八年级数学寒假-全等三角形湘教版知识精讲

初二数学寒假专题—全等三角形湘教版

【本讲教育信息】

教学内容：

寒假专题一一全等三角形

教学目标：

1.理解旋转及旋转的性质

2.掌握全等三角形及其性质与判定

3.掌握直角三角形的性质及判定

4.掌握角平分线的性质与判定

5.掌握勾股定理及其逆定理

6.通过典型例题的讲解，使同学们灵活掌握某些特殊题的巧妙方法和特殊思维，从而提

高同学们探索问题，解决问题的能力。

—,重点、难点

重点：

1.掌握全等三角形的性质与判定

2.掌握直角三角形的性质与判定

3.掌握勾股定理及其逆定理

难点：灵活掌握某些特殊题的巧妙方法与特殊思维方式

知识要点归纳：

1.旋转变换的概念：

将图形P绕定点O旋转一个定角，得到图形F2,这种由图形P变到F2的变换称为旋

转变换。

2.旋转变换的性质：

(1)旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状

(2)对应线段相等，对应角相等

(3)任意两条对应线段的夹角等于旋转角

3.全等三角形的定义：

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

4.全等三角形的性质：

全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线相等。

5.两个三角形全等的判定方法：

SSSSASASAAAS

6.直角三角形的性质：

(1)有一个角为直角

(2)有两个锐角互余

(3)斜边上的中线等于斜边的一半

(4)如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

(5)如果一个角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个角等于30°

(6)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。

7.直角三角形的判定：

(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。

(2)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理：有两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。

(4)有两锐角互余的三角形是直角三角形。

8.两个直角三角形全等的判定方法：

SSSSASASAAASHL

9.角平分线的性质：

一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

10.角平分线的判定：

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

规律与方法归纳：

1.“中心对称”是旋转的一个特殊情形——旋转角为180。的旋转，旋转中心称为对称中

心，中心对称由对称中心完全确定。

2.(1)利用旋转变换的手段解几何问题的方法叫旋转变换法。

(2)利用这种方法解题的基本做法是把图形的一部分作对称变换，使条件与结论之间

的联系更加明显和集中，辅助线段的添加更为自然。

(3)运用这种方法的关键是确定绕哪个点旋转和旋转角的大小，从而正确运用旋转变

换的性质解题。

3.两个全等的三角形可以经过平移，旋转，轴反射等运动或变换使之重合。

4.(1)运用三角形全等，可以证明线段相等，角相等，两直线垂直等问题。

(2)利用全等三角形的方法证题的关键是要找到两个待证的全等三角形。

(3)还可以利用等腰三角形，直角三角形的特殊角或边之间的关系，证明两角，两线

段相等或两线段垂直。

(4)也可以利用勾股定理逆定理证明两线段垂直。

【典型例题】

在前面的两个寒假专题讲座中，老师介绍了七种特殊的方法和一些创新题的创新思想，

创新思维，今天这个讲座老师将通过一些典型例题，介绍一些特殊题型的巧妙方法和特殊思

维方式。

例1.在aABC中，已知AB?=370,BC2=116,AC2=74,求此三角形的面积。

分析：本题是已知三边的长，求三角形的面积。按照常规的思维，可以用作高的方法来

解，但是比较复杂。

观察题中已知条件的特点：370=92+172,116=42+102,74=52+72,且

9=4+5,17=10+7,由这个特点我们可以考虑构造出一个几何图形，进而活用勾股定理

来解决，“巧”是解这个题的关键。

解：如上图，作矩形ADBE,使AD=17,AE=9,在EA上取EG=4,在EB上取EF

=7,过G作GK//AD交BD于K,过F作FH〃AE交AD于H,GK与FH相交于C,则

AB2=92+172

BC2=42+102

AC2=52+72

^MBC=^SABE-S(MCG_,^ABCF-§矩形£GCF

=—x9xl7-—x5x7--x4xl0-4x7

222

=11

小结：此题巧妙解法的关键是“妙作”图形，“活用”勾股定理。

例2.求证：直角三角形中，斜边上的高与斜边的和大于两直角边之和

己知：如下图，在AABC中，NA=90°,AD±BC,垂足为D

求证：AD+BC>AB+AC

分析：要证不等式两端均为两线段之和，所以考虑构造线段和（差）转化为证两线段的

不等问题。

思路一：构造线段和把结论中的分散线段相应集中为直角三角形的边，利用直角三角形

斜边大于直角边解决问题。

证明一：如下图，延长AC至E,使CE=AB

延长BC至F,使CF=AD

连结BE、EF

则AD+BC=BF,AB+AC=AE

•.•N4+N1=N4+/2=9O°,Z2=Z3

Z1=Z3

又♦:AB=CE,AD=CF

\ABD=\CEF{SAS}

ZF=ZADB=90"

EF=BD

又BF2=BE2-EF2,AE2=BE2-AB2

而AB>3£>=£F

/.BF2>AE2

：.BF>AE

/.AD+BC>AB+AC

思路二：通过构造线段差把结论中的分散线段相应集中为直角三角形的边，利用直角三

角形斜边大于直角边解决问题。

证明二：如下图，在BC上截取BE=BA

作ERL4C于F,则EC=BC—AB

且N1=N2

又Nl+N3=N2+N4=90°

Z3=Z4

Rt\ADE=Rt^AFE(AAS)

：.AD=AF

FC=AC-AF=AC-AD

而在RfAEFC中，EC>EF

:.BC-AB>AC-AD

：.BC+AD>AB+AC

小结：以上两种方法叫做“构造法”。

思路三：应用面积与勾股定理通过运算证明，较简明。

证明三：设AB=c,AC=b,BC=a,AD=h

则a2=〃+c2,—ah~~be

22

(a+/?)~——a~+h~+2ah——(b~+c"+2Z?c)+h~

=(b+c)2+h2>(b+c)2

即(a+»2>S+c)2

a+h>b+c

即BC+ADAAB+AC

思路四：还可用类似证明二的方法用构造法证明。

证明四：如图，在CB上截取CE=AB,在CA截取CF=AD

则BE=BC-AB,AF=AC-AD

连结EF,过E作EG//AC交AB于G

•.ZR4D=NC,CF=AD,CE=AB

\ABDw\CEF

：.AEFC=ABDA=90°

，四边形AGEF为长方形

AF=GE,ZAGE=90°

在R/ABEG中，BE>EG

：.BC-AB>AC-AD

即4)+3C>AB+AC

思路五：思路三还可以用分析法证明。

证明五：欲证a+//>〃+c

a+h>Q,b+c>0

.,.只需证明a2+h2+2ah>b~+c~+2bc

•：a1=b2+c2,2ah=2bc

，只需证明h~>0

vh2>0显然是成立的

：.a+h>b+c成立

AD+BC>AB+AC

例3.如下图，O为正三角形ABC的中心，你能用旋转的方法将AABC分成面积相等的

三部分吗？如果能，请设计出分割方案，并画出示意图。

分析：由于正三角形是旋转对称图形，并且将它绕其中心旋转120°,240。后均能与

自身重合，故其分割线绕中心旋转120°,240。后能彼此重合，由此，我们可先画出一条

分割线，再作出它绕中心旋转120。，240。后的图形，即可将aABC分成形状、大小完全

相同的三部分，显然也就将其面积三等分，此题“妙”在先画出一条分割线，“巧”在这条

分割线的画法。

本题答案不唯一，下面给出三种分法，同学们还可以考虑更多的分法。

解法1：连结OA、OB、OC,如图甲所示

解法2：在AB上任取一点D,将D点分别绕点O旋转120°和240。，得到D2,

连结OD,OD|,OD?即得如图乙所示。

解法3：在解法2中，用相同的曲线连接OD,OD”OD2即得如丙图所示。

A

例4.如下图，已知等边三角形ABC与等边ACDE,A、B、D在同一直线上，一只小蚂

蚁由C经B到达D点，一只大蚂蚁由B直接到达E点，请问：哪个走的路程较远？

分析：本题实际上是比较线段CB+BD与BE的长度的大小，要比较两条线段的和与一

条线段之间的长短，--种方法是补短法，另一种方法是截长法，这两种方法在前面的知识讲

座中已经详细讲过，这里不再复述。

此题的巧妙之处能够将蚂蚁的行程大小的比较转化为两条线段的和与一条线段的长短

比较问题，下面我们仅举补短法来证明。

证明：:△ABC和4CDE是等边三角形

CA=CB,CE=CD,ZACB=ZDCE=60°

ZACD=NBCE

AACDsABCE（SAS）

：.AD=BE=AB+BD=CB+BD

即班=CB+%>

...两只蚂蚁所走的路程一样远。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一.填空题

1.如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确

的命题（只需写出一种情况）

2.已知如下图，DC//AB,且DC=AE,E为AB的中点，观察图形，在不添加辅助线的

情况下，请写出三个与4AED的面积相等的三角形。

A

3.直角三角形的周长为3+6,斜边上的中线长等于1,则两直角边长分别为

4.在RfAABC中，CD是斜边AB上的高，BC=3,AC=4,则CD=,BD=

5.如下图所示，在4ABC中，ZACB=90°,AC=AE,BF=BC,则NECF等于

6.如下图所示，已知Nl=Z2,AC±BC,BD=4,CELAD,2CE=AC,则CD=()

V2

7.如下图，在AABC中，乙4=30°,N8=45°,AC=—,则BC=

2

8.在aABC中，AB=6，AC=4,ZA=60°,则aABC的面积为_________

9.在锐角AABC中，已知两边a=l,b=3,那么第三边的变化范围是____________

10.如下图，在正方形ABCD中,AE1BD于E,S矩形诋。=40cm*2*,

SMBE'S^DBA=1:5,则AE=-----------------cm

BC

二.如下图所示，在4ABC中，NAC6=9(T,点0是4ABC内的一点，且

2

SA°A广SA°BC=SA。”求证：OA2+OB=5OC2

三.已知：a、b、c为AABC的三边长，且有a?+2〃+/+867=30a+6段＞+16c,请

判定三角形ABC的形状。

四.有一批边角余料状材料，如下图所示，其中NA=NC=9(T,AB=AD,现要把每块这

样的材料都加工成正方形，并且希望材料利用率尽量高，怎样做最好呢？

五.如下图，正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各有一点P、Q,如果AAPQ的周长为

2,求/PCQ的度数。

APB

【试题答案】

1.如取：条件①AE=AD,②AB=AC,可得到④N8=NC

2.AEBC,AAEC,ZXACD等

3.V3,1

5.45°

6.2

1

7.-

2

8.3

9.解：最长边所对的角小于90°,若b为最长边，第三边c>=7=2五，若c是

最长边，则。<护寿=&5

故2/<c、<

10.解：由得5AAM:5Am4=：DB?=1：5

贝ijAB：DB=1：V5

设A5=Z,则。8=后左

22

AD=^DB-AB=.(瓜>_%2=2k

••.S矩物88=40,即&2=40

解得左=26

.♦.6。=尿=后2逐=10

AD=2k=4石

«ABAD,

AE=-----------=4cm

BD

二.证明：作OMLAC,ONLBC,M、N是垂足

2222

那么CM?+OB2=(OM+AM)+(ON+BN)

•^AOCA=§^SABC

AC-OM^(^AC-BQ

OM=-BC,BN=20M

3

同理可证：AM=2ON