高中数学必修1练习题集

1.1.3集合的基本运算

例1设集合A={x|-l<x<2},集合B={x门VxW3},求AUB.

例2A={x|T<xW4},B={xI2Vx<5},求AflB.

例4不等式组的解为A,U=R,试求A及C〃A,并把它们分别表示在数轴上。

题型三集合的交集运算

例3若集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={xIx2-5x+6=0},C={x|x2+2x

-8=0},求a的值使得0g(AfiB)与AfiC=0同时成立。

题型四集合的补集运算

例5设全集U={1,2,X2-2},A={1,X},求C^A

例6设全集U为R,A={xIx2-x-2=0},B={xI|x|=y+1,yeA),求C°B

题型五集合运算性质的简单应用

例7已知集合A={xIx?+ax+12b=0}和B={xIx?-ax+b=0},满足(C。A)C|B=2,

An(C(7B)={4}>U=R,求实数a、b的值。

例8已知A={xIx2-px-2=0},B={xIx2+qx+r=0},且AUB={-2,1,5},A|"|B

={-2},求实数p、q、r的值。

数学思想方法

一、数形结合思想

例9(用数轴解题)已知全集U={xIxW4},集合A={xI-2<x<3},集合B={xI

-3<xW3},求C^A,ApB,Cu(AnB),(C(/A)nB

例10（用Venn图解题）设全集U和集合A、B、P满足A=C（,,B,8=（2/，则A与P

的关系是（）

A.A=Cu.PB.A=PC.Az-->--PD.Au----P

二、分类讨论思想

例11设集合A={|a+l|,3,5},集合B={2〃+1,a2+2a,a2+2a-l],当ACB={2,

3}时，求AUB

三、“正难则反”策略与“补集”思想

例12已知方程x?+ax+1=0,x2+2x-a=0,x2+2ax+2=0,若三个方程至少有一

个方程有实根，求实数a的取值范围。

四、方程思想

例13设集合A={x|x2+4x=0,xeR},B={xIx2+2(a+l)x+a2-1=0,x€R}>

若BqA,求实数a的值。

创新、拓展、实践

例14（实际应用题）在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，其中有15人

参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时

参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的

有多少人？只参加径赛的同学有多少人？

例15（开放探究题）定义集合A和B的运算为A*B={xIxeA且xeB},试写出含

有几何运算符号“*”、“U”、“n”，并对任意集合A和B都成立的一个式子

例16我们知道，如果集合AqU,那么U的子集A的补集为C°A={x|xeU,且xCA},

类似地，对于集合A、B,我们把集合{xIxeA,且xeB}叫做A与B的差集，记作A-B,

例如A={1,2,3,5,8},B={4,5,6,7,8},则A-B={1,2,3,},B-A={4,6,7}。

据此，回答以下问题：

（1）补集与差集有什么异同点？

⑵若U是高一⑴班全体同学的集合，A是高一⑴班全体女同学组成的集合，求U-A

及CQ

⑶在图1-1-24所示的各图中，用阴影

表示集合A-B

S1-1-24

⑷如果A-B=0,那么A与B之间具

有怎样的关系。

高考要点阐释

例1(2008•陕西高考)2,3,4,5),集合A={xIx?-3x+2=0},

B={x|x=2a,aeA）,则集合（AUB）中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

例2(2008•上海高考)若集合A={xIxW2},B={xIxea},满足AP|B={2},则实

数a=.

例3(2008•北京高考)已知集合A={xI-2WxW3},B={xIx<-l或x>4},则集合

A「B等于()

A.{x|x<3或x>4}B.{x|-1<x<3}C,{x|3<x<4}D.{x|-2<x<-l}

1.2函数及其表示

例1判断下列对应是否为函数

2

(l)x——，X#),xeR；(2)x->y,这里y?=x,xeN,yeR

X

2.1指数函数

例1求下列各式的值

⑴y（-2）3=（2）,（一2）4=（3）y（3-万）6=

(4)+2xy+/二

例2⑴把下列各式中的a写成分数指数塞的形式（a>0）；

①a5=256②a7=28③a-7=56④a-3n=35,w(m,HGN*)

3

⑵计算：①95

_3

②162

例4化简（式中字母都是正数）

⑴(x&y75)在

⑵(2x五+3y-6)(2x&-3y)

ii6

⑶4xc•3x百(-y'")•y3

例化简下列各式

-2-7-2-7

(小1)—工~+丁~T"-工~一~丁2

x3+y3x3-y3

41

排-8”b.Z1

⑵-1-------------(1233

a

a'+2>/ab+4加

典型例题

题型一、根式的性质

a2

例1求值(a>0).

&•

例2计算：⑴75-276+75+276

(2)^2+yj~5+^2--J~5

题型二、分数指数辱及运算性质

1.计算问题：例3计算：W/H疗疗

2.化简问题：例4化简下列各式：⑴后，+御宁庐十水声7?

⑵(xT+x+x°)(x5-尤“)

3.带附加条件的求值问题

例5已知a"a《=3,求下列各式的值:

⑴a+a-1

⑵a2+.a-2

33

⑶-r

-。5

数学思想方法

一、化归与转化思想

例6化简:(a>0,b>0).

二、整体代换思想

例7⑴已知2，+2-,=。（常数），求8,+8r的值。

।।

(2)已知x+y=12,xy=9,且x<y,求一j-彳的值。

—十/

创新、拓展、实践

1.数学与科技

例8已知某两星球间的距离d[=3.12X1（）34千米，某两分子间的距离d?=3.12X10-32

米，请问两星球间距离是两分子间距离的多少倍？

2.创新应用题

例9已知a、b是方程x?-6x+4=0的两根，且a>b>0,求坦金的值。

Na+八

3.开放探究题

例10已知a>0,对于0养8,reN,,式子（、份）~（上）,能化为关于a的整数指

Va

数幕的可能情形有儿种？

高考要点阐释（写出解题的过程）

13[3_11

例1（2008•重庆文高考）若x>0,则（2x4+32）（2x4-32）-4xW・（x-）

I―-1-1

例2(上海高考)若X1、X2为方程2，=(/)，的两个实数解，则X1+X2=.

例3(北京高考改编)函数f(x)=a'(a>0,且存1)对于任意的实数x、y都有()

A.f(x,y)=f(x)•f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)

C.f(x+y)=f(x)•f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)

名师专家点穴

一、巧用公式

引入负指数器及分数指数幕后，初中的平方差、立方差、完全平方公式有了新的特征；如:

111I112

-

222-2-2-3一33-

a-+aa+2+a+bab+b

一(a

例1化简下列各式

」1

(1)(x-+X+1)(X-x^)

二、整体带入

1-1Y+-2—2

例2已知x2+x2=3求,、的值。

门+上5-3

例3计算(1+)(1+)…(1+-7-)(1+4)(1+!).

220482102424222

三、根式、小数化为指数累

,173----

例4计算(0.0081)4.口><(与ori•[81«25+(3巳)3]2

88

2.1.2指数函数及其性质

例1指出下列函数哪些是指数函数

(1)y=4'；(2)y=x4；(3)y=-4'；(4)y=(-4)x；(5)y=乃*;(6)y=4x2；

⑺y=x*；(8)y=(2a-1)'(a>；,且aW1)

例2比较下列各题中两个值的大小。

⑴1.72—5,1,73；(2)0.8,0.8-0-2；⑶1.7°3,0.931

例3求下列函数的定义域和值域:

⑶厂中F

(1)y-V1—2,；(2)y=2、T

教材问题探究

1.函数图像的变换

例1画出下列函数的图像，并说明他们是由函数f(x)=2,的图像经过怎样的变换得

到的。

(1)y=2X-1；⑵y=2"i；(3)y=23：(4)y=|2V-1|；

(5)y=-2V；(6)y=-2-x

2.图像变换的应用

例2设f(x)=|3X-1|,c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的

是()

A.3c<3fcB,3C>3&C.3,+3">2D.3C+30<2

探究学习

例3选取底数a(a>0,且aH1)的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出

相应的指数函数的图像.观察图像，你能发现他们有哪些共同特征？

典型例题精析

题型一指数函数的定义

例1函数丫=52+32+3)2*是指数函数，则2的值为

题型二指数函数的图像和性质

1.过定点问题

例2函数y=2"T+3恒过定点.

2.指数函数的单调性

例3讨论函数f(x)=(：)/3的单调性，并求其值域。

ax-1

例4已知函数f(x)=--------(a>1)

ax+1

(1)求该函数的值域；⑵证明f(x)是R上的增函数

3.指数函数的图像

例5若函数y=a*+b-1(a>0,且afl)的图象经过第一、三、四象限，则一定

有（）

A.a>l,且b<lB.O<a<l,且b<0

C.0<a<l,且b>0D.a>l,且b<l

变试训练1：当aWO时，函数y=ax+1）和丫=b"的图象只可能是下列中的（）

题型三指数函数图像和性质的综合应用

1.比较大小

例6右图是指数函数：①y=a"②y=b]③

④y=d*的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<c

C.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

2,解不等式

例7⑴解不等式rW2.

⑵已知年+4+2y>任+4+2厂，则X的取值范围是—

|2、-1（x40）,

⑶设函数f（x）=<1若f（x0）>l,则X。的取值范围是（）

[X，（XA0）,

变试训练2：设y「a3A+1=a,其中a>0,a¥l,确定x为何值时,

，y2

有：⑴；

yi=y2⑵Yi>y2-

3.定义域和值域

例8求下列函数的定义域与值域

।

(1)y=2与；(2)y=r

例3已知TWxW2,求函数f(x)=3+2•3田一9’的值域

4.指数方程

例10解方程：3X+2-32-X-80

例”若方程(“+cr+a=0有正数解，则实数a的取值范围是()

A.(-00,1)B.(-oo,2)C.(-3,-2)D.(-3,0)

5.单调性问题

例12已知a>0且aWl,讨论f(xhaT="?的单调性

例13设a>0,f(x)=幺+e在R匕满足f(-x)=f(x)。

aex

⑴求。的值⑵证明：f(x)在(0,+oo)上是增函数

6.奇偶性问题

(11A

例14已知函数f(x)=-----+—*x3.

(272；

⑴求f(x)的定义域

⑵讨论f（x）的奇偶性

(3)证明f(x)>0

题型四指数函数的实际应用

例15截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口平均增长率控制在

1%.那么经过20年后，我国人口约为多少？（精确到亿）

数学思想方法

一、数形结合思想

1.比较大小

例16比较3Ts和4f7

2.求参数的取值范围

例17关于x的方程（31=如土2有负根，求。的取值范围。

<4；5-«

3.研究函数的单调性

例18求函数y=71-2V+I+22V的单调区间

二、分类讨论思想

例19根据下列条件确定实数x的取值范围7H力(a>0且a#l)

三、函数与方程思想

例20已知x,yeR,且3*+5*>37+5-t,求证x+y>0.

创新、拓展、实践

1.数学与科技

例21家用电器（如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气中的臭氧层。臭氧含量

Q呈指数函数型变化，满足关系式Q=Q0e40025，，其中Q0是臭氧的初始量，t为时间。

⑴随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？

⑵多少年以后将会有一半的臭氧消失？

例22某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定

的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）

与时间t（小时）之间近似满足右图所示的曲线。

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；

⑵据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微

克时，治疗疾病有效。求服药一次治疗疾病有效的时间。

2.数学与生产

例23某工厂今年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3

万件，为了估测以后各月的产量，以这三个的月产量为依据，用一个函数模拟产品月产量y

（万件）与月份数x的关系，根据经验，模拟函数可以选用二次函数或丫=2放+。（其中a、

b、c为常数），已知4月份该产品产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较

好？并求此函数的解析式。

3.创新应用

4*

例24设f(x)=--------,若0<a<l,试求:

4*+2

(1)f(a)+f(l-a)的值

⑵

高中数学必修4

第一章三角函数

三角函数是中学数学的重要内容，还是学习解三角形、向量、立体几何中有关内容的

重要工具。

学法指导：1.要掌握三角函数中各个函数的基本概念，熟悉他们之间的内在联系。

2.在熟练掌握概念、公式的基础上，要不断总结解题规律，掌握变形方法

与技巧。