沪教版六年级下册数学专题训练专题02运算能力之一元一次方程的应用综合专练(原卷版+解析)

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题02运算能力之一元一次方程的应用综合专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（）A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元2．一个底面半径为10cm、高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm3．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件.设原计划每小时生产个零件，则所列方程为()A． B．C． D．4．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木的长度，绳子还剩余尺．将绳子对折再量木的长度，木长还剩余1尺，问木长多少尺，现设木长x尺，则所列一元一次方程正确的是（）A． B．C． D．5．某学校组织师生去衢州市中小学素质教育实践学校研学．已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车．以下四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（）A． B．C． D．7．有一位工人师傅将底面直径是，高为的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是（）A． B． C． D．8．甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（）A．8天 B．5天 C．3天 D．2天9．如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（）A．AD B．DC C．BC D．AB二、填空题10．在学校的一次劳动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，后因劳动任务需要，需要另外调20人来支援，使在甲处的人数是在乙处人数的2倍，则应调往甲_____人．11．某产品的形状是长方体，长为8cm，它的展开图如图所示，则长方体的体积为_____cm3．12．若有，两个数满足关系式：，则称，为“共生数对”，记作.例如：当2，3满足时，则是“共生数对”.若是“共生数对”，则__________．13．若+1与互为相反数，则a＝_____．14．甲、乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的速度是_____千米/时．15．有一列数，按一定的规律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中第一个数是______．16．某学校8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队，每两队之间进行一场比赛），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜______场比赛．17．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有_______两．（注：明代时1斤=16两）18．某商场在“庆元旦”的活动中将某件服装打折销售，如果这件服装按标价的50%出售将亏30元，而按标价的80%出售将赚30元，则这件服装的进价是______元．19．如图，由3个相同的长方形和1个正方形组成的图形，其中长方形的长是宽的2倍，则正方形的周长为__________．三、解答题20．制作一张桌子，要用一个桌面和4条腿组成，木材可制作300条桌腿或可制作15个桌面，现有木材，应该用多少立方木材制作桌面，用多少立方木材制作桌腿，才能使桌腿和桌面配套？21．我国宋代著名科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载过有关古代行军后勤方面的情况，其大意为：每个民夫最多可以携带6斗（1斗＝10升）粮食；一个士兵除了武器装备外，最多可以携带10升粮食；每个士兵和民夫平均每天各消耗2升粮食．（1）如果每个士兵雇佣一个民夫随其行军，那么最多可以支持多少天的行军？（2）如果要维持25天的行军，每位士兵需要雇佣多少位民夫随其行军？22．某经销商计划找工厂代理加工一批果干，现有甲、乙两厂都想代理加工，已知甲厂每天加工果干80箱，乙厂每天加工果干120箱，且单独加工这批果干甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，该经销商需付甲、乙厂每天的费用分别为400元和600元，另外，每个工厂需要一名营养师进行技术指导，并由经销商提供每天100元的指导费．（1）分别求甲、乙两厂单独加工这批果干所需的时间；（2）经甲、乙两厂与经销商协调，现有三种代理加工方案．方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三：先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲厂停工，乙厂单独完成剩余部分，同时乙厂每天的生产速度提高25%（乙厂提速后，该经销商需付乙厂每天的费用涨到700元），且乙厂的全部工作时间比甲厂的2倍还多4天．①方案三中，甲厂加工了多少天？②请你通过计算帮该经销商选择一种既省时又省钱的代理加工方案．23．目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用23500元购进甲、乙两种节能灯共700个，这两种节能灯的进价、售价如下表：价格型号进价（元/个）售价（元/个）甲种2535乙种4560（1）求甲、乙两种节能灯各进多少个？（2）若甲、乙两种节能灯都按售价的八折出售，则全部售完700个节能灯后，该商场获利多少元？24．某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A，C两地的距离为10千米，求A，B两地的距离．25．如图，数轴上依次三点，，对应的数分别为，，，点为原点，其中，，现有一条线段在数轴上，点与点重合，当线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，记的中点为点，设线段运动的时间为秒．（1），；（2）当时，求的值；（3）当为何值时，点，，中有一个点可成为另外两个点所连线段的中点．26．某公司需要加工一批零件，甲每天可以加工16个零件，乙每天可以加工24个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天，甲每天的人工费为80元，乙每天的人工费为120元．（1）问这批零件共有多少个？（2）在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他15元补助费，现有三种加工方案：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么？27．某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：车型每车限载人数（人）租金（元/辆）商务车6300轿车4（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？28．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：（1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒；（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数．29．已知数轴上两点，对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．（1）若点到点、点的距离相等，则点对应的数是______．（2）数轴上存在点到点、点的距离之和为8，则______．（3）若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点与数______表示的点重合（用含代数式表示）；（4）若点从点出发沿数轴的正方向移动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为，在移动过程中，是否存在某一时刻，使得点到点距离等于点到点距离的2倍，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题02运算能力之一元一次方程的应用综合专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（）A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元【标准答案】C【思路指引】按照优惠条件第一次付80元时，所购买的物品价值不会超过100元，不享受优惠，因而第一次所购物品的价值就是80元；300元的9折是270元，8折是240元，因而第二次的付款252元所购买的商品价值可能超过300元，也可能超过100元而不超过300元，因而应分两种情况讨论．计算出两次购买物品的价值的和，按优惠条件计算出应付款数．【详解详析】（1）若第二次购物超过100元，但不超过300元，设此时所购物品价值为x元，则90%x=252，解得x=280两次所购物价值为80+280=360＞300所以享受8折优惠，因此王波应付360×80%=288（元）．（2）若第二次购物超过300元，设此时购物价值为y元，则80%y=252，解得y=315两次所购物价值为80+315=395，因此王波应付395×80%=316（元）故选C．【名师指路】能够分析出第二次购物可能有两种情况，进行讨论是解决本题的关键．2．一个底面半径为10cm、高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【标准答案】C【思路指引】通过理解题意可知本题的等量关系，即大杯的体积=12个小杯的体积，再利用圆柱体的体积公式列方程求解即可解答．【详解详析】解：设小杯的高为x，根据题意得：π×102×30=π×（10÷2）2•x×12解得：x=10则小杯的高为10cm．故选C．【名师指路】本题考查了圆柱面积公式的实际应用，准确理解题意找到等量关系式是解题的关键.3．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件.设原计划每小时生产个零件，则所列方程为()A． B．C． D．【标准答案】B【思路指引】实际生产12小时的零件比原计划13小时生产的零件多60件，根据生产总量=生产效率乘以时间即可列出方程【详解详析】实际生产12小时的零件数量是12（x+10）件，原计划13小时生产的零件数量是13x件，由此得到方程，故选：B.【名师指路】此题考查列方程解决实际问题，正确理解原计划与实际生产的工作量之间的关系是解题的关键.4．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木的长度，绳子还剩余尺．将绳子对折再量木的长度，木长还剩余1尺，问木长多少尺，现设木长x尺，则所列一元一次方程正确的是（）A． B．C． D．【标准答案】D【思路指引】根据两次不同的测量方式，用木长x尺，表示出绳长，由绳长相等列出方程．【详解详析】解：设木长x尺，用一根绳子去量一根木的长度，绳子还剩余尺，则绳长尺，将绳子对折再量木的长度，木长还剩余1尺，则绳长尺，列方程得：或．故选：D．【名师指路】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程．5．某学校组织师生去衢州市中小学素质教育实践学校研学．已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车．以下四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【标准答案】B【思路指引】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．【详解详析】解：根据总人数列方程，应是45m+15=50（m-1），根据客车数列方程，应该为：．①4；④，都正确，故选：B．【名师指路】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程．6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（）A． B．C． D．【标准答案】D【思路指引】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案【详解详析】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4设物价是钱，则根据可得：故选D．【名师指路】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．7．有一位工人师傅将底面直径是，高为的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】设“矮胖”形圆柱的高是xcm，根据形积问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解详析】解：设“矮胖”形圆柱的高是xcm，由题意，得π××80=π××x，解得：x=5．故选：C．【名师指路】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，形积问题的数量关系的运用，解答时由形积问题的数量关系建立方程是关键．8．甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（）A．8天 B．5天 C．3天 D．2天【标准答案】C【思路指引】设还需要x天完成，根据题意可得出：（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×时间+甲队先做5天的工作量=1，由此可列出方程求解．【详解详析】解：设还需要x天完成，依题意得：，解得：x=3，∴还需要3天完成，故选：C．【名师指路】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9．如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（）A．AD B．DC C．BC D．AB【标准答案】C【思路指引】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，第二次相遇地点，第三次相遇地点，第四册相遇地点，找出规律，发现四次一循环即可解答．【详解详析】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在CD边的中点相遇；③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边的中点相遇；④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边的中点相遇；⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇；……四次一个循环，因为，所以它们第2019次相遇在边BC中点上．故选择C．【名师指路】本题主要考查图形行程中的相遇问题应用题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．二、填空题10．在学校的一次劳动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，后因劳动任务需要，需要另外调20人来支援，使在甲处的人数是在乙处人数的2倍，则应调往甲_____人．【标准答案】17【思路指引】设调往甲处的人数为x，则调往乙处的人数为20-x，根据甲处的人数是在乙处人数的2倍列方程求解．【详解详析】设应调往甲处x人，依题意得：27+x=2（19+20-x），解得：x=17，∴20-x=3，答：应调往甲处17人，调往乙处3人．故答案是：17．【名师指路】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．11．某产品的形状是长方体，长为8cm，它的展开图如图所示，则长方体的体积为_____cm3．【标准答案】192【思路指引】根据已知图形得出长方体的高进而得出答案.【详解详析】解：设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（14-2x）cm，根据题意可得：14-2x+8+x+8=26，解得：x=4，所以长方体的高为4cm，宽为6cm，长为8cm，长方形的体积为：8×6×4=192（cm3）；故答案为：192【名师指路】本题考查几何体的展开图、一元一次方程的应用及几何体的体积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．若有，两个数满足关系式：，则称，为“共生数对”，记作.例如：当2，3满足时，则是“共生数对”.若是“共生数对”，则__________．【标准答案】【思路指引】根据共生数对的定义进行分析，列式，求解即可.【详解详析】由已知可得解得x=故答案为：【名师指路】考核知识点：解一元一次方程.理解题意是关键.13．若+1与互为相反数，则a＝_____．【标准答案】﹣1【思路指引】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【详解详析】根据题意得：去分母得：a+2+2a+1=0，移项合并得：3a=﹣3，解得：a=﹣1，故答案为：﹣1【名师指路】本题考查了解一元一次方程的应用、解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，是解题的关键，此外还需注意移项要变号．14．甲、乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的速度是_____千米/时．【标准答案】【思路指引】设这艘轮船在静水中速度是x千米/时，根据水流速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论．【详解详析】解：设这艘轮船在静水中速度是x千米/时，根据题意得：，解得：x=，故答案为：．【名师指路】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用是解题的关键．15．有一列数，按一定的规律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中第一个数是______．【标准答案】【思路指引】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是，可设三个数为n，-3n，9n，据题意列式即可求解．【详解详析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是，可设第一个数是n，则三个数为n，-3n，9n由题意：，解得：n=-81，故答案为：-81．【名师指路】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．16．某学校8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队，每两队之间进行一场比赛），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜______场比赛．【标准答案】4【详解详析】8个班进行友谊赛,也就是说每个班级要和其余7个班级比赛,根据总比赛场数为7,设赢了x场,则3x+(7－x)=15,解得x=4,故答案为:4.17．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有_______两．（注：明代时1斤=16两）【标准答案】46【思路指引】题目中分银子的人数和银子的总数不变，有两种分法，根据银子的总数一样建立等式，进行求解．【详解详析】解：设有人一起分银子，根据题意建立等式得，，解得：，银子共有：（两）故答案是：46．【名师指路】本题考查了一元一次方程在生活中的实际应用，解题的关键是：读懂题目意思，根据题目中的条件，建立等量关系．18．某商场在“庆元旦”的活动中将某件服装打折销售，如果这件服装按标价的50%出售将亏30元，而按标价的80%出售将赚30元，则这件服装的进价是______元．【标准答案】130【思路指引】设每件服装的标价是x元，根据该服装的进价不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解详析】解：设每件服装的标价是x元，依题意可得：0.5x+30=0.8x-30，解得：x=200，进价为：0.5×200+30=130（元）．故答案为：130．【名师指路】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．19．如图，由3个相同的长方形和1个正方形组成的图形，其中长方形的长是宽的2倍，则正方形的周长为__________．【标准答案】84【思路指引】设长方形的宽是x，列方程求出x的值，然后再求正方形的周长．【详解详析】解：设长方形的宽是x，则长是2x，由题意得x+7.5+2x=2x+16.5-x，解得x=4.5，∴正方形的边长为4.5+7.5+2×4.5=21，∴正方形的周长为4×21=84，故答案为：84．【名师指路】本题考查了一元一次方程的应用，根据正方形的边长相等列出方程是解答本题的关键．三、解答题20．制作一张桌子，要用一个桌面和4条腿组成，木材可制作300条桌腿或可制作15个桌面，现有木材，应该用多少立方木材制作桌面，用多少立方木材制作桌腿，才能使桌腿和桌面配套？【标准答案】应该用25立方木材制作桌面，用5立方木材制作桌腿【思路指引】设用x立方木材制作桌面，用立方木材制作桌腿，列方程求解．【详解详析】解：设用x立方木材制作桌面，用立方木材制作桌腿．依题意得：，解这个方程得，则，答：应该用25立方木材制作桌面，用5立方木材制作桌腿．【名师指路】此题考查了一元一次方程的实际应用—配套问题，掌握配套问题的解题方法及正确理解题意是解题的关键．21．我国宋代著名科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载过有关古代行军后勤方面的情况，其大意为：每个民夫最多可以携带6斗（1斗＝10升）粮食；一个士兵除了武器装备外，最多可以携带10升粮食；每个士兵和民夫平均每天各消耗2升粮食．（1）如果每个士兵雇佣一个民夫随其行军，那么最多可以支持多少天的行军？（2）如果要维持25天的行军，每位士兵需要雇佣多少位民夫随其行军？【标准答案】（1）17.5；（2）4【思路指引】（1）求出一个民夫和一个士兵最多携带粮食总量除以每天消耗的量即可得出结论；（2）设每位士兵需要雇佣x位民夫随其行军，根据携带的粮食总量等于消耗的粮食总量列等式，解出方程即可得出结论．【详解详析】解：（1）一个民夫最多携带粮食：6×10＝60（升），一个士兵最多携带粮食：10（升），一共最多可以携带的粮食：60+10＝70（升），70÷4＝17.5（天），答：最多可以支持17.5天的行军．（2）设每位士兵需要雇佣x位民夫随其行军，由题意：60x+10＝25×2（x+1）60x－50x＝50－1010x＝40x＝4答：要维持25天的行军，每位士兵需要雇佣4位民夫随其行军．【名师指路】本题考查了一元一次方程的实际运用，结合题意找出等量关系是解题的关键．22．某经销商计划找工厂代理加工一批果干，现有甲、乙两厂都想代理加工，已知甲厂每天加工果干80箱，乙厂每天加工果干120箱，且单独加工这批果干甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，该经销商需付甲、乙厂每天的费用分别为400元和600元，另外，每个工厂需要一名营养师进行技术指导，并由经销商提供每天100元的指导费．（1）分别求甲、乙两厂单独加工这批果干所需的时间；（2）经甲、乙两厂与经销商协调，现有三种代理加工方案．方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三：先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲厂停工，乙厂单独完成剩余部分，同时乙厂每天的生产速度提高25%（乙厂提速后，该经销商需付乙厂每天的费用涨到700元），且乙厂的全部工作时间比甲厂的2倍还多4天．①方案三中，甲厂加工了多少天？②请你通过计算帮该经销商选择一种既省时又省钱的代理加工方案．【标准答案】（1）甲厂单独加工这批果干需要60天，乙厂单独加工这批果干需要40天；（2）①甲厂加工了12天；②选方案三既省时又省钱【思路指引】（1）设甲厂单独加工这批果干需要x天，则乙厂单独加工这批果干需要（x-20）天，然后根据甲厂每天加工果干80箱，乙厂每天加工果干120箱，且单独加工这批果干甲厂比乙厂要多用20天，列出方程求解即可；（2）①先求出代理加工的这批果干共有60×80=4800（箱），设甲厂加工a天，则乙厂共加工（2a+4）天，然后根据先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲厂停工，乙厂单独完成剩余部分，同时乙厂每天的生产速度提高25%（乙厂提速后，该经销商需付乙厂每天的费用涨到700元），且乙厂的全部工作时间比甲厂的2倍还多4天，列出方程求解即可；②分别计算出三种方案的费用，然后比较即可得到答案．【详解详析】解：（1）设甲厂单独加工这批果干需要x天，则乙厂单独加工这批果干需要（x-20）天，根据题意80x=120（x-20），解得x=60，∴x-20=40，答：甲厂单独加工这批果干需要60天，乙厂单独加工这批果干需要40天；（2）①代理加工的这批果干共有60×80=4800（箱），设甲厂加工a天，则乙厂共加工（2a+4）天，根据题意得（80+120）a+120×（1+25%）（a+4）=4800，解得a=12，答：甲厂加工了12天；②方案一需要60天，费用为60×（400+100）=30000（元）；方案二需要40天，费用为40×（600+100）=28000（元）；方案三需要12×2+4=28天，费用为12×（400+100）+12×（600+100）+（28-12）×（700+100）=27200（元），∴选方案三既省时又省钱．【名师指路】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．23．目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用23500元购进甲、乙两种节能灯共700个，这两种节能灯的进价、售价如下表：价格型号进价（元/个）售价（元/个）甲种2535乙种4560（1）求甲、乙两种节能灯各进多少个？（2）若甲、乙两种节能灯都按售价的八折出售，则全部售完700个节能灯后，该商场获利多少元？【标准答案】（1）甲种节能灯购进400个，乙种节能灯购进300个；（2）2100元【思路指引】（1）设甲种节能灯购进x个，则乙种节能灯购进（700-x）个，根据商场用23500元购进甲、乙两种节能灯共700个列方程求解即可；（2）根据商场获利=售价-进价列式计算即可；【详解详析】解：（1）舍甲种节能灯购进x个，则乙种节能灯购进（700-x）个，根据题意；得25x+45（700-x）=23500;解得：x=400，则700-x=300，答：甲种节能灯购进400个，乙种节能灯购进300个；（2）该商场获利为：35×80%×400+60×80%×300-23500=2100元；答：全部售完700个节能灯后，该商场获利2100元．【名师指路】本题考查了一元一次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、列出符合题意的方程是解题关键．24．某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A，C两地的距离为10千米，求A，B两地的距离．【标准答案】A，B两地的距离为20km或km．【思路指引】此题的关键是公式：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，根据速度、时间、路程之间的关系，列式计算即可解答．【详解详析】解：设A、B两地之间的距离为x千米，若C在A的上游时：，解得x=；若C在A，B之间时：，解得x=20答：A、B两地的距离为20千米或千米．【名师指路】本题考查了一元一次方程的应用-行程问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确对三地的位置关系进行分类，是解决本题的关键．25．如图，数轴上依次三点，，对应的数分别为，，，点为原点，其中，，现有一条线段在数轴上，点与点重合，当线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，记的中点为点，设线段运动的时间为秒．（1），；（2）当时，求的值；（3）当为何值时，点，，中有一个点可成为另外两个点所连线段的中点．【标准答案】（1）b=18，c=2；（2）PB-PC=8（3）当t=，t=或t=时，点P，N，C中有一个点可成为另外两个点所连线段的中点．【思路指引】（1）根据，可求出b、c的值；（2）先表示出6秒后点P表示的数，然后可求的值；（3）分三种情况求解即可；【详解详析】解：（1）∵，，∴c=-14+16=2，b=2+16=18，故答案为：18，2；（2）∵线段MN以每秒3个单位长度的速度运动，∴中点P的运动速度也是每秒3个单位长度，∵，的中点为点，∴MP=PN=2，∵点与点重合，∴M表示的数是-14，P表示的数是-14+2=-12，N表示的数是-14+4=-10，∴t秒后点P所表示的数是-12+3t当t=6秒时，点P所表示的数是6，∴PB=18-6=12，PC=6-2=4，∴PB-PC=12-4=8；（3）由题意可知：点P，点N的运动速度是每秒3个单位长度，∴点P，点N所表示的数分别为-12+3t，-10+3t，当点N是线段PC的中点时，-10+3t=0，t=；当点C是线段PN的中点时，-12+3t=1，t=；当点P是线段CN的中点时，-12+3t=4，t=；∴当t=，t=或t=时，点P，N，C中有一个点可成为另外两个点所连线段的中点.【名师指路】本题考查了数轴上两点间的距离，与线段的中点有关的计算，以及数形结合的数学思想，分三种情况讨论是解（3）的关键.26．某公司需要加工一批零件，甲每天可以加工16个零件，乙每天可以加工24个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天，甲每天的人工费为80元，乙每天的人工费为120元．（1）问这批零件共有多少个？（2）在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他15元补助费，现有三种加工方案：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么？【标准答案】（1）这批零件共有960个；（2）方案③最省钱，理由见解析．【思路指引】（1）设乙单独加工这批零件用天，则甲单独加工这批零件用天，由题意得出等量关系：甲加工的总零件数=乙加工的总零件数，列出方程求解，继而算出共有多少个零件．（2）分三种情况讨论：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，分别比较三种情况下所耗费用，找出最省钱的方案．【详解详析】（1）设乙单独加工这批零件用天，则甲单独加工这批零件用天，依题意得：解得：答：这批零件共有960个．（2）方案③最省钱，理由如下：方案①所需费用：（元）方案②所需费用：（元）方案③所需工作天数为：天所需费用为：元所以选择方案③最省钱．【名师指路】本题的关键在于理解题意，找出等量关系列出方程，对于选择最佳方案的问题，应将所有方案列出来，再找出符合题意的那一个即可．27．某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：车型每车限载人数（人）租金（元/辆）商务车6300轿车4（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？【标准答案】（1）租用一辆轿车的租金为元．（2）租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．【思路指引】（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可．（2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题．【详解详析】解：（1）设租用一辆轿车的租金为元．由题意得：．解得，答：租用一辆轿车的租金为元．（2）方法1：①若只租用商务车，∵，∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）；②若只租用轿车，∵，∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）；③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．由题意，得由，得，∴，∵，∴，∴，且为整数，∵随的增大而减小，∴当时，有最小值，此时，综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．由题意，得由，得，∴，∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）；租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）；租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）；租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）；租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金为（元）；租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）；由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆，此时所付租金最少，为元．【名师指路】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题．28．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：（1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒；（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数．【标准答案】（1）15；（2）或；（3）点P表示的数为18，点Q表示的数为18．【思路指引】（1）根据AB、BC、CD三段的路程及速度即可得；