高中数学公式总结课件人教版

高中数学概念总结

一.函数

1.若集合A中有n（〃eN）个元素，则集合A的所有不同的子集个数为二，所有非空真子

集的个数是数-2。

二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴方程是x=,顶点坐标是

2a

'b4QC—、

——，-------O用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即

、2。4〃,

/（x）=ax2+bx+c（一般式），/（冗）=。（工一七）・（工一九2）（零点式）和

f（x）=a（x-fn）2+一（顶点式）。

m

2.募函数y=x；,当n为正奇数，m为正偶数，m<n时，其大致图象是

3.函数,=卜2一58+6|的大致图象是

由图象知，函数的值域是［0,+8),单调递增区间是［2,2.5井口［3,+8),单调递

减区间是(—8,2］和［2.5,3］。

二.三角函数

1.以角a的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角。的终边上任取一

个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r,则sina=—,cosa=—，tga=—，

rrx

xrr

ctga=—,seca=—,esca=一。

上士上

2.同角三角函数的关系中，平方关系是：sin,a+cos)a=1,1+=sec?a,

1+c吆2a=esc2a；

倒数关系是：tga-ctga=1,sinacsca=1,cosa・seca=1；

cosa

相除关系是：fga=受吧ct2a=-----

cosasina

3.诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：sin(70=-cosa,

/15冗、/八、

ctg(2—a)=rg。，tg(37r-a)--tgao

4.函数y=Asin(6tir+*)+3(其中A>0,。〉0)的最大值是A+8,最小值是B-A,

周期是T=2,频率是/=色，相位是以+夕，初相是0；其图象的对称轴是直

(D2%---------——

7T

线曲+/=上乃+,(女eZ),凡是该图象与直线y=8的交点都是该图象的对称中心。

5.三角函数的单调区间:

7T7T

y=sinx的递增区间是2k兀一巴,2k九+巴(kwZ),递减区间是

22

2忆万+',2&万+辛(ZwZ)；y=cosx的递增区间是［2%)一万,2&乃］(&GZ),递减区

间是\2k7r,2k7U+4](女£Z),y=tgx的递增区间是[攵乃一女;r+])(Z£Z),

y="gx的递减区间是依力k兀+兀)(keZ)。

6.sin(a±')=sinacos(3±cosasinf3

cos(a±fi)=cosacos/?+sinasin(3

tga±tgP

tg(a±/3)=

1+tga-tg^

7.二倍角公式是：sin2a=2sina-cosa

cos2fz=cos2cr-sin2tz=2cos2a-1=l-2sin2a

tgc2a=­2tJga—。

1一火一

8.三倍角公式是：sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos，a-3cosa

a(1-cos<z1-cosasina

tg—=±J----------=-----------=-----------

2V14-coscrsina1+cosa

10.升累公式是：1+cosa=2cos2&l1-cosa=2csi・n2—0

22

11.降幕公式是：sin?a=匕垩也21+cos2a

cos~a=------------o

22

，a12a,a

、2tg3iTg22g5

12.万能公式：sina二--------cosa=tga=.........-

12a,2ai2a

+%31+fg2一吆2

13.sin(a4-^)sin(a-^)=sin2a-sin20，

cos(a+^)cos(a-y^)=cos2(7-sin20=cos2/7-sin2a。

14.4sindfsin(60°-<z)sin(60°+a)=sin3a；

4cosacos(60°-a)cos(60°+a)=cos3a；

fgWg(600-a)fg(60°+a)=吆3a。

15.ctga-tga=2ctg2a。

16.sin18°=~-o

4

17.特殊角的三角函数值:

7C冗717C3万

a071

47~2

\_V2

sina0V3i0-1

22T

V2

cosa1V30-10

T22

tga0V31不存在0不存在

~TV3

V3

ctga不存在V310不存在0

18.正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）：—=—=-^=2/?

sinAsinBsinC

19.由余弦定理第一形式，b2=a2+c2-2accosB

2

〃2+r_//

由余弦定理第二形式，cosB=-------

2ac

20.AABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表

示则：

@S=—a-h,-；@S--Z?csinA=•••；

2"2

abc

③S=2改sinAsinBsinC；®S-----

4R

⑤S=1p(p-a)(p-b)(p-c)；⑥S=pr

21.三角学中的射影定理：在4ABC中，b^a-cosC+c-cosA,-

22.在△ABC中，A<8=sinA<sinB,…

23.在aABC中：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

A+BCA+B.CA+BC

sin=cos—cos-----=sin—tg-ctg—

2222

fgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC

24.积化和差公式：

①sina•cos=~[sin(a+/?)+sin(a-〃)],

②cosa•sin0=g[sin(a+/?)-sin(a-/?)],

③cosa-cos£=；[cos(a+〃)+cos(a-/?)],

④sina•sin夕=—g[cos(a+夕)-cos(a一4)]。

25.和差化积公式：

①sinx+siny=2sin~~~~,cos~~^~，

②sinx-siny=2cos%+•sin~~~，

-/x+yx-y

③cosx+cosy=2cos—^-cos—/,

.x+y.x-y

(4)cosx-cosy=-2sin-----sin-----。

22

三、反三角函数

1.y=arcsinx的定义域是[-1,1],值域是[一奇函数，增函数；

y=arccosx的定义域是[・1,1],值域是[0,乃J,非奇非偶，减函数;

y=arcfgx的定义域是R,值域是（一、,/），奇函数，增函数;

y=arccfgx的定义域是R,值域是（0,乃），非奇非偶，减函数。

2.当xw[-1,1]时,sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x；

sin(arccosx)=vl-x2,cos(arcsinx)=

arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)=冗一arccosx

,7C

arcsinx+arccosx=—

2

对任意的xeR,有.：

tg(arctgx)=x,ctg(arcctgx)=x

arctg(-x)=-arctgx9arcctg(-x)=冗一arcctgx

71

arctgx+arcctgx=—

当x。0时，有：tg(arcctgx)=—,ctg(arctgx)=—。

xx

3.最简三角方程的解集：

\a\>1时,sinx=Q的解集为。；

时W1时,sinx=〃的解集为卜卜=〃万+(—1)〃.arcsina,〃£z}

\a\>1时,cosx=〃的解集为°；

\a\<1时,cosx=a的解集为卜,=2n^±arccosa,nez}

a£R，方程氏x=a的解集为1|x=n7r+arctga,neZ)；

asR,方程。gx=Q的解集为国x=〃乃+arcctga，neZ}o

四、不等式

1.若n为正奇数，由a<b可推出a"<b"吗？（能）

若n为正偶数呢？（仅当a、b均为非负数时才能）

2.同向不等式能相减，相除吗（不能）

能相加吗？（能）

能相乘吗？（能，但有条件）

3.两个正数的均值不等式是："石

2

三个正数的均值不等式是：

3

4-〃

n个正数的均值不等式是：&a---n---+-•-•-•-+-―可i---口--------…-----明----

4.两个正数a、b的调和平均数.几何平均数.算术平均数.均方根之间的关系是

5.双向不等式是：卜同+同

左边在ab<0(>0)时取得等号，右边在ab>0(<0)时取得等号。

五、数列

1.等差数列的通项公式是%=4+(〃—l)d,前n项和公式是：S“=〃(/+%)

—....'---------2

=««,+;〃("-Y)do

2.等比数列的通项公式是an=,

(4=1)

前n项和公式是：S“=(q(l—q")

Ii-q

3.当等比数列｛4｝的公比q满足时，limS“=S='k。一般地，如果无穷数列｛”“｝

〃T001-q

的前n项和的极限limS“存在，就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和),

8

用S表示，即S=limS“。

M—>00

4.若m.n.p.qeN,且m+〃=p+q,那么：当数列｛a“｝是等差数列时，有

am+an=ap+aq；当数列｛%｝是等比数列时，有&„,,%=%q。

5.等差数列｛aJ中，若Sn=10,S2n=30,贝|JS3“=®

6.等比数列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,则Sjn=7();

六、复数

1.7怎样计算？(先求n被4除所得的余数，严+「=〃)

2.G]=—，+，3八g=一_L一j是1的两个虚立方根，并且：

122222

3312211

69|==10二"co2=g--=(Or---=

幼一(02

=a）2a）2=co{叼+g=-1

3.复数集内的三角形不等式是：同一匕|4|芍±Z2Klz||+匕|，其中左边在复数“Z2

对应的向量共线且反向（同向）时取等号,右边在复数Z1.z?对应的向量共线且同向（反

向）时取等号。

4.棣莫佛定理是：［“cosO+isin。）］"=r"（cos"6+isin〃e）（〃eZ）

5.若非零复数z=r（cose+isina）,则z的n次方根有n_个，即：

〃厂2kvr+a2攵%+a

z=Vr（cos-------+1sin-------）（k=0,1,2,…,n-i）

knn

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？

七、都位于圆心在原点，半径为我的圆上，并且把这个圆n等分。

I.若|zj=2,Z2=3（cos；+isin?）,Z|，复数z1.z?对应的点分别是A.B,则△AOB（0

为坐标原点）的面积是Lx2x6xsin£=3j）。

23

3.复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

①argz=6（6为实常数）一轨迹为一条射线。

②arg（z-z（））=。（4（）是复常数，。是实常数）一"轨迹为•条射线。

③=r（r是正的常数）一•轨迹是一个圆。

@|z-zj=|z-z2|（zPZ2是复常数）一轨迹是一条直线。

⑤|z-zJ+|z—Z2|=2a（Z1、Z2是复常数，a是正的常数）.轨迹有三种可能情形：

a）当2a>忆-百时，轨迹为椭圆；b）当2a=匕-Z2I时，轨迹为一•条线段；c）当

2a<-Zzl时,，轨迹不存在。

⑥卜-zj-|z-z2||=2a（4是正的常数）7轨迹有三种可能情形：a）当2a<|z,-z2|

时，轨迹为双曲线；b）当2。=忆一马|时，轨迹为两条射线；c）当2。>忆时，轨迹

不存在。

八、排列组合.二项式定理

1.加法原理.乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

771

2.排列数公式是：—1)…(〃一机+1)=———；

(“一⑼！

排列数与组合数的关系是：P：

组合数公式是：——星——；

lx2x・・・xm—m)!

组合数性质：C；：=C：'+C：T=C™,

£『2"rC；=nC^

r=0

C；+CMC[+…+C：=C：：；

3.二项式定理：(a+与"=C°a"+C\an-'b+C；an-2b2+•••+C^b:+•••+C；',bn-

项展开式的通项公式：7川=G；"f(r=0,1,2…，n)

九、解析几何

1.沙尔公式：|A8|=4—a

2.数轴上两点间距离公式：[4/=|4一必|

22

3.直角坐标平面内的两点间距离公式：\PtP2\=7(xl-x2)+(yl-y2)

4.若点P分有向线段朋成定比入，则入="•

PP]

5.若点尸](匹，弘)，P2(x2,y2)9P(x,y),点P分有向线段尸建2成定比入，则：入

_x-xt_y-yt

工2-1力-y，

_%)+AX2

1+2

y+狗2

y

1+2

若45，/)，B(x2,y2)9C(x3,y3)，则△ABC的重心G的坐标是

演+*2+与％+乃+%)

6.求直线斜率的定义式为1<=吆1,两点式为k=X-M。

x2-芭

7.直线方程的几种形式：

点斜式：y-y0=k(x-xQ),斜截式：y=kx+b

两点式：2s2i_=Zz^_,截距式：土+工=i

y2f9一为ab

一般式：Ax++C=0

经过两条直线卜Ax+^y+G=。和4：AzX+Jy+C2=。的交点的直线系

力程是：A/+gy+G+丸(+§2,+。2)=0

8.直线/正y=匕x+如/2：y=k2x+h2,则从直线到直线4的角。满足：

直线乙与，2的夹角0满足：次。=与&

l+k*

直线/］：4/+为丁+孰=0，，2：41+82y+。2=0,则从直线/1到直线4的角。满

足：火g=叁二^

4A，2+B]B-)

45—Afi)

直线与乙的夹角。满足：tgO2

A.^A.2+B[B2

9.点玖//。)到直线/：九¥+6)，+。=0的距离:

|Ax()+By。+C|

VA2+B

10.两条平行直线4：Ax+By+C1=0,/2：Ax+By+C2=0距离是

JA2+B-

11.圆的标准方程是：（x-a）2+（y-4=「2

圆的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）

u,、叱D~+E~—A-Fx,,,i-BrDE）

其中>半径zEr----------------，网心坐标ZE-------»-------

2（22）

思考：方程+DY+Ey+尸=0在+后2-4尸=0和O?+后2-4尸<o时

各表示怎样的图形？

12.若/（项,％）,B（x2,y2）,则以线段AB为直径的圆的方程是

（x--）（一——2）+（—-—）（1一为）=。

经过两个圆

x~+y2+x+E[y+尸]—0»x~+j'~+D-,x+E,y+F2=0

的交点的圆系方程是：

x"+y~+O[X+£'[y+K+4（x~+y~+D-）x+E-,y+F?）—0

经过直线/：Ax+By+C=0与圆/+/+Dv+Ey+R=0的交点的圆系方程

是：x2+y2+Dx+Ey+F+A（Ax+By+C）=Q

13.圆/+/=〃的以尸（与，打）为切点的切线方程是

2

xox+yoy=r

一般地，曲线Ax2+C），2—Dr+Ey+F=0的以点p（x0,打）为切点的切线方程是：

Axox+Cyo〉—。•三包+后・上+生+尸=0。例如，抛物线/=4x的以点P（l,2）为

切点的切线方程是：2y=4、土干，即：y=x+l。

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的

常规过程去做。

14.研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：△>（）,=0,<0,等价于宜线叮圆相交.相切.相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径.等丁・半径.小于半径,

等价于直线与圆相离.相切.相交。

15.抛物线标准方程的四种形式是：y"=2px,y2=-2px,

22

x=2py,x=-2py0

16.抛物线/=2px的焦点坐标是：准线方程是：x=-g

若点P（Xo，y0）是抛物线V=2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为

焦半径）是：过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）

的长是：2p。

2222

17.椭圆标准方程的两种形式是：三+==1和=+[=1

a2b2a2b2

（a>/?>0）o

222

18.椭圆5+27=1仅>/?>0）的焦点坐标是（±小0）,准线方程是工=±幺，离心率是

ah------------c

C2b2

22

e=-,通径的长是二一。其中=a-bo

aa

22

19.若点尸（与，打）是椭圆++==1（a>b>0）上一点，F1、F2是其左.右焦点，则点

h

P的焦半径的长是|产片|=a+ex。和[PF2]=Q-e%o。

2222

20.双曲线标准方程的两种形式是：三-勺=1和与-0=1

a2b-a2b2

（a>0,b>0）o

x2y2a2c

21.双曲线与一与二1的焦点坐标是（土cQ）,准线方程是x=±J,离心率是。=上，

crb"------ca

2b2Yy2

通径的长是」L渐近线方程是J=0O其中C2=Q2+/?2。

aa~

22.与双曲线A=1共渐近线的双曲线系方程是与一斗=/l(/lN0)。与双曲线

a2b2a2h2

2222

二-5=1共焦点的双曲线系方程是-------2一=1。

a2b2a?+卜b?-k

23.若直线y=h+b与圆锥曲线交于两点A(x),yi),B(x2,yi),则弦长为

|A'="1+42)区―/)2；

若直线x=+f与圆锥曲线交于两点A(xpyi),B(X2，y2)，则弦长为

|AB|=J(l+-2)(弘一力了。

24.圆锥曲线的焦参数D的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有:p=—。

C

25.平移坐标轴，使新坐标系的原点。'在原坐标系下的坐标是(h,k),希P在原坐标系

下的坐标是(x,y),在新坐标系下的坐标是(£,<)，则x'=x-/z,y'=y-k.

十、极坐标.参数方程

1.经过点外(Xo，y0)的直线参数方程的一般形式是：+从。是参数)。

2.若直线/经过点庶(%,%)，倾斜角为a,则直线参数方程的标准形式是：

X-X,,+/COS6Za---

°。是参数)。其中点P对应的参数t的几何意义是：有向线段P°P的

y=y0+/sina

数量。

若点P”P2.P是直线/上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是小G才口，则:

,舄=人—胃|；当点p分有向线段而成定比丸时，//+”；当点p是线段P|P2

_______________14-/1

的中点时，，=上上

x=〃+rcosa

3.圆心在点。(%b),半径为厂的圆的参数方程是：<、@是参数)。

y=b+厂sina

4.若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（2,6）,

直角坐标为（x,y）,则x=pcos。，y=psinO,p-yjx2+y2,tgO--»

x

5.经过极点，倾斜角为a的直线的极坐标方程是：，=。或6»=乃+«,

经过点（。,0）,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：pcos0=a,

经过点（a,1）且平行于极轴的直线的极坐标方程是：Psin。=a,

经过点（P0，/）且倾斜角为a的直线的极坐标方程是：

psin（6-a）=p0sin（e（j—a）。

6.圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是°=厂；

圆心在点（a,0）,半径为a的圆的极坐标方程是p-2acos0；

圆心在点（a,|）,半径为a的圆的极坐标方程是夕=2asin。；

圆心在点（a，/），半径为r的圆的极坐标方程是P1+P：一2所°cos«9-/）=/。

7.若点M（0],4）.N（p2,2）,则[MN1=Jp；+区一2/?1/?2cos（优一%）。

H■■一、立体几何

q'

1.求二面角的射影公式是cos。=幺，其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图

S

形F的面积，S'是图形F在二面角的另一个面内的射影，。是二面角的大小。

2.若直线/在平面a内的射影是直线直线m是平面a内经过/的斜足的--条直线，I与

/'所成的角为仇，厂与m所成的角为/，/与m所成的角为9,则这三个角之间的关

系是cos。=cos。1•cos01o

3.体积公式：

2

柱体：V=S-hf圆柱体：V=7Tr-ho

斜棱柱体积：V=S'•/（其中,S'是直截面面积，/是侧棱长）；

锥体：v^-s-h,圆锥体：v^-7rr2-h.

33

台体：v=g.〃（s+jss+s，）,