考点02整式与因式分解-2022年中考数学与题型全归纳（原卷版）

考点02整式与因式分解

1cH

命题趋势

以考查整式的加减、乘除、乘法公式、幕的运算、因式分解、探究规律为主，也是考查重点，年年考查,

是广大考生的得分点，分值为12分左右。预计2022年各地中考还将继续考查基的运算性质、因式分解、

整式的化简、代入求值、探究规律，为避免丢分，学生应扎实掌握.

，知识梳理

1)代数式

代数式的书写要注意规范，如乘号"x”用表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.

2)整式

1.单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，

数字因数叫做单项式的系数.

注：①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如这种表示

3

1Q

就是错误的，应写成-②一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如一5a3)2。

3

是6次单项式。

2.多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的

次数，其中不含字母的项叫做常数项.

3.整式：单项式和多项式统称为整式.

4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

5.整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

+nn

6.幕的运算:a"'-a"=a"'i(d")"="""；Cab)"=〃%"；a"'^a"=a"''.

7.整式的乘法：(1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里

含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

(2)单项式与多项式相乘：(a+Hc)=ma+mb+mc.

(3)多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nh.

8.乘法公式：（1）平方差公式：①+份①一份=（2）完全平方公式：（a±»2=/±2"+/.

9.整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的基分别相除，作为商的因式：对于只在被除

式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项

式，再把所得的商相加.

3）因式分解

1.把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2.因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：ma+mh+mc^m（a+b+c）.

（2）公式法：运用平方差公式：/—炉=（a+h）（a一份.运用完全平方公式：a2+2ab+h2=（a+h）2.

3.分解因式的一般步骤：

（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方

公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；

（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。

以上步骤可以概括为“一提二套三检查"。

重点考向

考向1代数式及相关问题

1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.

2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.

典例引领

1.（2021•青海中考真题）一个两位数，它的十位数字是X,个位数字是V,那么这个两位数是（）.

A.x+yB.10xyC.10（x+y）D.lOx+y

2.（2021•浙江台州•中考真题）将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合,混合后的糖水含糖（）

A.20%B.世xlOO%C,把型xlOO%D.x100%

22010x+10y

变式拓展

1.（2021•浙江金华市•中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后

售价最低的是（）

A.先打九五折，再打九五折B.先提价5（）%,再打六折

C.先提价30%,再降价30%D.先提价25%,再降价25%

2.（2021•重庆中考真题）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4,A、B、C三种饮

料的单价之比为1:2：1.六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，

预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的5,8、C饮

料增加的销售额之比为2：1.六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3,

则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为.

考向2整式及其相关概念

单项式与多项式统称整式.

观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，

相同字母的指数是否相同.

多项式的次数是指次数最高的项的次数.同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数

是否相同.

考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数

的次数是0.

典例引领

1.（2021•上海中考真题）下列单项式中，//的同类项是（）

3223

A.ahB.2a汨C.abD.ab

2.（2021•海南中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（）

2

A.x+lB.盯C.巧D.一3尤

3.（2021山东•中考模拟）如果整式x"-2_sf+zc是关于x的三次三项式，那么〃等于

A.3B.4C.5D.6

变式拓展

1.（2021•青海中考真题）已知单项式2优/2"，+7与3a2,%"+2是同类项，则加+〃=

2.（2020•四川绵阳市•中考真题）若多项式（n-2*丁+1是关于X,的三次多项式，则“〃=.

考向3规律探索题

解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、

比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.

典例引领

1.（2021•山东济宁市•中考真题）按规律排列的一组数据：:1，3□,7—,9—,1一1，…，其中口内应

25172637

填的数是（）

A.-B.—C.-D.-

31192

2.（2021•湖北随州市•中考真题）根据图中数字的规律，若第〃个图中的q=143,则。的值为（）

3.（2021•江苏扬州市•中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1,

3,6,10,……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第

33个数为.

①

变式拓展

1.（2021•湖北十堰市♦中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列

的数为27,则位于第32行第13列的数是（）

A.2025B.2023C.2021D.2019

2.（2021•内蒙古中考真题）将一些相同的"O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的"O"的个数,

则第30个，龟图”中有个“O”.

O

ooooOOO

OOO

OOOOOOOO

OOo°oooooo

(1)(2)(3)(4)

3.（2021•山东临沂市•中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快,

后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系.下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此

可计算32mg镭缩减为Img所用的时间大约是（）

8100年D.9720年

4.（2021•安徽中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而

成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列.

［观察思考］当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地质有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰

直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推,

图2图3

［规律总结］（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；

（2）若一条这样的人行道一共有〃（〃为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为一（用含

〃的代数式表示）.

［问题解决］（3）现有2021块等腰直角三角形地彼，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖

剩余最少，则需要正方形地砖多少块？

考向4幕的运算

累的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算

的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理.

典例引领

1.（2021•湖北襄阳市•中考真题）下列计算正确的是（）

A./+/=〃B.。3.〃3=〃6C.（4，=〃6D.（苏力6

2.（2021•广东中考真题）已知9'〃=3,27〃=4,则32〃计3〃=（

A.1B.6C.7D.12

3.（2021•湖南永州市•中考真题）若x,y均为实数，43*=2021，47v=2021，则43-’・47个=;

11

—I—=_______

xy

变式拓展

1.（2021•陕西中考真题）计算：（/4一=（）

1

AB.6b2D.-2a3b

-焉ac/

13

2.（2021•四川泸州市•中考真题）已知10"二=20，100〃=50,则一。+/?+—的值是（）

22

59

A.2B.-C.3D.一

22

3.（2020•河南中考真题）电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位，其中

1GB=2'°MB,1MB=210KB,\KB=2WB,某视频文件的大小约为1GB,1GB等于（）

A.23OBB.830fiC.8xl0'°BD.2X1030B

考向5整式的混合运算

整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；

多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变

化，最后把所得式子化简，即合并同类项.

典例引领

1.（2021•江苏常州市•中考真题）计算：2a2-（/+2）=.

91

2.（2021•湖南长沙市•中考真题）先化简，再求值：（x—3）-+（x+3）（x-3）+2x（2-x）,其中x=—

变式拓展

1.（2021•湖北荆州市•中考真题）若等式2a2.。+（）=3/成立，则括号中填写单项式可以是（）

2

A.aB.aC./D./

2.（2021•贵州中考真题）（I）有三个不等式2x+3〈-l,-5»15,3（x-l）＞6,请在其中任选两个不等式，

组成一个不等式组，并求出它的解集：

（2）小红在计算a（l+a）—（a—厅时，解答过程如下：

a（l+a）-（a-l）2

=a+a2-(a2-1)第一步

—a+a2-a2-]第二步

=。-1第三步

小红的解答从第步开始出错，请写出正确的解答过程.

考向6因式分解

因式分解的概念与方法步骤

①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算.符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形

式.

②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.

③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解

必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如

果没有两数乘积的2倍还不能分解.

一“提”（取公因式），二“用''（公式）.要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全

平方公式.

典例引领

1.（2021•山东荷泽市•中考真题）因式分解：—。3+24—.

[x-2y=-2,,

2.（2021•四川广安市•中考真题）若x、y满足<二°,则代数式Y—4y2的值为_____.

x+2y=3

3.（2020•四川内江市•中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=mxn（m,n

是正整数，且mW"）,在X的所有这种分解中，如果相，"两因数之差的绝对值最小，我们就称〃2X〃是X

的最佳分解.并规定：/（%）=-.

n

例如：18可以分解成1x18,2x9或3x6,因为18-1>9一2>6—3,所以3x6是18的最佳分解，所以

/（18）=fa=-1.⑴填空：/（6）=；/（9）=；

o2

（2）一个两位正整数f（7=l（）a+。，a,6为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数

字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数；并求/（/）的最大值；

（3）填空：①/（22X3X5X7）=；②/（23X3X5X7）=

③/（24x3x5x7）=；®/（25X3X5X7）=.

变式拓展

1.（2021•黑龙江绥化市•中考真题）在实数范围内分解因式：ab2-2a=.

2.（2020•柳州市柳林中学中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）

A.a2-Z?2B.-*-〃C.a2+b2D.a2+2ab+b2

3.（2021•湖北十堰市♦中考真题）已知移=2,x—3y=3,则2/丫一12丁丁十必孙3=

考向7乘法公式的几何背景与运用

完全平方公式的运用主要考查是“知二求二”、参数问题与最值问题，乘法公式的几何背景为素材的题型

近年来考查也比较多。

典例引领

1.（2021♦浙江台州市•中考真题）已知（a+b）』49,d1+b2=25,则ob=（）

A.24B.48C.12D.276

2.（2021.安顺•中考模拟）若/+2（根一3）8+16是关于x的完全平方式，则机=.

3.（2020•宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾

股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1）,且大正方形的

面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边为“，较长直角边为尻如果将四个全等的直角

三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为一.

b

a

图1图2

变式拓展

1131

1.（2021•广东中考真题）若XH———且0＜尤＜1,则X?----=.

x6x

2.（2020•湖南郴州市•中考真题）如图1，将边长为X的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）,

并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列

哪个等式（）

x1

X-1

(图2)

A.x?—2x+1=(x—1)-B.x~—(x+l)(x—1)C.x~+2x+1=(x+1)"D.x~—x=x(x—1)

3.(2021•河北中考真题)现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图).

（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,

先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片块.

考向8代数整体求值与程序图问题

典例引领

1.（2021•江苏苏州市•中考真题）若机+2“=1,则3加2+6m”+6〃的值为.

2.（2020•江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=3（x>0）与y=的图像交于点p（a,6）,

X

则代数式的值为（）

ab

3.（2021•四川达州市♦中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入X的值为3,则输出丁值为

变式拓展

1.（2020•山东潍坊市•中考真题）若〃J+2机=1，则4机2+8加一3的值是（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2021•贵州铜仁市•中考真题）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1,则输出的结果是

3.（2020•浙江嘉兴市•中考真题）比较N+1与您的大小.

（1）尝试（用“<”，"=”或“>”填空）：

①当x=l时，/+12x；②当x=0时，f+l2x；③当x=-2时，x2+l2x.

（2）归纳：若x取任意实数，片+1与〃有怎样的大小关系？试说明理由.

考向9新定义与阅读类问题

典例引领

1.（2021•甘肃武威市•中考真题）对于任意的有理数如果满足@+=土吆，那么我们称这一对数。力

232+3

为“相随数对“，记为（a,。）.若（加，”）是“相随数对”，则3m+2[3加+（2〃-1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

2.（2021•湖北鄂州市♦中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和

与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题.

猜想发现：由5+5=27^=10；-+-=2J-xi=-；0.4+0.4=20.4x0.4=0.8；

33V333

—1-5>2./—x5=2；0.2+3.2>2j0.2x3.2=1.6;—I—>2.-x—=—

5V528\282

猜想：如果a>0,b>0,那么存在a+0N2疯（当且仅当a时等号成立）.

猜想证明：—扬了20

，①当且仅当G—北=0，即。=力时，a-24ah+b=0,:•a+b=2y[ab;

②当&一霸w0,即〃6时，4一2而+〃>0,・♦・a+b>2\[ab.

综合上述可得：若。>0,/?>0,则〃石成立（当日仅当。=6时等号成立）.

猜想运用：（1）对于函数）=》+』（％>0）,当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？

X

变式探究：（2）对于函数丁=『与+》（彳>3）,当X取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？

拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题.高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测

站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图.设每间离房的

面积为S（米2）.问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？

/////////////////////1//（墙）

变式拓展

1.（2021•凉山州•中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J.1550—1617年）是对数的创

始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（&/〃.1707—1783年）才发现指

数与对数之间的联系.

对数的定义：一般地.若/=N（。>0且OH1），那么x叫做以。为底N的对数，

记作x=log„N,比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log,9可以转化为指数式

32=9.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

log“（M-N）=log"M+log„N（a>0,N>0）,理由如下：

设logoM=m,logaN=n,则M=a'",N=a".

:.M-N=am-a"=am+n.由对数的定义得m+n=log”（M-N）

又根+〃=log“M+logaN

.1.logJM-N）=log„M+log„N.

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：①log232=；②log；,27=,®log7l=:

M

（2）求证：log"—=logaM-logaN（a>0,a1,Af>0,?/>0）；

(3)拓展运用：计算logs125+logs6-logs30.

2.(2021•重庆中考真题)如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成AxB，其中A与8都是两位

数，A与5的十位数字相同，个位数字之和为1(),则称数M为“合和数”，并把数M分解成A/=Ax8的

过程，称为“合分解

例如♦.♦609=21x29,21和29的十位数字相同，个位数字之和为10,二609是“合和数”.

又如•「234=18x13,18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10,234不是“合和数

(1)判断168,621是否是“合和数”？并说明理由；

(2)把一个四位“合和数”M进行“合分解"，即加=4*3.A的各个数位数字之和与B的各个数位数字

之和的和记为尸(M)；A的各个数位数字之和与8的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q(M).令

P(M)

G(M)当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的M.

Q(W'

热点必刷

1.（2021•浙江温州市•中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米。元；

超过部分每立方米（。+1.2）元.该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）

A.20a元B.（20。+24）元C.（17。+3.6）元D.（20a+3.6）元

2.（2021•湖南•中考模拟）观察下列等式：7°=1,71=7,7?=49,7'=343,74=2401,7$=16807,…，根据

其中的规律可得7°+7]+72+…+7239的结果的个位数字是（）

A.0B.1C.7D.8

3.（2021•山东张店•一模）下列说法正确的是（）

A.-3岫2的系数是一3B.4«%的次数是3

C.24+。-1的各项分别为2a,b,1D.多项式是二次三项式

4.（2021•浙江浙江•九年级期末）如图，函数y=’（x>0）与y=x-3的图象交于点尸（凡公，则的值为

X

（）

C.2月D.V13

5.（2021•四川雅安市•中考真题）下列运算正确的是（）

A.(X2)3=X6B.3X2-2X=XC.(-2X)3=-6X3D.

6.（2021•湖南娄底市•中考真题）下列式子正确的是（）

32b5

A.o,-er-aB.(/)=/C.a-a-aD.(/)-a

7.（2021•江苏南京市•中考真题）计算（4）二。-3的结果是（

235

A.aB.aC.aD./

8.（2021•湖北十堰市♦中考真题）下列计算正确的是（）

A.。3.。3=2。3B.（—2。）2=4/C.（a+Z?）2=/+/D.（。+2）（。-2）=/-2

9.（2021•四川成都市•中考真题）下列计算正确的是（）

A.3mn—2mn—1B.（加方）=C.（-m）3-m=m4D.（m+n）2=m2+n2

10.（2020•西藏中考真题）观察下列两行数：

1,3,5,1,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…，若第n个相同的数是103,则n等于（）

A.18B.19C.20D.21

11.（2021•浙江杭州市•中考真题）因式分解：1-4：/=（）

A.（l-2y）（l+2y）B.（2-y）（2+y）C.（l-2y）（2+y）D.（2-y）（l+2y）

12.（2021•广西贺州市•中考真题）多项式213-4片+2%因式分解为（）

A.2x（x-l）~B.2x（x+1）-C.x（2x-\yD.x（2x+l）~

13.（2020•广西贺州市・中考真题）多项式2//+8/从因式分解为（）

A.a2b2（2h+8a2）B.2ab2^ab+4a3^C.2a2b2（Z?+4a2）D.2a。乂〃+4a%）

14.（2020•西藏中考真题）下列分解因式正确的一项是（）

A.x2-9=（x+3）（x-3）B.2xy+4x=2（xy+2x）

C.x2-2x-1=（x-1）2D.x2+y2=（x+y）2

15.（2020•河北中考真题）若IT）（"T）=8X10X12,贝必=（）

k

A.12B.10C.8D.6

16.（2021•江苏苏州市•中考真题）已知两个不等于0的实数。、方满足a+b=0,则2+：等于（

）

ab

A.-2B.-1C.1D.2

17.（2020•山东枣庄市•中考真题）图（1）是一个长为2m,宽为2n（m>n）的长方形，用剪刀沿图中虚线

（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中

间空的部分的面积是（）

18.（2020•湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396,则〃=（）

A.17B.18C.19D.20

19.（2020•湖南中考真题）如图，将一枚跳棋放在七边形A8CCE尸G的顶点A处，按顺时针方向移动这枚

跳棋2020次.移动规则是：第人次移动々个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在8处，第二次移动

2个顶点，跳棋停留在。处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）

A.C、EB.EyFC.G、C、ED.E、C、F

20.（2020•广东中考真题）已知x=5-y,xy=2,计算3x+3y-4盯的值为.

21.（2020•贵州黔南布依族苗族自治州•中考真题）若单项式/.2〃+7与单项式-的和仍是一个单项式，

贝I]m-n=.

22.（2021•山东•中考模拟）单项式6乃//的次数是.

6万姓户23.（2020•四川中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列,依次为（2）,（4,6）,（8,10,

12）,（14,16,18,20）我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第机组

第n个数字，则m+n=.

24.（2021•江苏连云港市•中考真题）分解因式：9f+6x+l=.

25.（2020•江苏镇江市•中考真题）根据数值转换机的示意图，输出的值为.

26.（2021•辽宁本溪市•中考真题）分解因式：2/一©+2=

27.（2021•广东•佛山市华英学校一模）当x=3时,^1=2020,则当犬=-3时,p^+gx+l的值为.

28.（2021•浙江嘉兴市•中考真题）观察下列等式：1=/—（）2,3=22-12»5=3?-2?,…按此规律,则

第〃个等式为2〃-1二

29.（2021•江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人

们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是.

1

11

121

131

14641

30.（2021•黑龙江大庆市•中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6

个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有个交点

32.（2021•四川南充市•中考真题）先化简，再求值：（2x+l）（2x—1）-（21一3）2,其中x=-1.

33.（2021江苏•中考模拟）如图1,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段

AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.

（1）设图1中阴影部分面积为S”图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示Si和S2;

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式.

34.（2021•吉林长春市•中考真题）先化简，再求值：（。+2）3—2）+。（1一。），其中。=6+4.

35.（2021•湖南永州市•中考真题）先化简，再求值：（X+1Y+（2+X）（2—X）,其中x=l.

36.（2021•北京中考真题）已知/+2/一1=（）,求代数式（。一人丫+人仁4+与的值.

37.（2020•安徽中考真题）观察以下等式:

第1个等式：+1j=2-13/2、1

第2个等式：-x1+-=2--

4I2J2

第3个等式：+—j=2--7(2、1

第4个等式：-x1+T=2--

6I4J4

=2-1.•…按照以上规律.解决下列问题:

第5个等式：y9xl1+-2

（1）写出第6个等式___________；（2）写出你猜想的第"个等式:（用含〃的等式表示），并证明.

直通中考

1.（2021•湖北宜昌市♦中考真题）从前,古希腊一位庄园主把一块边长为。米（a>6）的正方形土地租给

租户张老汉.第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土

地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）

A.没有变化B.变大了C.变小了D.无法确定

2.（2021•重庆中考模拟）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）

A.AW=1,n—\B.m=\,n=0C.m=\,n=2D.m=2,几=1

3.（2020•江苏泰州•中考真题）点P（a,Z?）在函数y=3无+2的图像上，则代数式6a-2"1的值等于（）

A.5B.3C.-3D.-1

4.（2021•绵阳市•中考模拟）已知4"'=a，8"=人，其中〃？，〃为正整数，则22'"6"=（）

A.ab~B.a+b2C.a2b3D.a2+b3

5.（2021•浙江兰溪•一模）一幢房子一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成（如图），若把该墙面设

计成长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a,则这面墙的高度应该为（）

A.2b+hB.b+—hC.b+2hD.b+h

2

6.（2021•内蒙古呼和浩特市•中考真题）下列计算正确的是（）

,1Q2

A.3〃2+4〃2=7。4B.yfcT—=1C.-18+124-（—）=4D.-----a—l=

,1,1

7.（2020•四川眉山市•中考真题）已知/+—/=2。一人—2,贝——〃的值为（）

42

A.4B.2C.-2D.-4

8.（2021•福建•中考模拟）若（a-c+加2=21,（a+c+加2=2019,则/+〃十。2%为活的值是

A.1020B.1998C.2019D.2040

2

9.（2021•河北•中考模拟）若x-工=3,

则()

Xx4+l

A.11B.7C.—D.-

117

10.（2020•湖南娄底市•中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,x的值为（）

26

1438

29320435

A.135B.153C.170

11.（2020•山东日照市•中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10

个图案中共有圆点的个数是（）

n=ln=2n=3n=4

A.59B.65C.70D.71

12.（2021•广西玉林市•中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第〃个图树枝数用，表示，则乂-匕=

（）

第1个囹K=1第2窗K=3第3个囹K=7第4个窗匕=1日

A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24

13.（2021•柳州市•中考模拟）定义:形如。+万的数称为复数（其中。和b为实数，i为虚数单位,规定i2=-1）,

“称为复数的实部，。称为复数的虚部.复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数.例如

（1+3z）2=F+2x1x3i+（3z）2=1+6i+9/=1+6i-9=—8+6"因此，（1+3z）2的实部是-8,虚部是6.已

知复数（3-机。2的虚部是12,则实部是（）

A.-6B.6C.5D.-5

14.（2020•内蒙古包头•初三二模）若，=3,则，〃2+」=

min"

15.（2020•山东临沂•中考真题）若a+b=l,则小一。匕一2=.

16.（2021•陕西中考真题）分解因式：X3+6X2+9X=.

17.（2021•咸宁市•中考模拟）若整式/+加）2（”为常数，且加。0）能在有理数范围内分解因式，则”？

的值可以是（写一个即可）.

2

18.（2021•内蒙古中考真题）因式分解：—+ax+a^.

4

19.（2021•成都市•中考模拟）已知（2019-a）2+（a-2017）2=7,则代数式（2019-a）（a-2017）的值

是.

20.（2020•湖南中考真题）阅读理解：对于V-（层+］）x+〃这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

x3-（n2+l）x+n=xi-n2x-x+n=x（x2-n2）-（x-n）=x（x-〃）（x+n）-（,x-n）=Cx-ri'）-1）.

理解运用：如果x3-（M2+1）x+n=0,那么（x-n）（jr+nx-1）=0,即有x-〃=0或f+nx-1=0,

因此，方程x-〃=0和必+加-1=0的所有解就是方程x3-（"+1）""=0的解.

解决问题：求方程%3-5x+2=0的解为.

21.（2021•湖南•中考模拟）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的.如图，图一是“杨辉三角”数