高三数学寒假作业15

高三数学寒假作业15

一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

函数/(x)=普的定义域为(

1.)

A.(0,+8)B.(0,1)U(1,+8)

C.[0,+8)D.[0,1)U(1,+8)

2.已知向量2b满足之=(2,1),b=(1,y),且展则丘+2b|=()

A.V5B.5V2C.5D.4

3.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编

号分别为001,002,599,600,从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到

第6行:

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是()

A.522B.324C.535D.578

4.如图，在正四棱柱ABCO-AKiOi中，底面的边长为3,BD\与底面所成角的大小为

)

A.26KB.28KC.30nD.32K

5.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为mb,c,若b=1,c=V3,且2sin(B+C)

cosC=1-2cosAsinC,则△ABC的面积是()

V31

A.一B.-c虺蟾D.丁或之

4242

6.设等差数列伍〃｝的公差为d,若加=2%则“dVO”是“｛加｝为递减数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.将三颗骰子各掷一次，设事件A="三个点数都不相同"，B="至少出现一个6点”，则

P(A出)=()

8.在平行四边形ABC。中，ZA=J,AB=2,AD=\,若M,N分别是边BC,CD上的点，

——）

且满足=熔工则力M»N的最大值为（）

\BC\\CD\

A.2B.4C.5D.6

二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.

9.若集合A={x|sin2t=l},B={y|y=*+竽，k&Z},则正确的结论有（）

A.AUB=BB.CRBUCRAC.ACB=0D.CRASCRB

10.已知函数f（x）=cos（3x+w）（3>0,191V今的部分图象如图所示，则下列结论正确的

是（）

A.3=n

C.x=］是函数的一条对称轴

D.（k+/，0）（k€Z）是函数的对称中心

11.以下结论中错误的有（）

A.经过点（1,1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

B.设a,bER,且NWO,ab>\,则a*

C.若〃?ua,〃?，〃是异面直线，那么〃与a相交

D.以模型y=ceh去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设2=历），，将其变换后得到

线性方程z=0.3x+4,则c,k的值分别是和0.3

12.在平面直角坐标系xOy中，己知曲线C的方程是三5+更B=1（a>b>0）,则下

列结论正确的是()

A.曲线C关于(〃，b)对称

B.7+y2的最小值为F/

'a2+b2

C.曲线C的周长为2(a+b)

D.曲线C围成的图形面积为2心

三、填空题：

13.已知等比数列｛〃”｝满足3a5=优，且“2=1,则。4=.

14.设复数X=名(i是虚数单位)，则废020/+C202QX2+%20婷---(.

r20202020_

^2020Xv-•

15.已知双曲线C的焦点为尸1(0,2),FT.(0,-2),实轴长为2,则双曲线C的离心率

是；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1QLF2Q,则△QF1F2的面积

为.

2%+],xv2

'—，若/1/(0)(。)]=7,则。=_______.

｛15—2”,x>2

四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知△ABC内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2,

(1)求角C

(2)求AABC面积的最大值.

18.己知数列｛刖的前〃项和为S”且”"+1=学力，

1—CL^

(I)求证：数歹lj｛—句为等比数列；

l+«n

(II)求[Sioo](㈤表示不超过x的最大整数).

19.如图，三棱台ABC-AiBCi中，侧面481BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1AL

AB,A\ALA\C\,且AB=2Ai8i=4AM.

(I)若=2DAr,AE=2EB,证明：£>E〃平面BCCiBi；

(II)若二面角Ci-AAi-B为会求平面A1B18A与平面CiBiBC所成的锐二面角的余

弦值.

高三数学寒假作业15(答案解析)

一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数=罟的定义域为()

A.(0,+8)B.(0,1)U(1,+8)

C.[0,+8)D.[0,1)U(1,+8)

【解答】解：函数f(x)=磐，

：.\x>0，

(X-1K0

解得x>0且

：.f(x)的定义域为(0,1)U(1,+8).

故选:B.

2.已知向量2,b满足；=(2,1),b=(1,y),且3_Lb,则向+2b|=()

A.V5B.5V2C.5D.4

【解答】解：根据题意，a=(2,1),b=(by),且;J_Y

则有=2+y=0,解可得y=-2,即/>=(1,-2),

则2+27=(4,-3),故1+2&=,16+9=5；

故选：C.

3.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编

号分别为001,002,599,600,从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到

第6行:

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（）

A.522B.324C.535D.578

【解答】解：第6行第6列的数开始的数为808,不合适，436,789不合适，535,577,

348,994不合适，837不合适，522,535重复不合适，478合适

则满足条件的5个编号为436,535,577,348,522,

则第5个编号为522,

故选：A.

4.如图，在正四棱柱4BCO-4B1C1O1中，底面的边长为3,BD1与底面所成角的大小为

。，且tan0=|,则该正四棱柱的外接球表面积为（）

【解答】解：•••正四棱柱"。力-481。。1的侧棱。口，底面48。，

NOB。为直线8。与底面ABC。所成的角，

2

AtanZ£）iB£>=于

;正四棱柱ABCD-451C1Q1中，底面ABCD的边长为3,

:.BD=3号,

正四棱柱的高/i=3V2x1=2迎.

正四棱柱的外接球半径为R=竽=遮磐=孚.

正四棱柱的外接球表面积为S=47iR2=26n.

故选：A.

Cl

5.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,若b=l,c=V3,且2sin(8+C)

cosC=1-2cosAsinC,则△ABC的面积是()

V31〃cV3.1

A.—B.-C.一或一D.一或一

424242

【解答】解：因为2sin(B+C)cosC=1-2cosAsinC,

所以2sinAcosC=1-2cosAsinC,

所以2siaAcosC+2cosAsinC=1,

所以2sin(A+C)=1,

所以2sinB=l,

1

所以sinB=

因为b<c,

所以B<C,

所以角B为锐角,

所以cosB=,一sin2B=坐,l2=a2+(V3)2—2xaxV3x解得a=l或a=2.

当a=l时，△ABC的面积S=4acs出B=^xlxbx2=g；

当a=2时,AABC的面积S=^acsinB=1x2xV3x1=^.

V3V3

综上，ZLABC的面积是J或J.

42

故选：c.

6.设等差数列｛a“｝的公差为d,若加=2贝！I“d〈0”是“｛加｝为递减数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：“"V0”=等差数列｛如｝单调递减，又为=2%.•.数列｛姐为递减数列,

反之也成立.

・・・“dVO”是“｛加｝为递减数列”的充要条件.

故选：C.

7.将三颗骰子各掷一次，设事件A="三个点数都不相同"，B="至少出现一个6点”，则

P(A|B)=(

6091

A.一D.

91216

【解答】解：VP(A\B)=P(AB)+P(B),

60_60

P(AB)

6?.216

53一，125_91

P(8)=1-P(F)

^3==216

60fin

：.P(A/B)=P(AB)+P(B)=符=券

215

故选：A.

8.在平行四边形ABC。中，/A=*A8=2,AO=1,若M,N分别是边BC,8上的点,

T—>

且满足粤="，则京•我的最大值为（）

\BC\\CD\

A.2B.4C.5D.6

【解答】解：设理=磔=右0,

\BC\\CD\

建立如图所示的坐标系.

A(0,0),B(2,0),£)(1,空),C(1,金,

由茄=kBC,CN=kCD,

可得京=AB+kBC=(2+1/c,

同理可得AN=©-2k,

：.AM'AN=(2+-2k)+^=-A2-2k+5=-(Jt+1)2+6,

.'.薪♦/而的最大值是5,当且仅当M、N与点C重合时取得最大值.

故选：C.

二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.

9.若集合A={冰in2x=l},8={丫仅=今+竽，kwZ},则正确的结论有()

A.AUB=BB.QRBQCRAC.AQB=0D・CRA^CRB

【解答】解:集合A={x|sin2x=l}={x|x=An+?k&L],8={y|y=,+竽，kGZ),

对于3,当％为偶数时，A=B；当左为奇数时，AWB,

C.AQB.

：.AUB=B,CRB^CRA,AAB=A.

故选：AB.

10.已知函数/(%)=COS(3%+0)(3>0,191V*)的部分图象如图所示，则下列结论正确的

是()

B.9=与

C.是函数的一条对称轴

D.(fc+1,0)(keZ)是函数的对称中心

T*51n

【解答】解：根据函数/"(X)的部分图象知，-=---=1,7=2,3=笔=皿，所以A

2441

正确;

由/'(1)=cos(Tix；+(p)=0,得，+(p=^+2Anr,AeZ；

解得(pq+2内r,依Z；

又即|<，所以<p=$8错误；

由f(x)=cos(wc+1),令71戈+a=而，依Z；

解得x=A-J,依Z；

当％=1时，x=，是函数/(x)的一条对称轴，C正确；

令wt+E=Zm+5,keZ；

解得冗=攵+5，髭Z；

所以(A+/0)(髭Z)是函数/(X)的对称中心，。正确.

故选：ACD.

H.以下结论中错误的有()

A.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

1

B.设a,旄R,且外羊0,ab>\,则a>万

C.若相ua,”Ca,〃?，〃是异面直线，那么〃与a相交

D.以模型y=ce"去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设2=/〃)，，将其变换后得到

线性方程z=0.3x+4,则c,k的值分别是和0.3

【解答】解：A.设直线方程为y-1=A(x-1)(AWO),

1

令x=0,得y=l-匕令y=0,得冗=1-万，

所以1一仁1一工解得％=1或仁故A错误；

K.

B.因为〃的正负不确定，所以“不一定成立，B错误；

C.若7"ua,〃(ta,An,〃是异面直线，

那么”与a相交，或者〃与a平行，C错误；

D.因为z=/〃y=/”ce"=/"c+fcr,所以/〃c=4,即c=e“，k—0.3,。正确.

故选：ABC.

12.在平面直角坐标系xOy中，己知曲线C的方程是压二色+上0=1(a>b>0),则下

ab

列结论正确的是()

A.曲线C关于(小h)对称

)a2b2

B.』+0/的最小值为

•a2+b2

C.曲线。的周长为2(〃+6)

D.曲线。围成的图形面积为2出？

【解答】解：因为曲线C的方程是左色+更3=1(a>h>0),

ab

可得P(x,y)的图形为折线AB,BC,CD,DA,且A,B,C,D的坐标分别为：(0,

b),(a,2b),(2a,b),(a,0),可得四边形ABC。为菱形，

A中：显然关于(a,b)对称，所以A正确；

XV

8中：。到直线A。的距离最小，而直线4)的方程为：一+《=1,即汝+ay-H=0,

ab

所以O到AD的距离为：d=Vx2+y2=不2=，所以(/+/)学J所以8正

孱了a2+b

确；

C中：四边形周长为：4迎2+炉,所以C不正确；

。中：四边形的面积S=；・2a-2b=2",所以D正确；

故选：ABD.

C

X

三、填空题：

13.已知等比数列｛〃“｝满足3。5=。6,且。2=1,则04=9.

【解答】解：因为3a5=〃6,故行学=3,

a5

由等比数列的通项公式得44=42/=1X32=9.

故答案为：9.

14.设复数X=吕(/•是虚数单位)，贝1」戏020炉+*2。/+%207+…+C魏》2。2。=0

【解答】解：由已知得x=m=—1+i.

则6()20炉+%20%2+%20/+...+嗡弛2020

2

=C%o+6020炉+C^020X+%20/+…+C2020x2020_]

=(1+x)2020

=/2020.j

=(/4)505-1

=0.

故答案为：0.

15.已知双曲线C的焦点为尸1(0,2),F2(0,-2),实轴长为2,则双曲线C的离心率

是2；若点。是双曲线C的渐近线上一点，且ROLF2。,则△。尸1放的面积为，遮一

【解答】解：由题意可得c=2,2a=2即a=1,所以双曲线的离心率e=：=2,

所以b2—c2-(?=4-1=3,

所以双曲线的方程为：/一1=1,

所以渐近线的方程为：丫=土我，设。(一何，，y)为一条渐近线的点，

由尸IQ_LF2Q可得点2•康=0,即(一何，y-2)(-V3y,y+2)=0,可得3y2+y2-4

=0,所以|y|=l,

所以SQF1F2=1|FIF2|-|V3J|=1-4-V3=2遮，

故答案分别为：2,2V3.

16.已知函数/'(%)=『X+1；''2,若/'(0)4/(q)]=7,则a=_1或，。g产

(152fx2

(2x+1,x<2

【解答】解：•••函数〃久)=

115-2X,x>2

：.f(0)=2X0+1=1,

,•W(0)+fCa)]=7,

•W<0)+fCa)]=_W(a)1=7,

当14/(a)W2时，j\f(0)+f(a)]=咒14/(。)]=2+4(a)+1=7,

则/(“)=2,此时14/(a)=3>2,不成立.

当14/(a)>2时，j[f(0)+f(a)]=/[l+/(4)]=15-2%,加=7,

2勺=8,解得f(a)=2,

当aW2时,f(a)=2a+l=2,解得

当a>2时，f(a)=15-2"=2,解得a=log213.

综上，。=2或。=109产.

1

故答案为：£或/。9/.

四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知△ABC内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2,

(1)求角。

(2)求△A8C面积的最大值.

【解答】解：(1)・・•(1+tanA)(1+tanB)=2

.*.tanA+tanB=1-tanA,tanB,

/.tanC=-tan(A+B)=—1-tanAtanB

.「37r

・・C=W

(2):△ABC得外接圆为单位圆,

・・・其半径R=1

由正弦定理可得c=2/?sinC=V2,

222

由余弦定理可得c=a+h-2ahcosCf

代入数据可得2=a1+b1+y/2ab

>2ab+&ab=(24-V2)ab,

:,m餐

•*.△ABC得面积S=1出)sinCW.jrg,芋=—,

...△ABC面积的最大值为：军

18.已知数列他”｝的前〃项和为S”，且。”+|=学善,

La九।L

(I)求证：数列｛:n｝为等比数列；

1+而

(II)求boo](区表示不超过X的最大整数).

【解答】⑺证明：•••，”=4，且4"+1=梁翟,

2an+i1

.-a九+1_-an+2_1l-anI_/_A：_1

"l+an+1-1+^7—3'l+an'1+aj~1+l~3

^n+22

数歹U｛胃｝为等比数列，公比与首项都为去

(〃)解：由(/)可得：--

l+^n

解得："'尸分|二1一薪］

数列｛岛