组合第五章 弯曲应力教材

第五章弯曲应力材料力学1§5–1引言§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力§5–3惯性矩与平行轴定理§5–4梁横截面上的剪应力§5–5梁的强度条件§5–6

梁的合理强度设计§5–7斜弯曲与弯拉(压)组合第五章弯曲应力2§5－１引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q

剪应力t弯矩M

正应力s3研究内容：正应力、切应力、强度计算以及梁的组合强度设计，同时还有双对称弯曲以及非对称弯曲，弯拉组合变形。4平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法纵向对称面P1P2例如：5

某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaABQMxx纯弯曲(PureBending):PPPa6§5－2平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：一、

纯弯曲时梁横截面上的正应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM7横截面上只有正应力。

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

（可由对称性及无限分割法证明）3.推论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。纵向对称面中性层中性轴89A1B1O1O4.几何方程：

abcdABdqrxy)))OO1)10

（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。sxsx（三）静力学关系：11（对称面）……(3)EIz杆的抗弯刚度。Iz截面对Z轴的惯性矩12（四）最大正应力：……(5)DdDd=abBhH13例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m11x+M1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩3014Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求应力1803015求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax121201803016例2外伸梁T形梁截面，用铸铁制成，试校核梁的强度。Cy2y12mq=10kN/mADBEP＝20kN2m2m17解：（1）梁的内力分析，找出危险截面q=10kN/mADBEP＝20kN5kN35kN包含反力的全部外载荷画弯矩图：可省去制表危险截面：

B,D？18（2）找出危险截面上的危险点危险点：a,b,dCy2y1ADBE10kN*m20kN*m(-)(+)B截面D截面压应力拉应力abed拉应力压应力19（3）计算危险点应力校核强度最大压应力：最大拉应力：梁的强度符合要求B截面D截面压应力拉应力abed拉应力压应力20§5－3惯性矩与平行轴定理上一节的分析表明，要计算梁弯曲的正应力与变形，必须知道截面的惯性矩。定义：是面积与它到轴的距离的平方之积。dAxyyx21一、简单截面的惯性矩1、矩形截面C形心轴22中性轴中性层矩形截面梁横截面上正应力分布232、圆形形截面CzzyddA由图中知圆形截面同理，对于空心截面24二、组合公式三、平行轴定理zz0yO对于组合形体，要计算对Z轴的惯性矩，需要计算各组成部分对自身形心轴Z0的惯性矩，两个轴往往不重合。25积分因此有平行轴定理：截面对任一坐标轴z的惯性矩，等于对其平行形心轴z0的惯性矩，加上截面面积与两轴间距离的平方的积。26例：宽度b=6mm，厚度

的钢带，环绕在直径的皮带轮上，已知钢带的弹性模量，试求钢带内最大弯曲正应力和弯矩。解：1.应力分析与皮带轮相贴部分钢带的曲率半径截面上矩中型轴最远的距离最大弯曲正应力2.内力分析27例：图示悬臂梁,自由端承受15kN作用，试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与压应力，已知：解：首先确定截面形心位置由组合形心计算公式：计算截面的惯性矩分别计算A1,A2对形心轴z的惯性矩(1)(2)28例：图示悬臂梁,自由端承受15kN作用，试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与压应力，已知：(1)(2)截面B的弯矩在截面的上下缘，存在最大拉应力与压应力29四.弯曲正应力公式的适用范围

公式适用于横截面具有对称轴的任何截面形状的梁（载荷作用于该对称面内）。纵向对称面305.，即公式仅适用于弹性范围。2.在横力弯曲时，梁横截面上既有正应力，又有切应力作用。此时梁的平面假设和单向拉压假设均不再成立，但当梁跨长与截面高度之比l／h＞5时（工程实际中的梁远大于5），切应力的存在对梁的正应力的分布影响极微，可忽略，因此可以足够精确地推广应用到横力弯曲（剪切弯曲）情况。3.公式适合于直梁，但可近似地用于小曲率（）梁。4.非对称截面梁弯曲中心开口薄壁杆件。31§5－4对称弯曲梁横截面上的剪应力一、

矩形截面梁横截面上的剪应力1、两点假设：

①剪应力与剪力平行；

②距中性轴等距离处，剪应力

相等。2、研究方法：分离体平衡。

①在梁上取微段如图b；

②在微段上取一块如图c，平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c32dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c由剪应力互等33称为截面对z轴的静矩剪应力分布静矩及剪应力分布34Qt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。矩形截面梁的弯曲切应力沿截面高度分布是不均匀的由剪切胡克定律，截面上切应变沿高度分布也不均匀，切应变在截面上分布不均匀的后果就是截面产生翘曲。二、截面翘曲35中性层分析表明，如果梁的长度l远大于其截面高度h，例如，，则公式仍然相当精确三、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b

为y点处截面宽度。362、几种常见截面的最大弯曲剪应力①工字钢截面：假设：腹板上各点的弯矩平行于腹板的侧边，并沿腹板厚度均匀分布翼缘上的切应力，基本沿翼缘侧边分布，其值远小于腹板的切应力37

①工字钢截面：;»maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。

铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力Af—腹板的面积。;»maxAQtf38

②圆截面：③薄壁圆环：④槽钢：exyzPQeQeh3940【解】由平衡条件求得

kN，kN

梁的剪力图和弯矩图分别如图b、c所示【例6-1】外伸梁受力如图a所示。梁由钢板焊接而成，截面尺寸如图d所示。已知，，试校核梁的强度，并求焊缝ab处的剪应力。(1)求支座反力并画内力图41kN·m，发生在B截面处kN，发生在B左截面处(2)计算截面的几何性质mm42(3)强度校核<=120正应力满足强度要求mm3<=60

剪应力亦满足强度要求43(4)焊缝ab处的剪应力在焊缝ab处将截面截为两部分，求出其中任一部分（例如左部分）对中性轴Z的静矩：mm3通过本例可以看出，梁的强度计算主要是满足正应力的强度条件，一般不用校核剪应力44例：如图示的矩形截面悬臂梁，承受集度为q的均布载荷作用。四、弯曲正应力与弯曲切应力的比较梁的最大剪力与最大弯矩分别为:45梁最大弯曲正应力为梁的最大弯曲切应力为二者的比值为当梁的跨度l远大于截面高度h时，正应力远大于切应力46§5-4

梁的正应力和剪应力强度条件•梁的合理截面1、危险面与危险点分析：①一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。QtsssMt一、梁的正应力和剪应力强度条件472、正应力和剪应力强度条件：②带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：sMQtts484、需要校核剪应力的几种特殊情况：②铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。①梁的跨度较短，M

较小，而Q较大时，要校核剪应力。③各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：①校核强度：②设计截面尺寸：③设计载荷：49解：画内力图求危面内力例2矩形(b

h=0.12m0.18m）截面木梁如图，[

]=7MPa，[

]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x50求最大应力并校核强度

应力之比q=3.6kN/mxM+Q–+x51y1y2GA1A2解：画弯矩图并求危面内力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[

L]=30MPa，[

y]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD52校核强度

T字头在上面合理。y1y2GA1A2x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4A4A3⊕○53【例6-1】吊车梁如图6-10a所示，若起吊重量P=30kN,吊车梁跨度l=8m，梁材料的

，。若梁由工字钢制成，试选择工字钢的型号。54§5-5梁的合理强度设计551916年9月11日加拿大魁北克大桥二度坍塌.坍塌原因：由于设计上的缺陷，导致桥体实际承载量远低于设计承载量，并导致该桥两度坍塌。首次坍塌时间为1907年。死亡人数：95人

561967年12月15日,美国连接西佛罗里达州波因特普莱森特与俄亥俄州Kanauga的吊桥坍塌。坍塌原因：历时39年的高负荷运作，使得该桥靠近俄亥俄州一面的一个链环不堪重负而断裂。死亡人数：46人571981年7月17日,美国堪萨斯州海厄特-里根西饭店的高架人行桥突然断裂。坍塌原因：当时桥上挤满了人群，部分人们正在跳舞。建筑学家认为一个原因是跳舞的人们有节奏的振动引发人行桥结构断裂，另一个原因就是桥面人员过多，负荷过重。死亡人数：114人58TacomaNarrowsBridgeandengineersusingsolidmechanicstheorydiscoveredhowthemovementofafluidoverastructurecancauseseriousvibrations.Knowledgegainedthroughthisresearchhasledtodesignprinciplesformodernbridgestoavoidsuchwind-inducedfailure.OnNovember7,1940theTacomaNarrowsBridgeintheStateofWashingtonvibratedviolentlyina42-mile-per-hourwind.Theoscillationsbecamesoseverethatthebridgeliterallyshookitselfapart.Thisincidentsparkedasurgeofresearchintothecause,

59广东九江大桥60湘西凤凰在建铁路桥倒塌61木梁的弯曲破坏试验62强度：正应力：剪应力：刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。由前述分析知，梁的设计主要依据是弯曲正应力强度条件，从该条件可以看出，梁的弯曲强度与其所用材料，横截面形状、尺寸以及外力引起的弯矩相关，因此，为了合理地设计梁，主要考虑以下几个方面63一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著«营造法式

»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b)为1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义

»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为Rbh64一般的合理截面1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zD1zaa65zD0.8Da12a1z66工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z672、根据材料特性选择截面形状sGz如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：二、采用变截面梁最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时Px68三、合理布置外力（包括支座），使M

max

尽可能小。PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5对称PL/43L/4Mx3PL/16+MxqL2/10+69qLL/5qL/5qL/2L/2Mx+402qL502qL-Mx-+-322qL-Mx++-70四、选用高强度材料，提高许用应力值同类材料，“E”值相差不多，“

jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。

不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！71§5-6

双对称截面梁的非对称弯曲72一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。二、斜弯曲的研究方法：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。PyPzPzPyyzPj14xyzPPyPz13732.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。xyzPyPzPPzPyyzPj74解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解2.研究两个平面弯曲①内力18PzPyyzPj75②应力My引起的应力：Mz引起的应力：合应力：20LPzPyyzPjxyzPyPzPLmmx76④最大正应力⑤变形计算③中性轴方程可见：只有当Iy=Iz时，中性轴与外力才垂直。在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。当

=

时，即为平面弯曲。D1D2a中性轴22PzPyyzPjD1D2affzfyb77[例1]结构如图，P过形心且与z轴成

角，求此梁的最大应力与挠度。当Iy=Iz时，即发生平面弯曲。解：危险点分析如图24最大正应力变形计算中性轴ffzfybyzLxPyPzPhbPzPyyzPjD2D1a78

[例2]矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为q=800N/m的均布力作用，[

]=12MPa，许可挠度为：L/200，E=9GPa，试选择截面尺寸并校核刚度。解：①外力分析—分解qa=26°34´hbyzqqLAB2679§5–7

拉(压)弯组合偏心拉（压）截面核心一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。PRPxyzPMyxyzPMyMz80Phg881水坝qPhg1082二、应力分析：PMyMzPMZMyxyzz

y83四、危险点（距中性轴最远的点）三、中性轴方程对于偏心拉压问题中性轴P（zP，

yP）yzyz84yz五、（偏心拉、压问题的）截面核心：ayaz已知ay，az

后，压力作用区域。当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。可求P力的一个作用点中性轴截面核心5085解：两柱横截面上的最大正应力均为压应力[例4]图示不等截面与等截面柱，受力P=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）MPPd52..P300200200P20020086例5

图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？解：内力分析如图坐标如图，挖孔处的形心PP54PPMN2010020yzyC1087PPMN应力分析如图孔移至板中间时2010020yzyC56＋88解：拉扭组合,危险点应力状态如图[例6]

直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN,

[

]=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。故，安全。AAPPTT5889