△ABC是直角三角形,

.,.△ABC的面积为5X124-2=30.

故答案为：30.

【点评】考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理和三角形的面积的综合运用，

判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定

理加以判断即可.

26.如图，已知4ABC中，ZACB=90°,以^ABC的各边为边在^ABC外作三个

正方形,S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=81,S2=225,则S井144.

【分析】根据勾股定理求出BC2=AB2-AC2=144,即可得出结果.

【解答】解：根据题意得：AB2=225,AC2=81,

VZACB=90",

BC2=AB2-AC2=225-81=144,

2

则S3=BC=144.

故答案为：144.

【点评】考查了勾股定理、正方形的性质、正方形的面积；熟练掌握勾股定理,

由勾股定理求出BC的平方是解决问题的关键.

27.如图，在^ABC中，ZC=90°,NABC的平分线BD交AC于点D,若DC=6,

AB=12,则4ABD的面积是36.

【分析】过点D作DE±AB于点E,根据角平分线的性质可求出DE的长，再由

三角形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：过点D作DELAB于点E,

VZC=90°,DC=6,

.♦.DE=DC=6,

VAB=12,

.&ABD=LXB・DE』X12X6=36.

22

【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距

离相等是解答此题的关键.

28.在Rt^ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且NEDC=72。，点F在

AB±,满足DE=DF,则NCEF的度数为54°或144°.

【分析】画出图形，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质，即可得到/

DFE=ZB-36°,再根据三角形外角性质以及三角形的内角和，即可得到NCEF=

NA+NAFE=54°,ZCEF'=ZCEF+ZFEF'=54°+90°=144°.

【解答】解：如图，当点F在BD上时，

RtAABC中，D为斜边AB的中点，

.,.DC=1TXB=DB,

2

AZCDB=180°-2NB,

VDE=DF,

.♦.△DEF中，ZDFE=1.(1800-ZEDF)

2

=1(180°-ZEDC-ZCDB)

2

=1(108°-ZCDB)

2

=54°-LNCDB

2

=54°-1(180°-2ZB)

2

=ZB-36°,

VZCEF是Z\AEF的外角,

AZCEF=ZA+ZAFE

=90°-ZB+ZB-36°

=54°,

当点F'在AD上时,由DF=DE=DF,可得NFEF=90。，

AZCEF'=ZCEF+ZFEF'=540+90o=144o,

故答案为：54。或144。.

国

CB

【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上中线的性质以及三角形外角性质的

综合运用，解决问题的关键是画出图形，分类讨论，利用角的和差关系进行计算.

29.已知：iSAABC中，NACB=90°,AC=BC=3圾，点D,E都在边AB上，且AD=BE,

过点D作DFLAC于点F,连接CD,CE,若SACDE=6,则线段CF的长为3叵或

返~一2-

【分析】分两种情况：①如图1,过C作CGLAB于G,先根据三角形面积计算

DE的长为4,可得AD的长，根据4AFD是等腰直角三角形，计算AF的长，从

而得CF的长.

②如图2,同理可得DE的长，计算BD的长，根据4BDH是等腰直角三角形可得

CF的长.

【解答】解：分两种情况：

①如图1,VZACB=90°,AC=BC=3、叵

，AB=6,ZA=ZB=45°,

过C作CG±AB于G,

；.AG=BG,

.,.CG=1TXB=3,

2

,."SACDE=-1-DE»CG=6J

XDEX3=6,

DE=4,

.♦.AD=BE=^Z1=1,

2

VDF±AC,

.••△AFD是等腰直角三角形，

AF=^^=2^,

V22

:.CF=3近一返

22

②如图2,过C作CGLAB于G,过D作DHLBC于H,

VAD=BE,

，BD=AE,

同理得:DE=4,BD=1,

RtABDH中，NB=45°,

•••△BDH是等腰直角三角形，

.*.DH=CF=&

2_

综上，CF的长是：—y、，2”

22

故答案为：—'z一

22

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，解答此题的关键

是运用等腰直角三角形的判定，本题容易丢解，要注意AD=BE时，D、E有两个

位置.

三.解答题（共6小题）

30.如图，在^ABC中，AB=AC,D为BC的中点，DE±AB,DF±AC,垂足分别

为E、F,求证：DE=DF.

【分析】根据等腰三角形的性质得出NB=NC,根据全等三角形的判定和性质得

出DE=DF即可；

【解答】证明：：AB=AC,

AZB=ZC,

XVDE±AB,DF±AC,

NBED=NCFD=90°,

,点D为BC中点,

.,.DB=DC,

2B=NC

・•.在ADBE^ADCF中NBED=/CFD，

kDB=DC

.♦.△DBE之DCF(AAS),

.\DE=DF.

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出

ZB=ZC.

31.如图1,在四边形ABCD中，DC//AB,AD=BC,BD平分NABC.

(1)求证：AD=DC；

(2)如图2,在上述条件下，若NA=NABC=60。，过点D作DE^AB,过点C作

【分析】(1)利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出N

CDB=ZCBD进而得出AD=DC,

(2)利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质

以及等边三角形的判定得出答案.

【解答】(1)证明：:DCAB,

AZCDB=ZABD,

又：BD平分NABC,

NCBD=NABD,

AZCDB=ZCBD,

BC=DC,

又；AD=BC,

.*.AD=DC；

(2)4DEF为等边三角形，

证明：VBC=DC(已证)，CFXBD,

・•.点F是BD的中点，

VZDEB=90°,，EF=DF=BF.

VZABC=60°,BD平分NABC,.*.ZBDE=60o,

/.△DEF为等边三角形.

【点评】此题主要考查了等边三角形判定以及等腰三角形的性质、直角三角形的

性质等知识，得出EF=DF=BF是解题关键.

32.如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD,绕点C顺时针

旋转90。得到长方形FGCE,连接AF.通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验

证勾股定理，请你写出验证的过程.

AD

BacbE

【分析】根据SB«ABEF=SAABC+SACEF+SAACF，利用三角形以及梯形的面积公式即可证

明.

【解答】证明：,•,$梯形ABEF=L(EF+AB)*BE=—(a+b)•(a+b)=—(a+b)2,

222

RtACDA^RtACGF,

AZACD=ZCFG,

VZCFG+ZGCF=90°,

AZACD+ZGCF=90°,

即NACF=90°,

"S梯形ABEF=SAABC+SACEF+SZ\ACF，

2

SABEF=A-ab+^ab+—c>

222

.,._L(a+b)2=_Lab+皂b+L2

2222

a2+2ab+b2=2ab+c2,

•*.