高中数学人教A版（2019）必修第一册 第五章三角函数单元测试

第五章三角函数单元测试3

一、单选题

1.已知点尸（tana,cosa）在第三象限，则角a在第几象限（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3

2.已知cosx=一，贝ijcos2x=()

4

111

A.——B.一C.--D.-

4488

4

3.已知cos(a+/?)=g,cos(a-£)=则tancrtan夕的值为（)

13

A.—B.--c.-AD.3

251()5

4.已知a为第二象限角，cos2a=-----,则sina-cosa=()

3

半半或小

A.B.r715D.B

39

3

5.已知角Q的终边经过点P@，-3）,且tuna——,则cosa=

4

344

A.±-B.±-c-D.-

555

6.如果函数）=3cos（2x+0）的图象关于点（§,0）对称，那么财的最小值为（）

7171

B.

67

71

~2

).

27

D.

39

8.函数，（x）=Asin（5+s）（A>O,0>O,|0|〈表的部分图象如图所示，将函数八）的图象

TT

向左平移百个单位长度后得到y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）

A.函数g(x)为奇函数

B.函数g(x)的最小正周期为2万

TT

C.函数g(x)的图象的对称轴为直线工=既+:(女tZ)

6

、冗7T

D.函数g(x)的单调递增区间为一一+k兀，丁+k兀(Z:eZ)

二、多选题

9.若函数“x)=3sin®x+e)对任意x都有1+x)=/(1一x),则/图=()

A.-3B.0C.2D.3

10.若将函数於尸cos(2x+专)的图象向左平移三个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列

说法正确的是()

TT

A.g(x)的最小正周期为乃B.g(x)在区间［0,万］上单调递减

C.4高是函数g(x)的对称轴D.g(x)在［-?,三］上的最小值为

11.己知函数〃x)=tan(x+5｝则下列关于/Xx)的判断正确的是()

A.在区间仔，万)上单调递增B.最小正周期是万

C.图象关于直线x=?成轴对称D.图象关于点舟。)成中心对称

三、填空题

i2cosa+sina

12.已知tana=1,则H能

13.若函数/(x)=sin(x+e)+cosx的最大值为2,则常数。的一个取值为

14.已知函数/(x)=sin%(xe若Ng,贝Ijl的取值范围为.

15.下面四个命题,

（1）函数y=tanx在第一象限是增函数；

（2）在A48C中，"A>B”是"sinA>sin8”的充分非必要条件；

TT7T

（3）函数量=cos（2x+⑼图像关于点（-,（））对称的充要条件是夕=br+7伏€Z）；

66

（4）若awl],.],则Jl+sin2a-Jl-sin2a=2sina.

其中真命题的是.（填所有真命题的序号）

四、解答题

16.已知函数/（》）=4$出（5+0）（4>0,0>0,-]<夕<]）的部分图象如图所示.

（I）求/（x）的解析式.

（2）写出了⑺的递增区间.

17.已知tan[?+a)=g.

(I)求tana的值；

sin(2a+2^-)-sin2|-aI

(II)求''(2J的值.

l-cos(^-2a)+sin2a

18.己知函数/(x)=cosxsin(x+mj-Gcos2x+-^,xeR.

(1)求函数“X)的最大值；

(2)求函数/(x)的图象在y轴右侧第二个最高点的坐标.

19.已知/(x)=sin^x+yjcosx+—sin^2x+yj--^-.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若-+3)22对任意的工£U恒成立，求。的取值范围.

126；1212；|_43」

设/(1)=〃2cos|2x--j+w-l(mwO).

20.

(1)若加=2,求函数/(x)的零点;

jr

(2)当xe0,-时，-34〃x)44恒成立，求实数7的取值范围.

21.已知函数/(%)=2sinxcosx+2cos2x(xeR).

(1)求/(x)的最小正周期，并求.”X)的最小值及取得最小值时I的集合;

TT7T

(2)令g(x)"[x+^jT若g⑺<“-2对于xe-亨§恒成立,求实数"的取值范围.

22.已知函数〃x)=Asin(ox+e)(A>0,。>0,|同的图象在V轴右侧的第一个最高点

rr

和第一个最低点的坐标分别为（%,2）和（与+兀,-2）.若将函数〃x）的图象向左平移三个单

位长度后得到的图象关于原点对称.

（1）求函数〃x）的解析式；

（2）若函数y=〃履）+1仅＞0）的周期为争，当xe0,y时，方程"）+1=加恰有两个

不同的解，求实数十的取值范围.

参考答案

1.B

【分析】

由P所在的象限有tan。vO,cosavO,即可判断a所在的象限.

【详解】

点户"ana,cosa)在第三象限，

/.tana<0,cosa<0,则角a在第二象限

故选：B

2.D

【分析】

根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.

【详解】

cos2x=2cos2x—1=2x(—|-1=—.

⑷8

故选：D

【点睛】

本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.

3.B

【分析】

把已知条件展开联立方程组即可得到.

【详解】

由cos(a+尸)=cosacos一sinasin力，

cos(a-/)=cosacos/+sinasin/3,

13

联立方程组，可得cosacos/?=1,sinasin£=-历，

sinasin83

又由tana.tan0n=--------------=--,

cosacosp5

故选：B.

【点晴】

此题考两角和与差的三角函数公式，属于简单题.

4.A

【分析】

根据判断角的范围，利用平方关系可得sin2。，然后对sina-cosa先平方在开方，可得结果.

【详解】

由。为第二象限角，又cos2c=-无，可知2a为第三象限角，

3

sin2a=-Jl-cos2a=一,

3

又sina>0,cosav0,

所以sina—cos2>0

故sina-cosa=J(sina-cosa)2

化简可得

sina-cosa=Jsin2a+cos2a—2sinacosa

所以

sina-cosa=-sin2a

故选：A

【点睛】

本题重在于考查二倍角的正弦、余弦公式，属基础题.

5.D

【分析】

利用任意角的三角函数定义列方程求解X,进而可得解.

【详解】

角a的终边经过点尸(X,-3),

3-33

由tana=一；,可得一=一一,所以x=4.

4X4

44

所以后百15-

故选D.

【点睛】

本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题.

6.A

【分析】

利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解.

【详解】

47r47r4

因函数y=3cos（2x+0）的图象关于点（力-,0）对称，则有2・彳+。="+eZ,

Tt7T

于是得8="-2）乃-一,keZ,显然9=（k-2）乃--对于女wZ是递增的，

66

而欠=2时，e=-g，1^1=—,当％=3时，=—,|夕|=区，

6666

所以I研的最小值为二

O

故选：A

7.A

【分析】

根据sin（”j=；,利用诱导公式得到cos（2+a）,再由3e+2夕卜0$（2（。+4）,

利用二倍角公式求解.

【详解】

因为"卜卜喉卡+“H，

所以cos（?+a）=g,

所以cos（与+2a）=cos（2（g+a））=2cos2（g+a）—l=-3,

故选：A

8.D

【分析】

TT

根据图象得到函数/（X）解析式，将函数/（X）的图象向左平移1个单位长度后得到y=g（x）

的图象，可得y=g5）解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对

选项中的结论判断，从而可得结论.

【详解】

由图象可知

3T32457r（九、3冗

A=3,VZTFKH，

co=29

则/(x)=3sin(2x+cp}.

将点(葛,3)的坐标代入/(x)=3sin(2x+e)中,

整理得sin(2x*g)=l,

.c57_.7t.r

••2x---(p—2k兀4—,kwZ,

122

即9=2bF—：71,%EZ；

,,71

⑼<3,

・7t

・・9=一§，

/./(x)=3sin(2x-g).

•.•将函数/(x)的图象向左平移彳个单位长度后得到y=g(x)的图象,

/.g(x)=3sin^2^x+y^j—y=3sin^2x+y^,xeR.

g(-x)=3sin(-2x+；)=_3sin(2x-*-g(x),

Ag(x)既不是奇函数也不是偶函数，

故A错误；

Ag（x）的最小正周期T===乃，

2

故B不正确.

^-2x+---+kn,k&Z,

32

解得X=—rr+Jk7kTeZ,

122

则函数g（x）图像的对称轴为直线X=—-rr+Lk71,AwZ.

122

故C错误；

由轰©x+工2k7r+-,k&Z,

232

可得br-2知kbr+工，ZeZ,

1212

函数g（x）的单调递增区间为k兀一造，kn+三JeZ.

故D正确;

故选：D.

【点睛】

关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小

正周期与对称轴是解决本题的关键.

9.AD

【分析】

分析可知函数“X)图象的一条对称轴为直线X==,进而可求得结果.

6

【详解】

因为/+则函数“X)图象的一条对称轴为直线》=看，

因此，/闺=±3.

故选：AD.

10.AD

【分析】

函数1x)=cos(2x+V)的图象向左平移£个单位长度后得函数g(x)的解析式，从而可求出它的

最小正周期、对称轴等.

【详解】

函数段)=cos(2x+看)的图象向左平移£个单位长度后得

"8

v(x)=cos2)x+—]+—=cos2x+—

L(8)12」I3最小正周期为兀，A正确;

TT

'：2k兀<2x+—<7r+2k兀(keZ)

+为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为故B错;

63L63」

令21+工=女乃，得工=一/+号肛&eZ,故C错；

362

'1'XG[-F，T]>2.^+—e0,--,cos(2x+--)e--,1,故D对

663[_3J5L2_

故选：AD

11.ABD

【分析】

逐个选项进行验证，结合正切型函数的性质进行判断可得.

【详解】

对于选项A,xe信万)时，》+枭与引，此时/。)=tan[x+?)为增函数；

对于选项B,/(%)=tan[的最小正周期为7=氤兀；

对于选项C,因为/(0)=百,/(。=-6,/(0)4/(1),所以图象不是关于直线x=5成轴

336

对称；

对于选项D,令喈=与，­，得》与g，令k=l得x=g所以图象关于点传，。)

成中心对称.

故选：ABD.

【点睛】

本题主要考查正切型函数的性质，熟记性质的求解方法是解决本题的关键.侧重考查逻辑推

理的核心素养.

12.

4

【分析】

利用商数关系，由tana=1得到sina=cosa代入2cosa+sina求解

cosa+3sina

【详解】

sina1.ril2cosa+sina2cosa+cosa3

方法一：tana=------=l=>sina=cosa,则cosa+3sina=cosa+3cosa

cosa4

方法二：分子分母同除cosa,得「也"："!!。2+tana_2+1_3

cosa+3sinal+3tana1+34

3

故答案为：-

【点睛】

本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

兀7T

13.—(2br+—均可)

22

【分析】

根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得“x)=Jcos2g+(sin夕+1)2sin(x+6),可得

、cos%+(sin*+l)2=2.即可解出.

【详解】

因为/(x)=cos^sinx+(sin^+l)cosx=-^cos2^+(sin^+l)"sin(x+0),

所以Jcos2/+(sing+l)2=2,解得sin*=l,故可取e=5.

JTTT

故答案为：-(2k7T+巴,kwZ均可).

22

【点睛】

本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数

学运算能力，属于基础题.

nnn3兀

14.o—

24」144」

【分析】

由函数/(x)=sin2jJ-c；2x,根据/a)*,得到cos2x40,再由xe餐,得到

2xe[-乃,2句，结合余弦函数的性质，即可求解.

【详解】

由题意，函数/(xhsin。」c;2.i,

又由即^~cos21i,即cos2x40,

因为_与兀,贝|J2x£[-乃,21],

所以一乃王或工《2x(四，BP--<x<--sg-<x<—,

2222444

7TITTT

所以实数I的取值范围为-7,-7u7，丁.

24」|_44_

故答案为：-

24」144_

【点睛】

本题主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟练应用余弦函数的

性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15.(3)

【分析】

(1)根据N=tanx在第一象限内的图象可得单调区间，知(1)错误；

(2)由三角形大边对大角和正弦定理可证得应为充要条件，知(2)错误；

TTTT

(3)将工=二代入，利用整体对应的方式可求得9="+:，即知为充要条件，(3)正确；

66

(4)利用。范围确定2c的范围，可得sin2a,cos2a的符号；利用

Jl+sin2a—Jl—sin2a=—Jl+sin2a—Jl-sin,结合同角三角函数关系和二倍角公

式化简，根据cosaW0可化简得到Jl+sin2a-Jl-sin2a=2cosa，知(4)错误.

【详解】

(1)、=tanx在第一象限中的单调区间为：，巴+5),ksZ；并非在第一象限内是增

函数，(1)错误；

(2)在A48C中，若A>8，则a>。，由正弦定理知：sinA>sinB,充分性成立；

若sinA>sin3,由正弦定理知a>匕，则A>8,必要性成立；

可知在AABC中，“A>3”是“sinA>sin8”的充要条件，(2)错误；

(3)y=cos(2x+e)关于点信,。)对称<=>g+e=A%+5，keZ

71,

=(p=k兀+—,keZ,(3)正确；

6

,、、,，7i37rt-3乃

(4)当aw—时，2aw^r,—「.sin2a<0,cos2a<0

_24JL2,

Jl+sin2a<Jl-sin2a

/.Jl+sin2a—sin2a=-"+sin2a—Jl-sin2a)=—^2—2A/1—sin22a

=->/2+2cos2a=-^2(1+cos2a)=-J4cos2a

又8saW0「.Jl+sin2a-Jl-sin2a=2cosa,(4)错误.

真命题为(3)

故答案为(3)

【点睛】

本题是对三角函数、三角恒等变换和解三角形知识的综合考查，涉及到三角函数单调区间和

对称中心的求解、正弦定理的应用、同角三角函数关系、三角关系式的化简、充分条件与必

要条件等知识.

16.(1)/(x)=>/2sin?(2)[16^—6,16k+2],keZ.

【分析】

(1)由图可知A=7="=16,再将点(-2,0)代入得sin(-?+“=O,可得夕=；+豌，

ZeZ,从而可求出答案;

TTy?"TTTT

(2)解出一一+2k7r<-x+-<-+2k7r,%eZ即可得答案.

2842

【详解】

解：(1)易知4=T=4x[2—(―2)]=16,

.2乃71

・・0)=—=—,

T8

/(x)=&sin[*x+e),

将点(-2,0)代入得sin(-?+，=O,

一乡+。=丘，keZ,

4

兀

•.(p=—+k7T,keZ,

••兀71

・——<(p<—

22f

/_、」兀/>I/)71712

(2)由---卜2卜兀S—xH—W—卜2k兀keZ,

2842

解得16后一64xV16A:+2,&eZ,

；•/(x)的递增区间为[16左一6,16左+2],keZ.

【点睛】

本题主要考查根据三角函数的图象确定解析式，考查三角函数的图象与性质，属于基础题.

17.(I)tan«=--；(II).

319

【详解】

试题分析：(I)用两角和的正切公式把tan[?+a)展开得到关于tana方程即可求得tana的

值；(2)先用诱导公式、二倍角公式把原式化简成关于角a正、余弦的齐次式，化切，代

入tana的值得解.

n

tan+tana

试题解析：解：(I)tan(f+a)=--------_14-tana

4.711-tan«2

1一tantana

4

解得强鲍尊=-

12*4

H)sin(2a+2TT)-sin(^-a)sin2a-cos2a

1-cos(^--2«)4-sin2al+cos2a+siifa

_2sincrcoscr-cos2a_2tana-115

2cos2a+sin2a2+tan2a19

考点：两角和的」E切公式，诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的基本关系式及三角函数

式的化简、求值.

【方法点晴】在给条件求值的问题中，应先通过待求值式子的形式判断条件的处理方法，本

题第(I)问中欲求tana的值，只需把条件tan(?+a)=g用两角和的正切公式展开即可

得到关于tana的方程，同时要注意角的范围对三角函数值的影响，这往往是一个易错点；

第(H)问中，应先用诱导公式、倍角公式及同角三角函数的基本关系式对待求值的式子进

行化简，建立其与tana的关系，这个过程中用到了齐次式化切这种常用的化简技巧.

18.(1)I；⑵(警,打

【分析】

(1)将函数解析式化简得〃x)=；sin(2x-9),则函数〃力的最大值为:；

(2)令2x-2=2版■+'伏©2),得》=履+普(ZeZ),当%>0时一，k±0,即当々=1时，工的值是

y轴右侧第二个最高点的横坐标，代入即可得y轴右侧第二个最高点的坐标.

【详解】

(1)由已知得/(x)=cosx・-1sinx+^V-3cosx一Geos2x+

4

石

1.V3

=—sinxcosx------cos2戈+T

22

石

=:sin2x--^-(l+cos2x)+4一

1.V3

=-sin29x------cos2ox

44

所以/(x)的最大值为

(2)令2%一《=2&4+］化£2),得1=觊+||伏£2),

当x>0时，ANO,

又♦:k^Z、

=i时，X=E+=是y轴右侧第二个最高点的横坐标，

12

令々=1,得人与，所以“X）的图象在y轴右侧第二个最高点的坐标是（詈1）•

【点睛】

本题考查了三角函数复合函数的化简和最值，若三角函数的性质不熟，亦可借助图像来理解.

本题属于基础题.

5.7T.I—

19.(1)一行乃+2乃,高+京)(Z：GZ)；(2)a>2V2+1-

【分析】

（1）根据两角和正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得/（x）=sin（2x+qj,令

2"-上IT42x+T上TW2%左+T々T,keZ,即可求得了（x）的单调递增区间.

232一

（2）根据（1）化简可得4%弋卜（；x+^）=asinx-cosx,则原题等价于

壮（甘）皿xe'W即可，利用二倍角公式，对葛詈化简变形，结合对勾函数

的性质，即可求得答案.

【详解】

(1,石］

（1）化简得了（幻cosx—sinx+——cosx+——sin2x+——cos2x

122)2224

6

l+cos2x1._v3,V3

=-sin2x+2一x--------1—sin2x4----cos2x----

42444

1.八

=—sin2x+2/23cos2x=sin2x+—\,

2I3j

77,7T717T

令2br——<2x+—<2k7r+—,keZ,解得攵乃一2—<x<k/r+——,keZ

2321212

5Jr

所以单调递增区间为-万"+及匹丘+0>kwZ.

(2)由(1)可得-/［；x+.)=asinx-cosxN2,

即“W2+cos对任意的成立，

sinx|_43_

一—一(2+cosx、

只需要。2——即可，

Isinx)mM

.XX_.XX

2sin—cos-2sin—cos—

.x

sin—

Ll、t冗兀rIX冗冗

令/=----=tan—，因为六“7'则5G

2

cos—x2

2

•「R

所以/=tan1^42-\y—,

3

匚a、12+cosx3+产3t

所以-------=-----=一+—,

sinxIt2t2

■ri

由对勾函数性质可得，当fe>/2-l,y-时，y=5+(为减函数,

2/2

31I=2x/2+1,

所以当f=>/2-1时,一+—

2t2max

所以。22〃+l・

【点睛】

解题的关键是熟练掌握恒等变换各个公式，并灵活应用，齐次式问题，需上下同除cos?；,

2

X

得到关于tane的方程，再结合对勾函数的性质，求解即可，综合性较强，属中档题.

2

20.(1)/(x)的零点是苫=船+'或x=E+次(ArwZ)；(2)[-l,O)ufo,1.

26I2_

【分析】

(1)求出“X)的具体表达式，令/(力=0即可求出函数的零点.

(2)分”>0,加<0两种情况进行讨论，分别求出函数的取值范围，结合-3«/(x)V4恒成立

可得关于实数俄的不等式，从而可求出实数"的取值范围.

【详解】

(1)由加=2=>/(x)=2cos(2x-1j+l,令/(x)=0,

则cos(2x-1)=-；,即2x-：=2far+■^或2x-：=2丘+g,eZ),

rrSjr

解得九=E+—或=>x=E+:—(%cZ),

26

••./("的零点是工=碗+[或了=配+学任€2).

26

(2)由04x44可得一色所以-：4cos(2x-1]41,

23332<3；

147

(1)当机>0时，易得了一14〃犬)42机—1,由-34/(x)44恒成立可得,

m

——1>-3

f(x).2—3〜5

n，，n

'r<4,即2机一144,解得

J⑴心-机>0

(2)当机＜0时,可得2加-1W/(x)4彳-1,由-34/(X)V4恒成立可得

2m—1>—3

tn

BP-y-l<4,解.得一IKMVO,

m<0

综上可得，加的取值范围是［-l,0)U(0，|.

【点睛】

本题考查了函数零点的求解，考查了三角函数最值的求解.本题的易错点是第二问中没对小

进行讨论.

.1的集合为1x|x=%r-弓(AeZ)

21.(1)最小正周期是左,最小值为1-&

(2)(2+V2,