离散型随机变量的期望

(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＝1．1、离散型随机变量的分布列和性质一、复习回顾2、特殊的分布列之一－－－二项分布（重点掌握）3、特殊的分布列之二－－－几何分布（了解）“ξ=k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生。“ξ=k”表示在第n次独立重复试验中事件恰好发生的次数。4、超几何分布：1.期望定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为

…………则称为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．2.期望的性质：3、随机变量ξ服从二项分布的期望4、随机变量ξ服从几何分布的期望则若问题1：某射手射击所得环数ξ的分布列下：思考：如何衡量该射手的射击水平？假设该射手进行了n次射击试验得4环的次数约为：得5环的次数约为：得10环的次数约为：0.220.290.280.090.060.040.02P10987654射手n次射击的平均环数类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个P(ξ＝i)(i＝0，1，2，…，10)，则可预计他任意n次射击的平均环数是:Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋…＋10×P(ξ＝10)．定义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为:…pi…p2p1P…xi…x2x1ξ称为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．二、期望的定义它刻划了随机变量ξ所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平．例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分ξ的期望．解：ξ的可能取值为：1，0

则有：P(ξ＝1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.3，所以Eξ＝1×0.7＋0×0.3＝0.7．变式：某商场在国庆节搞促销活动，若在室内进行，可以获利2万元，若在室外进行，若不下雨可获利10万元，若下雨则损失4万元，已知国庆节下雨的概率为0.4，判断商场应在室内还是室外进行促销活动？

甲和乙打赌，甲抛三枚硬币，若全是正面向上或反面向上，甲都给乙10元，若是其他情况，则乙给甲5元。乙心想：三枚硬币中一定有两枚的正反面相同，第三枚硬币和它们相同的可能与不相等的可能各一半，我赢了得10元，输了给5元，划得来，于是就答应了。大家判断乙明智吗？三、期望的性质：…………于是即若η=aξ+b，其中a，b为常数，则η也是随机变量．因为P(η＝axi＋b)＝P(ξ＝xi)，i＝1，2，3，…所以，η的分布列为（1）当

a=0时，E(b)=b，即常数的数学期望就是这个常数本身；（2）当

a=1时，E(ξ+b)=Eξ+

b，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ

的期望与这个常数的和；（3）当

b=0时，E(aξ)=aEξ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积；依题意，可得ξ的分布列为ξ0525100P例2、在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，则ξ所有可能取的值为0，5，25，100。变式：（06四川）设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4)，又ξ的数学期望Eξ＝3，则a+b＝______________。例3：袋子中装有3个白球4个黑球，现甲、乙两人轮流取出一个球，甲先取，取后不放回，直到两人中有一人取出白球为止，求取球次数的分布列及数学期望。三、一种特殊的分布列－－－二项分布……pn…k…10ξ当n取1时：当n取2时：当n取n时：思考：证明服从二项分布的随机变量的期望是：思考：证明服从二项分布的随机变量的期望是：所以，证明：几何分布的期望：例4、一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分．学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个．求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望．解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，所以，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η．所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5ξ)E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．＝5Eξ＝5×18＝90，例5、有一批数量很大的产品，其次品率是15%．对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但每次抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）．解：抽查次数取1~10的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取次品的概率是0.15，取正品的概率是0.85，前k-1次取出正品而第k次（k=1,2…9)取出次品的概