高三数学一轮复习 不等式的证明随堂训练 理 苏教版选修4-5-2

第2课时不等式的证明简答题1．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3eq\r(3,a2b·a·b2)＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；同理ab2＋a2＋b≥3eq\r(3,ab2·a2·b)＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b22．(南京调研)已知a，b为正数，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥eq\f(9,a＋b).证明：因为a>0，b>0，所以(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)×\f(4a,b))＝9.所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥eq\f(9,a＋b).3．已知a，b是正实数，求证：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3证明：∵a＋b≥2eq\r(ab)＞0， ①a2＋b2≥2ab＞0， ②a3＋b3≥2eq\r(a3b3)＞0， ③∴由①②③迭乘，得(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8·eq\r(ab)·ab·eq\r(a3b3)＝8a3b3.4．已知a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝4，x2＋y2＝4，求证：|ax＋by|≤4.证明：要证|ax＋by|≤4，只要证(ax＋by)2≤16，只要证a2x2＋2abxy＋b2y2≤16，只要证a2x2＋2abxy＋b2y2≤(a2＋b2)(x2＋y2)，只要证2abxy≤b2x2＋a2y2，即证(bx－ay)2≥0.显然此式成立．故原不等式成立．5．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)＜a＋b＋c.证明：a＋b＞2eq\r(ab)， ①b＋c＞2eq\r(bc)， ②a＋c＞2eq\r(ac)， ③∴由①②③迭加，得(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＞2eq\r(ab)＋2eq\r(bc)＋2eq\r(ac)，即eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ac)＜a＋b＋c.6. 已知α∈(0，π]，求证：2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα)证明：证法一：(作差比较法)2sin2α－eq\f(sinα,1－cosα)＝4sinαcosα－eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(sinα4cosα－4cos2α－1,1－cosα)＝eq\f(－sinα2cosα－12,1－cosα)∵α∈(0，π)，∴sinα>0,1－cosα>0，(2cosα－1)2≥0.∴2sin2α－eq\f(sinα,1－cosα)≤0.∴2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα).证法二：(分析法)要证明2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα)成立，只要证明4sinαcosα≤eq\f(sinα,1－cosα).∵α∈(0，π)，∴sinα>0.只要证明4cosα≤eq\f(1,1－cosα).上式可变形为4≤eq\f(1,1－cosα)＋4(1－cosα)．∵1－cosα>0，∴eq\f(1,1－cosα)＋4(1－cosα)≥2eq\r(\f(1,1－cosα)·41－cosα)＝4，当且仅当cosα＝eq\f(1,2)，即α＝eq\f(π,3)时取等号．∴4≤eq\f(1,1－cosα)＋4(1－cosα)成立．∴不等式2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα)成立．证法三：(综合法)∵eq\f(1,1－cosα)＋4(1－cosα)≥4，(1－cosα>0，当且仅当cosα＝eq\f(1,2)即α＝eq\f(π,3)时取等号)∴4cosα≤eq\f(1,1－cosα).∵α∈(0，π)，∴sinα>0.∴4sinαcosα≤eq\f(sinα,1－cosα).∴2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα).1．已知a>0，b>0，求证：(a＋b)2＋eq\f(1,2)(a＋b)≥2eq\r(ab)(eq\r(a)＋eq\r(b))．证明：要证明(a＋b)2＋eq\f(1,2)(a＋b)≥2eq\r(ab)·(eq\r(a)＋eq\r(b))，只需证明(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,2)))≥2eq\r(ab)(eq\r(a)＋eq\r(b))．∵a>0，b>0，∴a＋b≥2eq\r(ab)>0.只需证明a＋b＋eq\f(1,2)≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只需证明eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,4)))≥eq\r(a)＋eq\r(b).只需证明a＋eq\f(1,4)≥eq\r(a)>0，b＋eq\f(1,4)≥eq\r(b)>0.显然上式成立．∴(a＋b)2＋eq\f(1,2)(a＋b)≥2eq\r(ab)(eq\r(a)＋eq\r(b))成立．2．已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证：eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)<2.证明：∵a、b、c为三角形的三边长，∴a＋b>c.∴2(a＋b)>a＋b＋c>0.∴eq\f(1,2a＋b)<eq\f(1,a＋b＋c).两边同乘以2c，∴eq\f(c,a＋b)<eq\f(2c,a＋b＋c).同理eq\f(a,b＋c)<