初中数学竞赛函数强化练习

初中数学竞赛函数强化练习2

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一、单选题

1.已知。为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数y=：（x>0）的图象上，位

4

于第二象限的点B在反比例函数y=-qx<0）的图象上，且则tanNABO的

值为（）

A.gB.—C.1D.2

22

2.设抛物线y=f+fcv+4与x轴有两个不同交点（40）,（三,0）,则下列结论中一定成立

的是（）.

A.x；+x；=17B.xf+=8C.<17D.

1988

2）（同1）+.2）（1一同）5。+1

3.在实数范围内，设》=+----，则工的个位数

\-a

字是（）.

A.1B.2C.4D.6

4.若不论x取何值时，分式总有意义，则，”的取值范围为（）

x1-2x+m

A.m>lB.m>\C.tn<\D./??£1

5.已知二次函数y=ar2+bx+c（c<0）的图象与x轴有唯一交点，则二次函数

+Y的图象与x轴的较低的个数为（）

A.0B.1C.2D.不确定

6.已知二次函数丫=加+法+1（。/0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1,0）.当

为整数时，ab=（）

A.0B.-C.—D.-2

44

7.若函数>=（4+1*+*+公+3忆-2的图象与x轴交点的纵坐标为Y,则”的值是

（）

A.-1B.-2C.-1或2D.-1或-2

8.如右图，点P是x轴正半轴上一个动点，过点尸作x轴的垂线交双曲线>=■!■于点

X

Q,连接。。，当点P向右运动时，RaQOP的面积（）.

A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定

二、填空题

9.不论小取任何实数，抛物线y=/+2,如+川+,”-1的顶点都在一条直线上，则这

条直线的解析式是.

3x2+6x+5

10.当x变化时，分式「7的最小值是_______-

-X+x+\

2

11.己知a，b是正数，并且二次函数y=/+ar+2b和^=炉+2"+。的图象都与x

轴相交，则/+从的最小值是.

12.边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1:2的两部分，那么所有这些

等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是.

13.已知AABC的顶点A、C在反比例函数y=^(x>0)的图象上，ZACB=90°,

ZABC=30°,轴，点B在点A的上方，且AB=6,则点C的坐标为

14.设x为正实数，则函数y=r-x+」的最小值是.

X

15.设正AABC的边长为2,M是AB边上的中点，尸是BC边上任意一点，PA±PM

的最大值和最小值分别记为s和。则s2-t2=.

16.已知五边形AO83,其中0(0,0),A(l,0),B(3,2),C(2,5),£>(0,3),过点

C的直线y=履+分把五边形分成面积相等的两部分，则％=.

三、解答题

17.设4>0,。力为任意实数，满足条件：(1)3b2=a2+\，(2)

d2=a2-6ab+9b2■求d的最小值及相应的值.

149

18.已知x,y,z是正数且x+y+z=l,比较A=—+—+—与8=36的大小，并问A能

xyz

否等于B?

19.函数y=/+(2"l)x+公的图象与x轴的两个交点是否都在直线》=1的右侧，若

是，请说明理由；若不一定，请求出两个交点在直线x=l的右侧时，火的取值范围.

20.已知抛物线q：y=-V-3x+4和抛物线。2：y=--3x-4相交于A,B两点，点P

在抛物线q上，且位于点A与点B之间；点。在抛物线。2上，也位于点A与点B之

间.

(1)求线段A8的长；

(2)当PQ//y轴时，求PQ长度的最大值.

21.已知二次函数y=a(x-D(x—l-a)(。为常数，且“片0).

(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；

(2)若点(0,乂)，(3,y?)在函数图像上，比较M与％的大小；

⑶当0<x<3时，y<2,直接写出”的取值范围.

22.当14x42时，计算\[JC+2>JX-\-•

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

【详解】

过点A、B分别作ACJ_x轴，8£>_Lx轴，垂足为C、。.由OA_LOB得4408=90。，于是

可得〜40BD,所以tanZABO

2.D

【解析】

【分析】

【详解】

由A=%2—4X4>0=〃>I6.

又因王+、2=-%,中2=4,所以#+考=（%+々）2-2%!々=〃-8>16-8=8.

故选：D.

3.D

【解析】

【分析】

【详解】

解：要使X有意义，必须且只需

（"2）（同-1）20,

（a-2）（1-同）20,［（"2）（同7）=0,

1一"0,=<aH1,

"2

1+—^0

1一4

所以'=（占+空智产=5”产W

2

故］的个位数字为6,

故选：D.

4.B

【解析】

答案第1页，共11页

【分析】

【详解】

x2-2x+m=(x-\)2+m-l,所以，〃>1,正确答案为B.

5.C

【解析】

【分析】

【详解】

因为二次函数y=a/+云+C的图象与X轴有唯一交点，所以4=6-4℃=0,所以

b2=4ac^0.故二次函数y=a3x2+h3x+c3的判别式A,=何?-4d=〃-上(4«c)3

=6一=所以，二次函数y=a、2+/x+/的图象与x轴有两个交点•

16,16

6.B

【解析】

【分析】

【详解】

依题意知。<0,—<0,。+8+1=0,故6<0,且人=一〃一1,

2a

a—h=ci—(—ci—1)—2a+1,于*—.・—lv2。+1v1,

又(l-b为整数，2a+\=0,故a=-g=6,ab=g,故选B

7.B

【解析】

【分析】

【详解】

解因x=0时，y=-4代入函数关系得-4=公+3%-2，即伏+1)伙+2)=0,所以4=T或

k=-2.故应选D.

注：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数.不能一开始就默认它是二次函

数，约定/+1片0,从而错误地选择了B.

8.C

【解析】

【分析】

答案第2页，共11页

【详解】

设Q(a,。)，则OP=a,PQ=b,且b=：,所以=；xOPxPQ=；xa〃=g.

故选：C.

9.y=-x-\

【解析】

【分析】

【详解】

二次函数化为y=(x+可+小，得顶点坐标为［fT消去”得尸一1.

故答案为：y=-x-l.

10.4

【解析】

【分析】

【详解】

_3x2+6x+5

解令3=L?+r+1，去分母整理得

2X+X

(y-6)x2+(2y-12)x+2y-10=0.

若y=6,则①化为2=0,矛盾.故yw6.

因为作为X的方程①有实根x,故

A=(2y-12)2-4(y-6)(2y-10)=-4(/-10y+24)=-4(^-4)(y-6)>0,

即(y-4)(y-6)W0,解得44”6.

而尸6,所以44y<6.

N=4代入①可得》=-1,故当》=-1时，y取最小值4.故应填4.

注：例5~7中求最值的方法叫做判别式法.这是求函数最值的重要方法之一.但应该注意

的是，化简整理为一个关于x的二次方程后(其余数是变量)，的函数)，对其二次项系数是

否为零应进行讨论，只有在二次项系数不等于零的情形才能应用判别式法(若使二次项系

数等于。的y的值存在，则这个值也是函数y可取到的值，在求最值时，应将这个值考虑

在内进行讨论).

11.20

答案第3页，共11页

【解析】

【分析】

【详解】

解因两条抛物线都与X轴相交，故其判别式4=/-助及4=(2与2-4a都不小于零，即

a2-Sb>0,a2>8/7,12c,

=>/2+加之〃+昉.

4/?2-4CZ>0b2>a

因a,b都是正数，所以

a4>(防y>64a=>a3>64>4,Rb2>a>4=>b>2>

所以/242+22=20,即a、片的最小值为20.故应填20.

注：本题中求最值的方法叫做放缩法，即根据题目条件，将各变量的值适当放缩为一个常

数，从而求出其最值.

12.近

4

【解析】

【分析】

【详解】

x

x+—=n

2

设等腰三角形的腰为x,底为y,周长被分为的两部分的长分别为〃和2〃，则*

y+--2n

,2

x+—=2n

72n5〃4〃n2〃57?

或，，解得®y)=或,(此时不能够成三角

X33T,3

y+—=n

2

形，舍去)，所以(%>)=传,g

,其中〃是3的倍数.则三角形面积

=旦£.当〃NO时，S随着〃的增大而增大.所以〃=3时.S取

2312

最小值，最小值为手.

13.

【解析】

【分析】

答案第4页，共11页

【详解】

如图，过点C作CQ，M于点。.

在R/AACB中，BC=AB-cosZABC=3y/3,

在MABC。中，CD=BCsinB=—

2

93

BD=BCcosB=-f：.AD=AB-BD=-f设Cm,

22

依题意知〃>机>0,故CZ>="-，"，AD=---,于是

mn

3+

n-m=-----出

7m——

厂广，解得2,故点C的坐标为

<3V3_3冽

n=25/3

,mn2

【解析】

【分析】

【详解】

y=(x-l)2+%+--l>0+2.L--l=l(x>0),等号当且仅当x=l且x=L即x=I时成

xYxx

立，故y的最小值为1,

故答案为：1.

15.4也.

【解析】

【分析】

【详解】

因为P4VCA,PM<CM,故当P处于8c边顶点C这一极端位置时，十PA取最大

答案第5页，共11页

值，最大值为s=CM+CA=6+2.

如图4-1,作正VA,BC,设AT为A'B的中点，则由APBM咨APBVT得PM，=PM,于是

PA+PM^PA+PM'>AM'.

连CM',则ZAWZACB+/BCM，=60。+30。=90。，所以AM，=小化+”口=

百+(后=币,故PA+AM2WV7,并且当4、P、W共线时等号成立，即

*+4(7的最小值为"近，因此，s?--=(石+2尸-(")2=46.故应填4石.

【解析】

【分析】

所以四边形CDEP的面积5=S&CDO+S4CPO=S^CEO+S4CPO=

同理，过8作直线面〃C4与X轴交于点F,

所以四边形CDEP的面积52=SMFP

・・S&CEP=$△”;>，即尸为EF中点.

答案第6页，共11页

计算得《告4喂q,所以喉,。）,

.•.次广当-生，.一著.

131313

17.当a=6=±#时，d取最小值近.

【解析】

【分析】

【详解】

由（2）知±"=a-3b,即a=36±d,代入（1）式有3户=（3b±d）2+1,

整理得6匕2±6的+[2+1=0,①

因b是实数，所以△=(±63)2-4x6x02+])>o,解得八0或屋_0(舍去).

即(伤±1)2=0,所以/?=¥，==不正.

当4=啦时，代入①得6必±6岳+3=0,

A/22

再由d=。-3b得。=干——.

2

所以当a=6=±乎时，d取最小值正.

18.A=B,见解析

【解析】

【分析】

【详解】

149

解A=(一+—+—)(x+y+z)

xyz

=1+4+9+(2+竺)+㈡玛+(生+曳)

xyxzyz

214+2、乒+2、届+2隹・处

\xyVxz'yz

=14+2x2+2x3+2x2x3=36=3.

v4xz()x4z9y

故AN8.等号成立当且仅当乂=—，一=-一,—=—,HPy=2x,z=3x,2x=3y.

xyxzyz

,所以x=，，y=2，z=：时，A=B.

将y=2x,z=3x代入x+y+z=l,得6K=1

632

总之ANB,当且仅当x=!，y=：,xz=！E

时,A=B•

632

19.不一定，k<-2

答案第7页，共II页

【解析】

【分析】

【详解】

解不一定，例如，当k=0时，函数化为y=--x,它的图象与X轴的交点为(0,0)和

(1,0),不都在直线x=l的右侧.

设函数图象与x轴交点的横坐标为玉和巧，则玉+々=-(2%-1),不々=公.

\>0,

当且仅当满足条件(王-1)+(々-1)>°，时，抛物线与刀轴的交点都在直线x=l的右侧.

(x,-l)(x2-l)>0

而(内—l)+(x2—1)=—(2^—1)—2=—2A;—1,

((X1—1)-1)=%]々一(西+苍)+1=k~+(2k—1)+1=k~+2k,

L

k-<4'

(21)2-4公WO,

,1,c

故上述条件可写为《-2k—1>0,<=><k<——，<=>k<—2.

2

k2+2k>0

«2减k)

所以当A<-2时，抛物线与x轴的交点都在直线x=l的右侧.

20.(1)AB=4y/10；(2)PQ的最大值为8

【解析】

【分析】

【详解】

2

y=-x-3x+4,%=-2,\X2=2,

解(1)解方程组

2

y=x-3x-4X=6,[y2=-6,

所以4B两点的坐标分别是(-2,6)和(2,-6),

于是A8=J(2+29+(6+6/=4厢.

(2)如图，当PQ/勺轴时，设P、。的坐标分别为

P(r,-?-3z+4),0(f,r2-3r-4)(-2</<2),于是尸°=2(4—/)48,

当f=0时，等号成立.所以PQ的最大值为8.

答案第8页，共11页

注：本题中用到§4例3后面注(2)中给出的两点义.乂),8(0必)之间的距离公式：

48=1占_々J+(＞「为『・这个公式以后还要用到・

21.(1)证明见解析

(2)当。＜0或。＞1时、Ji＞y2；当。=1时，％=必；当0＜。＜1时，Ji＜y2

(3)-2＜a＜l,且awO

【解析】

【分析】

(1)令y=o,可得出X的两个解，且两个解不相等即可得出结论；

(2)先求出乂一%=3。(4-1)，然后分三种情况讨论即可；

(3)先求出抛物线与X轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0Vx＜3范围内分。＞0和

。＜0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论.

(1)

证明：令y=o,

即-])(x—]—a)=0,

x-l=O或x-l-a=0,

艮|JX|=1,X[=]+〃，

,1wl+a,

...方程有两个不相等的实数根，

该函数的图像与X轴总有两个公共点.

(2)

解：；点(O，X),(3,%)在函数图像上，

.,.当x=0时，％=/+”，

答案第9页，共11页

2

当x=3时，y2=