第七章　§7.6　空间向量的概念与运算-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§7.6空间向量的概念与运算课标要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量长度相等而方向相反的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0常用结论1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(×)(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．(√)(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(×)2．(选择性必修第一册P12T3改编)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(C1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案C解析eq\o(C1M,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c.3．(选择性必修第一册P30例3改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能确定答案B解析以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2a,3)，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，a))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2a,3)))，又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a,0)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up6(→)).因为eq\o(C1D1,\s\up6(→))是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.4．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.答案10解析∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.题型一空间向量的线性运算例1(1)(2023·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于()A．2B．3C．4D．5答案D解析由已知可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－1，－2，y＋4)．因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝λ，,－2＝－λ，,y＋4＝3λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,x＝3，,y＝2，))所以x＋y＝5.(2)(2023·淮安模拟)在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DB,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,4)c B.eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,4)a＋b＋eq\f(1,4)c D.eq\f(1,2)a－b＋c答案A解析根据题意可得eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋c)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(a＋c)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝－eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,4)(a＋c)＝eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,4)c.思维升华用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．跟踪训练1(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)答案B解析由b＝eq\f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，则eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________.答案①eq\o(A1A,\s\up6(→))②eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))解析①eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).②因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).题型二空间向量基本定理及其应用例2(1)下列命题正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc答案C解析若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a,c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a,c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误．(2)(多选)下列说法中正确的是()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CDC．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面D．若P，A，B，C为空间四点，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件答案CD解析由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，因为eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))，即eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．思维升华应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))跟踪训练2(1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若eq\o(BD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，则λ等于()A．2B．－2C．1D．－1答案B解析eq\o(BD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，整理得eq\o(PD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－3eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.(2)(2024·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足eq\o(DE,\s\up6(→))＝xeq\o(DA,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(DD1,\s\up6(→))，则|eq\o(DE,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)答案C解析因为eq\o(DE,\s\up6(→))＝xeq\o(DA,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(DD1,\s\up6(→))，由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以|eq\o(DE,\s\up6(→))|的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为eq\r(2)的等边三角形，则＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×sin

eq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，S△ACD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，由等体积法得＝，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1，解得d＝eq\f(\r(3),3)，所以|eq\o(DE,\s\up6(→))|的最小值为eq\f(\r(3),3).题型三空间向量数量积及其应用例3如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1⊥BD.(1)解设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝|a＋b＋c|＝eq\r(a＋b＋c2)＝eq\r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c)＝eq\r(1＋1＋4＋0－2－2)＝eq\r(2)，所以线段AC1的长为eq\r(2).(2)解因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝b－c，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2，|eq\o(A1D,\s\up6(→))|＝|b－c|＝eq\r(b－c2)＝eq\r(|b|2＋|c|2－2b·c)＝eq\r(1＋4＋2)＝eq\r(7)，设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AC1,\s\up6(→))·\o(A1D,\s\up6(→))|,|\o(AC1,\s\up6(→))||\o(A1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(|－2|,\r(2)×\r(7))＝eq\f(\r(14),7)，即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为eq\f(\r(14),7).(3)证明由①知eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，所以eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，所以AA1⊥BD.思维升华空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．跟踪训练3(1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))等于()A.eq\f(5,9)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(4\r(2),3)D.eq\f(8,3)答案D解析∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AO，∴eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·sin60°＝eq\f(2\r(3),3)，故eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AP,\s\up6(→))|2－|eq\o(AO,\s\up6(→))|2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).(2)已知点P为棱长等于1的正方体ABCD－A1B1C1D1内部一动点，且|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(PC1,\s\up6(→))·eq\o(PD1,\s\up6(→))的值达到最小时，eq\o(PC1,\s\up6(→))与eq\o(PD1,\s\up6(→))夹角的余弦值为________．答案0解析取线段C1D1的中点E，则eq\o(PC1,\s\up6(→))＝eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EC1,\s\up6(→))，eq\o(PD1,\s\up6(→))＝eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(ED1,\s\up6(→))＝eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(EC1,\s\up6(→))，因为|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝1，所以点P在以A为球心的正方体内部的球面上，所以eq\o(PC1,\s\up6(→))·eq\o(PD1,\s\up6(→))＝(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EC1,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(EC1,\s\up6(→)))＝eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\o(EC\o\al(2,1),\s\up6(→))＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)，当A，P，E三点共线时，eq\o(PC1,\s\up6(→))·eq\o(PD1,\s\up6(→))取最小值，此时|eq\o(PE,\s\up6(→))|min＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|－1＝eq\r(12＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)－1＝eq\f(1,2)，此时eq\o(PC1,\s\up6(→))·eq\o(PD1,\s\up6(→))＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)＝0，所以eq\o(PC1,\s\up6(→))⊥eq\o(PD1,\s\up6(→))，所以eq\o(PC1,\s\up6(→))与eq\o(PD1,\s\up6(→))的夹角为90°，则夹角的余弦值为0.题型四向量法证明平行、垂直例4如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．(1)证明以A为原点，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，0))，B1(a,0,1)．故eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，1，－1)).因为eq\o(B1E,\s\up6(→))·eq\o(AD1,\s\up6(→))＝－eq\f(a,2)×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以eq\o(B1E,\s\up6(→))⊥eq\o(AD1,\s\up6(→))，即B1E⊥AD1.(2)解存在满足要求的点P.假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0，－1，z0)，设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(a,0,1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，0)).则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋z＝0，,\f(ax,2)＋y＝0，))取x＝1，则y＝－eq\f(a,2)，z＝－a，故n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(a,2)，－a)).要使DP∥平面B1AE，只需n⊥eq\o(DP,\s\up6(→))，则eq\f(a,2)－az0＝0，解得z0＝eq\f(1,2)，所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝eq\f(1,2).思维升华(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．跟踪训练4如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，PB⊥AC.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求eq\f(PQ,QD)的值；若不存在，说明理由．(1)证明在△ABC中，因为BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB，又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)解假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(－2,2eq\r(3)，0)，P(1,0，eq\r(3))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2,2eq\r(3)，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2eq\r(3)，0)，eq\o(DP,\s\up6(→))＝(3，－2eq\r(3)，eq\r(3))，设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AD,\s\up6(→))＝－2x1＋2\r(3)y1＝0，,n1·\o(AP,\s\up6(→))＝x1＋\r(3)z1＝0，))取n1＝(eq\r(3)，1，－1)．设eq\o(DQ,\s\up6(→))＝λeq\o(DP,\s\up6(→))，其中0≤λ≤1.则eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DQ,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋λeq\o(DP,\s\up6(→))＝(3λ－4，2eq\r(3)－2eq\r(3)λ，eq\r(3)λ)，连接EF，因为AC∥平面BEQF，AC⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF，所以AC∥EF.取与eq\o(EF,\s\up6(→))同向的单位向量j＝(0,1,0)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEQF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·j＝y2＝0，,n2·\o(BQ,\s\up6(→))＝3λ－4x2＋2\r(3)1－λy2＋\r(3)λz2＝0，))取n2＝(eq\r(3)λ，0,4－3λ)．由平面BEQF⊥平面PAD知n1⊥n2，则n1·n2＝3λ＋3λ－4＝0，解得λ＝eq\f(2,3).故在侧棱PD上存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD，eq\f(PQ,QD)＝eq\f(1,2).课时精练一、单项选择题1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于()A．－6B．6C．－4D．4答案D解析若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．1 B．2C．3 D.eq\f(\r(6),3)答案A解析由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，所以eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋0＝1.3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))答案B解析对于选项A，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝5，所以eq\o(PA,\s\up6(→))与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－4，\f(1,2)))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝0，故B正确．4.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝eq\r(2)，AC＝1，BD＝2，则CD的长为()A．2B．3C．2eq\r(3)D．4答案B解析∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BD,\s\up6(→))2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))，∵eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos(180°－120°)＝1×2×eq\f(1,2)＝1.∴eq\o(CD,\s\up6(→))2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝3.5．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D答案A解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(EB1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－2,2,0)．设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(EF,\s\up6(→))＝－x1＋y1＝0，,m·\o(EB1,\s\up6(→))＝y1＋2z1＝0，))可取m＝(2,2，－1)，同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一个法向量为n2＝(1,1,0)，平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1,1，－1)，则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误．6．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案C解析由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，设F(t,0,0)，0<t<4，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(0<λ<1)，则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(4，－4,2)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝(4λ，－4,0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(4,4，－4)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝(4,0，－2)，设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝4x－4y＋2z＝0，,n·\o(DF,\s\up6(→))＝4λx－4y＝0，))取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(PC,\s\up6(→))＝4a＋4b－4c＝0，,m·\o(PE,\s\up6(→))＝4a－2c＝0，))取a＝1，得m＝(1,1,2)，∵平面DEF⊥平面PCE，∴m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,5).二、多项选择题7．下列关于空间向量的命题中，正确的有()A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥bB．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥cC．若{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}是空间的一个基底，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共面D．若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，则{a，b，c}也是空间的一个基底答案ACD解析对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确；对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；对于C，若{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}是空间的一个基底，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得A，B，C，D四点共面，故C正确；对于D，若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，则对空间中任意一个向量d，存在唯一实数组(x，y，z),使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，则{a，b，c}也是空间的一个基底，故D正确．8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为正方形A1B1C1D1的中心，E，F分别为AB，BB1的中点，下列结论正确的是()A．C1D∥平面EFGB.eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(D1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))C.eq\o(GF,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝0D．A1C⊥平面EFG答案AC解析建立如图所示的空间直角坐标系，因为E是棱AB的中点，F是棱BB1的中点，G是正方形A1B1C1D1的中心，设正方体的棱长为1，可得A(0,0,0)，A1(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，D1(0,1,1)，B1(1,0,1)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y＋z＝0，,\f(1,2)x＋\f(1,2)z＝0，))令x＝1，∴n＝(1,2，－1)，∵eq\o(C1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(C1D,\s\up6(→))·n＝(－1)×1＋0×2＋(－1)×(－1)＝0，C1D⊄平面EFG，∴C1D∥平面EFG，故A选项正确；∵eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(A1C,\s\up6(→))与n不平行，∴A1C不与平面EFG垂直，故D选项错误；∵eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，－\f(1,2)))，∴eq\o(GF,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，故C选项正确；∵eq\o(D1B1,\s\up6(→))＝(1，－1,0)，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝(0,0，－1)，eq\o(D1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)，∴eq\o(GF,\s\up6(→))≠eq\o(D1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))，故B选项错误．三、填空题9．已知向量a＝(1,1,0)，则与a同向共线的单位向量e＝________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))解析因为向量a＝(1,1,0)，所以|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，所以与a同向共线的单位向量为e＝eq\f(a,|a|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0)).10．(2023·徐州模拟)在空间直角坐标系中，已知A(1,1,0)，B(－1,0,2)，点C满足eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，则点C的坐标为________．答案(－5，－2,6)解析设C(x，y，z)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－1，y－1，z)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－6，－3,6)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－6，,y－1＝－3，,z＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2，,z＝6.))故点C的坐标为(－5，－2,6)．11．(2023·信阳模拟)在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，BC的中点为M，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则eq\o(B1M,\s\up6(→))可用a，b，c表示为________________．答案－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c解析eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1C1,\s\up6(→))－eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.12.如图，已知正三棱锥P－ABC的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面α，交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点．则eq\f(1,PS)＋eq\f(1,PM)＋eq\f(1,PN)＝________.答案eq\f(3,l)解析如图，设BC的中点为E，连接AE，PE，PO，则O在AE上且AO＝2OE，所以eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))．故eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(PA,3PM)eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\f(PB,3PN)eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\f(PC,3PS)eq\o(PS,\s\up6(→))，由于S，M，N，O四点共面，于是eq\f(PA,3PM)＋eq\f(PB,3PN)＋eq\f(PC,3PS)＝1，因此eq\f(1,PM)＋eq\f(1,PN)＋eq\f(1,PS)＝eq\f(3,l).四、解答题13.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.证明(1)∵E，H分别是线段PA，AB的中点，∴PB∥EH.∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq\o(AH,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，∴eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AH,\s\up6(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴eq\o(PD,\s\up6(→))⊥eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(PD,\s\up6(→))⊥eq\o(AH,\s\up6(→))，∴PD⊥AF，PD⊥AH.∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.14.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长均为eq\r(2)，底面ABCD为正方形，∠A1AB＝∠A1AD＝eq\f(π,3)，点E为BB1的中点，点F为CC1的中点，动点P在平面ABCD内．(1)若O为AC的中点，求证：A1O⊥AO；(2)若FP∥平面D1AE，求线段CP长度的最小值．(1)证明由已知AB＝A1A＝AD＝eq\r(2)，∠A1AD＝eq\f(π,3)，∠A1AB＝eq\f(π,3)，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos

eq\f(π,3)＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos

eq\f(π,3)＝1，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，因为O为AC的中点，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(A1O,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝(eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))－\o(AA1,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)＋0＋0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，所以eq\o(A1O,\s\up6(→))⊥eq\o(AO,\s\up6(→))，所以A1O⊥AO.(2)解连接A1D，A1B，因为A1A＝AD＝eq\r(2)，∠A1AD＝eq\f(π,3)，所以A1D＝eq\r(2)，因为A1A＝AB＝eq\r(2)，∠A1AB＝eq\f(π,3)，所以A1B＝eq\r(2)，连接BD，由正方形的性质可得B，O，D三点共线，O为BD的中点，所以A1O⊥BD，由(1)可知A1O⊥AO，AO，BD⊂平面ABCD，AO∩BD＝O，所以A1O⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(－2，－1,1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\r