湖北省武汉市2024-2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析

Page20湖北省武汉市2024-2025学年高一数学下学期3月月考试题一、单项选择题1.如图，已知为圆外一点（为圆心），线段交圆于点，过点作圆的切线，切点为，若劣弧等分的面积，且弧度，则（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据已知得出，列式化简得出，即.【详解】劣弧等分的面积，，则，则，则，故选：B.2.若，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，依据诱导公式可求，再依据同角三角函数的平方关系与商数关系即可得.【详解】解：因为，则，于是可得，所以.故选：D.3.如图，平行四边形中，M为中点，与相交于点P，若，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由题可得，进而可得，结合条件即得.【详解】因为平行四边形中，M为中点，与相交于点P，所以，所以，又，所以，.故选：B.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据给定的函数，利用奇偶性可解除两个选项，再利用当时，函数值的正负即可推断作答.【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，解除CD；当时，，即当时，函数的图象在x轴的上方，明显A不满意，B满意.故选：B5.已知，则的值域为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化为利用二次函数求值域即可【详解】因为，所以，由，得，所以.故选B【点睛】本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，精确计算是关键，是基础题6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据求出，，再依据可求出结果.【详解】因为，所以，，所以.故选：D7.在四边形中，为的重心，，点在线段上，则的最小值为（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】首先依据平面对量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到，再利用基本不等式性质即可得到答案.【详解】如图所示：因为，所以，于是有，又，当且仅当时取等号，所以.故选：A8.已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设函数的最小正周期为，依据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果.【详解】设函数的最小正周期为，因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，则，其中，所以，，，因为函数在区间上单调，则，所以，.所以，的可能取值有：、、、、.（i）当时，，，所以，，则，，，所以，，当时，，所以，函数在上不单调，不合乎题意；（ii）当时，，，所以，，则，，，所以，，当时，，所以，函数在上单调递减，合乎题意.因此，的最大值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的最值的求解，解题的关键在于利用函数的周期确定的表达式与取值范围，再进行检验即可.二、多选题9.已知向量和实数，下列说法正确的是（）A.若，则或B.若且，则当时，肯定有与共线C若D.若且，则【答案】BC【解析】【分析】依据平面对量的共线定理、向量数乘和向量数量积的定义逐项分析推断.【详解】对于A选项：若，则或或，A错误；对于B选项：依据共线定理，若且，则当且仅当有唯一实数，使得时，肯定有与共线，B正确；对于C选项：当与均不是零向量时，由，可得，即，故与的夹角为或，可得；当与至少有一个零向量时，明显；综上所述：，C正确；对于D选项：∵且，则，∴，但不能确定，D错误．故选：BC．10.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依据二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式即可推断选项ABC，依据同角三角函数之间的基本关系将切化弦即可计算出选项D的结果.【详解】依据二倍角的余弦公式可得，即A正确；由可得，所以B错误；因为，所以，即，所以C正确；由于，所以D错误；故选：AC11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递增C.函数的图象关于直线对称D.该图象向右平移个单位可得的图象【答案】BCD【解析】【分析】由图象可得，，代入可得，然后依据三角函数的性质对每个选项进行分析即可【详解】由图象可知：，周期，∴；由，所以，解得，由可得，故函数．对于A：，故A错误；对于B：当时，，因为在上，正弦函数单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确；对于C：当时，，即直线是的一条对称轴，故C正确；对于D：向右平移个单位得，故D正确，故选：BCD．12.已知函数，说法正确的是（）A.在区间上单调递增B.方程在的解为，且C.的对称轴是D.若，则【答案】AB【解析】【分析】将函数写成分段函数，即可画出函数图象，再结合函数图象一一分析即可.【详解】因为，即，所以的图象如下所示：，由图可知函数是周期为的周期函数，函数在上单调递增，所以在区间上单调递增，故A正确，由图可知不是函数的对称轴，故C错误；因为，所以与的交点即为所求，如图知有四个交点，且，，所以，故B正确.由图象可知若，所以，，则，，，，所以，，，故D错误.故选：AB三、填空题13.在平面直角坐标系中，点围着原点顺时针旋转得到点，点的横坐标为___________.【答案】【解析】【分析】依据三角函数定义求得，确定与x轴正半轴的夹角为,结合三角函数定义以及两角差的余弦公式即可求得答案.【详解】由题意得,设与x轴正半轴的夹角为，则，则与x轴正半轴的夹角为，故点的横坐标为，故答案为：14.已知是方程两根，且，则的值为__________.【答案】##【解析】【分析】首先利用韦达定理，得到两角正切的关系式，再依据两角和的正切公式，求角.【详解】由条件可知，，所以，因为，所以，所以.故答案为：15.如图所示，为的外心，，，为钝角，为边的中点，则的值为___________.【答案】5【解析】【分析】取､的中点､，结合平面对量得线性运算以及数量积的运算律可得，进而结合图形以及平面对量数量积的定义即可求出结果.【详解】取､的中点､，可知，，∵是边的中点，∴，∴，由数量积的定义可得，而，故；同理可得，故，故答案为：5.16.若，则函数的值域是__________．【答案】【解析】【分析】化简可得.令，依据几何意义求出的范围，即可得出答案.【详解】，设，，则.由于，则，且.设，由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.由图知，在中，有，，所以，所以，所以.所以，，故所求值域为．故答案：．四、解答题17.已知的夹角为，，当实数为何值时，（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据共线向量定理，建立方程组，可解得结果.（2）依据向量垂直，数量积为0，解得结果.【小问1详解】若，得，即，即解得，．【小问2详解】若，则，即，得，，解得．18.已知，，.（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）干脆绽开，代入即可求解；（2）先分别求出，再干脆代入向量夹角公式即可求解.【小问1详解】依题意，因为，所以，因为|，所以，所以.【小问2详解】因为，，所以.令与的夹角为θ，则，所以向量与夹角的余弦值是.19.某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（，单位：小时）而周期性改变.每天各时刻的浪高数据的平均值如下表；（时）03691215182124（米）1.01.41.00.61.01.40.90.61.0经过长期观测，可近似的看成是函数.（1）依据以上数据，求出的解析式；（2）假如确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行调练，试支配恰当的训练时间.【答案】（1）（2）应在11点到19点之间训练.【解析】【分析】（1）依据数据y的最大值和最小值，求出，利用周期求，通过代点求出，可得的解析式；（2）在定义域范围内解三角不等式即可.【小问1详解】不妨设，由表中数据可知，，，，即，则，将点代入中，可得，结合，解得，所以该模型的解析式为【小问2详解】，则，由，有，所以或或，解得或或，所以应在11点到19点之间训练.20.已知，，求的值．【答案】【解析】【分析】方法一：利用倍角公式和和差公式可得，然后利用条件可求出答案.【详解】［方法一］：依据已知角化简，，，．，．［方法二］：干脆绽开求，得，平方得=，，，原式=＝－．［方法三］：【最优解】逆用两角和的正切公式和二倍角公式因为，，所以，即原式＝=，，原式=．［方法四］：整体法求因为，，所以，=，又，所以=－，=7，原式＝－．【整体点评】方法一：将所求式化简成已知角的三角函数形式，整体代换求出；方法二：干脆依据两角和的余弦公式绽开以及平方关系求，化切为弦求出；方法三：逆用两角和的正切公式和二倍角公式求解最为简洁，是该题的最优解；方法四：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出，是该题的通性通法．21.已知函数．（1）若的图象关于直线对称，，求的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当时，和是的两个零点，求的值和的取值范围．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）由倍角公式、和差公式化简，由整体法依据对称轴求得，即可由整体法进一步求得单调递增区间；（2）由整体法确定的值，即可求值.由正弦型函数图象及性质列不等式可求得的取值范围.【小问1详解】，∵的图象关于直线对称，则，解得，∵，∴，则，由得则的单调递增区间为；【小问2详解】∵，∴，∵和是的两个零点，∴，∴.令，在上恰有两个不同的解，∴.∴的取值范围为.22.已知函数f(x)=-9（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9．（1）求出f(x)的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）（2）若，求f(x)的值域；（3）是否存在正整数n，使得f(x)=0在区间[0，nπ]内恰有2001个根，若存在，求出n的值：若不存在，说明理由．【答案】（1）最小正周期为；证明见解析（2）（3）存在；【解析】