2023年高三解答题导数7大常考题型总结（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

2023年高三解答题导数7大常考题型总结

【题型目录】

题型一：导数中证明不等式问题

题型二：导数中的隐零点问题

题型三：导数中的零点问题

题型四：导数中的同构问题

题型五：导数中的极值点偏移问题

题型六：导数中的双变量问题

题型七：导数与数列不等式问题

【题型总结】

题型一：导数中证明不等式问题

［例1］已知函数/'(x)=ax-(24+l)lnx-2.

⑴当。=-1时-，证明：/(x)>l-x-1;

(2)讨论/(x)的单调性.

【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析

【分析】(1)构造函数g(x)=/(x)-1l-xT)=lnx-l-,(x>/利用函数的最值即可

证明不等式；

(2)-2),对0分类讨论即可得出函数/(x)的单调性.

【详解】(1)当”=-1时，令8(6=〃力-(1一%-［=111》一1—(》>0,

,/x111

g(M=----r=^--

XX'X

可得xe(0,1)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减;

X€(l,+8)时，g'(X)>0,函数/(X)单调递增,

.•.X=l时,函数g(x)取得极小值即最小值,g(l)=o,

Ag(x)>0,即〃小1—

(2)函数的定义域为(0,+8),

2〃+12(ar-l)(x-2)

小)=a---------十

x

当“W0时，xe(0,2)时，/0(x)>0,函数/(x)单调递增；xe(2,+8)时，/(x)<0,函数〃x)

单调递减；

当0<a<g时，xe(0,2)U&,+8)时，f^x)>0,函数〃x)单调递增区间为(0,2),+8)；

XG(2,J)时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减；

a

当a=L时，/”(x)=(x2)-,f，(x)W0,函数/(X)在(0,+8)单调递增.

综上，当时，函数/(x)在(0,2)单调递增，在(2,«»)单调递减；

当时，函数/(x)在(0,2),仕,+81上单调递增，函数/(x)在(2,3上单调递减；

当a=g时，函数/(x)在(0,+«>)上单调递增.

【例2】已知函数/(x)=elnx-ax(a>0).

⑴求函数〃x)的单调区间；

(2)当a=e时，证明：4(x)-e*+2ex40.

【答案】(1)单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(?，+8)；(2)证明见解析.

【分析】(1)求出函数f(x)的导数，再求出导数为正、为负的x取值区间作答.

(2)等价变形给定不等式，构造函数g(x)=；-2e(x>0),利用导数求出最值推理作答.

【详解】(1)函数〃x)的定义域为(0,+"),求导得/")=£-。=三竺，又a>0,

XX

则当0<x<?时，/^(x)>0,当x>?时，/'(x)<0,

所以f(x)的单调递增区间为(0,?),单调递减区间为+8).

(2)因为x>0,则不等式_yf(x)-e*+2et40o/(x)4—2e,

当a=e时，由(1)知，/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减，则/(x)1m「_/■⑴=-e,

令g(x)=《-2e(x>0),则g[x)=^4^，当0<x<l时，g'(x)<0,当x>l时，g'(x)>0,

XX

因此g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，g(x)min=g(l)=-e,

于是得/(x)Wg(x),即/(x)4》2e,

所以V(x)-ev+2ex40.

【例3】已知函数/(力=|]0_誓工.

⑴求该函数在点(1,/。))处的切线方程；

(2)证明：当x>l时，/(x)<x-l.

【答案】(l)x-y-l=O；(2)证明见解析

【分析】(1)求出./(I)、/'⑴的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；

(2)令g(x)=lnx-；x2+g,其中x>l,利用导数分析函数g(x)在区间(1,+8)上的单调性

可证得结论成立.

【详解】(1)解：因为/(x)=Inx-，该函数的定义域为(0,+8),则/'(X)=-1),

所以，/(1)=0./,(1)=1,

因此，曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程为y=x-l,即x_y_]=0.

(2)解；令g(x)=/(x)-(x-l)=lnx-?x2+?,则=,

22xx

当X>1时，g'(x)<o,则函数g(x)在(1,+8)上为减函数,

故当x>l时，g(x)<g(l)=o,则

【例4】已知函数/(x)=2ln(x+l)-J♦有两个不同的零点打，X2.

(x+1)

(1)当-1<x<-；时，求证：21n(x+l)>---；

(2)求实数a的取值范围；

【答案】(1)证明见解析；(2)卜：,0)

【分析】(1)构造函数Mx)=21n(x+l)+-1，利用导数求得Mx)>0,进而证得不等式成

立.

(2)结合导数，先判断a<0,然后结合/(x)的最小值为负数以及零点存在性定理求得a的

取值范围.

【详解】(1)令Mx)=21n(x+1)+：,则〃(x)=--7~~

\\/x+1x+l(x+1)(X+1)

当时，"(x)<0,所以力⑺在(一1,一]上单调递减.

所以21n(x+l)>-----.

21(x+1)~+“

,x>1，

(x+l)‘

当时，r(x)>0,此时/"(X)为增函数，不合题意；

当4<0时，/，(x)=o,得X[=7^'-1,》2=-7^-1(舍)

所以当X€(-1,V-1),/,(x)<0,/(x)单调递减；当xwlC-L+s),f^x)>0,/

(X)单调递增.

如果/(X)有两个不同的零点，必有/(、人工-1)<0,

则2lnQ一户得所以_:<.<0

又此时/(0)=-。>0,

故在(Q-1,+8)有一个零点：

1j1a

由(1)知，一l<x<一不时、21n(x+1)>-----,令一][一：八？，

2'7x+1x+1(x+1)

解得xW-1一a,故当x<-1—a时，，f(x)〉0,故当一l<x<min]—5,-1—Q1时，/(x)>0,

故在上有一个零点，

所以/(x)有两个不同的零点时，a的取值范围为

【点睛】利用导数研究函数的零点，首先要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.

然后利用导数进行研究时，转化为极值、最值问进行求解，求解过程中要注意结合单调性以

及零点存在性定理来进行判断.

【例5】已知函数/(x)=ae'-ax-l("0).

⑴讨论〃x)的单调性；

⑵当a=l时，证明：/(x)>21nx-2x+2.

【答案】(1)当。>0时，〃x)在(-%0)单调递减，(0,+8)单调递增，

当a<0时，/(x)在(-叫。)单调递增，(0,+e)单调递减.

(2)证明见解析

【分析】(1)根据导数讨论单调性即可；

(2)根据导数与单调性和极值的关系得到/(x)>0,g(x)=21nx-2x+240即可证明.

【详解】(1)/'(x)=ae'-a=a(e，-l),

当a>0时，/%x)>0得e*>l解得x>0,/'(x)<0得e,<1解得x<0,

所以/(x)在(-8,0)单调递减，(0,+8)单调递增：

当.0时，/敢)>0得e，<l解得x<0,/'(力<0得人>1解得%>0,

所以/(x)在(-8,0)单调递增，(0,+8)单调递减；

(2)因为a=l,〃x)=e*-x-l

由(1)知,当x>0时,，(x)单调递增，

所以/(x)>/(0)=0,即〃x)>0，

设g(x)=21n%_2x+2(x>0),g7x)=--2=,

XX

由g'(x)>0得i-x>0解得0<x<l,

由g'(x)<0得l-x<0解得x>l,

所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1,位)单调递减，

所以g(x)4g⑴=0,

从而/«>g(x)恒成立，即/(x)>21nr-2x+2恒成立.

【题型专练】

1.已知函数/(工)=砂-0¥-1(“《2.

⑴若/(x)20在xe(-8,+8)上恒成立，求实数。的值；

xlnx

(2)证明：当xe(O,l)时，0-)<x+1_x2

e'

【答案】(l)a=l;(2)证明过程见详解

【分析】(1)分。=o,。<0和a>o•:种情况讨论，当“>0时，求导利用函数的单调性和最值

进行求解即可；

(2)结合(1)的结论，将不等式进行等价转化证明Inx-Y+i+J.>。，构造函数

X

h(x)=\nx-x2+l+~,对函数求导，利用函数的单调性即可证明.

X

【详解】(1)当。=0时，/(x)=eA-L当x>0时，/«<0,不符合题意；

I111

当〃<0时，/(l)=ea-l-l=e0-l,又。<0时，/(-)<0,不符合题意；

aa

当Q>0时，=ex-a,令/'(x)〉0,解得：x>Ina,令/'(x)<0,解得：x<lna,所

以函数/(x)在(-8,Ina)上单调递减,在(Ina,+8)上单调递增,所以

/(x)min=f(\na)=a-a\na-\,所以a-〃Ina-120,令g(x)=x—xlnx-l,

则g'(x)=-lnx,当Ovxvl时,g\x)>0,当4>1时,gf(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上

单调递增，在(1,+8)上单调递减,所以g(X)max=g6=0,又因为gSR。,所以。=1.

(2)由(1)知：。=1时，e'-x-l20在(-8,+°0)上恒成立，BPex>x+1»

所以当工£(。,1)时，ev>x+1,即4W----»乂'与0<x<l时，x(l—Inx)>0,

ex+1

所以］(lTnx)<x(-lnx),所以要证也叫。<工+1_/，只需证止电立〈工+L公，

eAx+1exx+1

即证Inx-x?+1+!〉0,A(x)=lnx-x2+1+—,则有/7,(x)=--2x--^-=-^-(x-l)-2x,

XXXXX

又xw(0,l),所以x-l<0,-2x<0,所以〃a)vO在(0,1)上恒成立,即〃(X)在(0,1)上单调递

减,A(x)>A(l)=l>0,

所以当xe(0,l)时，Mln"—十一?

ex

【点睛】思路点睛：某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘

其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.

因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，有时可以构造一

个函数，借助单调性进行求解.

2.已知函数XG(0,+OO).

⑴判断函数〃x)的单调性；

(2)证明：

【答案】(1)/(、)在(0,+8)上单调递减，理由见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)求出函数的导数，构造函数“(x)=(l-x)e'-l(x>0)利用导数判断函数的单调

性，从而判断原函数导数的正负，进而即得；

(2)将不等式转化为士</<1,然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而

e+1e-1

证明不等式.

【详解】(1)函数在给定区间内单调递减，理由如下：

因为函数/(X)=3%，X€(0,+8),

所以/'(x)=O：?eJ(x>0),

(e-1)

w(x)=(1-x)ev-1(x>0),则/(x)=—xe、<0,

所以"(X)在区间(0,+«>)上单调递减，

故"(x)<"(0)=0,即/'(x)<0,

所以函数/*)在区间(0,+8)上单调递减；

11y

(2)----</(x)<l=-----<-----<1,XG(0,+X),

ex+l'7ex+lex-l'7

先证xe(0,+<»)时，——<1,即e*—x—1>0,

设8(X)=6'-工-1,X€(0,+00),则8'(幻=/-1>6°-1=0,

所以g(x)在区间(0,+8)上单调递增，

所以g(x)>g(0)=0,即〃x)<l；

再证xe(O,+<»)时，/(x),即(x-l)e*+x+l>0,

设秋x)=(x-l)e*+x+l(x>0),贝!]〃'(x)=xe*+1>0,

所以〃(x)在(0,*®)上单调递增，

所以Mx)>/)(())=0,

所以占</(x)；

综上，*</(x)<L

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法:证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))转化为证明/(x)-g(x)>0

(或/(x)—g(x)<0),进而构造辅助函数。x)=/(x)-g(x)：

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函

数.

3.已知函数/(x)=/e"

⑴求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)证明:当x>0时，/(x)Z3e*-2e.

【答案】⑴3ex-y-2e=0；⑵证明见解析.

【分析】(1)先求出切线的斜率，再求出切点即得解；

(2)令尸(x)=〃x)-3e'+2e,利用导数求出函数的最小值即得证.

【详解】(1)解：由题得/'(x)=2xe、+x%，，所以((l)=3e,

又/⑴=e,所以切线方程为y-e=3e(x-I),即3ex-y-2e=0.

(2)证明:令尸(x)=/(x)-3e*+2e=、e*-3e*+2e,

F,(x)=2xeI+x2eI-3er=eI(r2+2x-3)=er《+3*7),

当xe(O,l)时，F(x)<0,当xe(l,+oo)时，F(x)>0.

所以尸(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

所以当x>0时，尸(外出=尸(1)=0,

.”>0时，F(x)>0

故当x>0时，/(x)23e'-2e.

4.已知函数/(x)=xln(x+l).

(1)判断0是否为/(x)的极小值点，并说明理由：

(2)证明：缘>—gx+1.

【答案】(1)0是/(x)的极小值点，理由见解析；(2)证明过程见解析

【分析】(1)求/(x)=xln(x+l)的定义域，求导，得至lJ/'(0)=0,且xe(-l,0)时，,f(x)<0.

xe(O,-)时，/(x)>0,故0是〃x)的极小值点；

(2)对不等式变形得到+)0,令g(x)=ln(x+l)+；x2-x(x>-l),求导,

X

得到其单调性，从而得到g(x)正负，故吧;二>0恒成立，结论得证.

X

【详解】(1)0是/(X)的极小值点，理由如卜.：

〃x)=xln(x+l)定义域为(-1,+8),

yf)

//(x)=ln(x+l)+—,其中/(0)=ln1+^j=0,

当xe(-1,0)时，In(x+1)<0,<0,故=ln(x+l)d-----<0,

当xw(0,+oo)时，ln(x+l)>0,—^->0,故/(x)=ln(x+l)+-^j>0,

故/(x)=xln(x+l)在x«-l,0)上单调递减，在xe(0,+8)上单调递增，

故0是“X)的极小值点；

(2)坐>-L+l等价于x叫+1)>」、+],

x22x22

即ln(x+l)+gx2x

X

令g(x)=ln(x+l)+；x2-X(x>-1),

1r2

贝Ijg'(x)=——+x-i=——

v7x+i%+r)

当x>-l时,gz(x)>o,所以g(x)在X>-1上单调递增,

又g(O)=O,

故当x>0时，g(x)>g(O)=O,当-l<x<0时，g(x)<g(O)=O,

则>°恒成立,

X

故与>T+i

5.设函数〃x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=M"(x)的极值点.

(1)求a；

X+f(x)

⑵设函数g(x)=际证明:g(x)<L

【答案】(1)a=l：(2)证明见详解

【分析】(1)由题意求出/，由极值点处导数为。即可求解出参数

x+ln(l-x)

(2)由(1)得g(x)=x<l且xwO,分类讨论xe(O,l)和xe(—,O),可等价

xln(l-x)

转化为要证g(x)<l,即证x+ln(l-x)>xln(l-x)在xw(O,l)和xe(-oo,0)上恒成立,结合

导数和换元法即可求解

【详解】(1)由/(x)=ln(a-x)n/，(x)=——,y==>/=ln(a-x)+——

xaxa

又x=0是函数y=4'(x)的极值点，所以_/(O)=lna=O,解得a=l；

(2)|方法一|：转化为有分母的函数

由S知,,g⑴/、=7x1+看ln(l-x)=而1用+71其-定>乂、域为SO)U,(O»

要证gaxi,即证品即证而%"IF

⑴当50时，而匕(°，即证时小告.令如)-—力

—1-|x

因为尸，⑴=E-E=E>°,所以产㈤在区间(°'D内为增函数,所以

F(x)>F(0)=0.

Ix—1x

(ii)当xe(-8,0)时，—~->0,—>0,即证由(i)分析知尸(x)

In(l-x)xx-1

在区间(y,0)内为减函数,所以在x)>在0)=0.

综合(i)(ii)有g(x)<l.

［方法二I【最优解】：转化为无分母函数

由(I)得/(x)=ln(l-x),g(x)=xy=x：),；),x<l且xwO,

xf(x)xln(l-x)

/、x+ln(l-x),、

当xe(。/)时，要证g(x)=超丁,"＞。皿一)＜。，.\xln(l-x)<0,即证

x+ln(l-x)>xln(l-x),化简得x+(l-x)ln(l-x)>0；

同理，当xe(-oo,0)时，要证g(x)=——；~~，<1,-.-x<0,ln(l-x)>0/.xln(l-x)<0,即

'7xln(l-x)

ilEx+ln(l-x)>xln(1-x),化简得x+(l_x)ln(l-x)>0；

令/?(x)=x+(l-x)ln(17),再令/=l-x,则，£(O,1)U(L”)，x=1-t,

令9(r)=l-f+"nf,"(r)=-l+lnf+l=ln.,

当fe(O,l)时，”。)<0,9(f)单减，故3(。>夕(1)=0；

当fw(l,+8)时，夕9(/)单增，故9(。>9(1)=0；

综上所述，g(x)=x］n(；—x)<1在x«7，°)U(°，l)恒成立•

［方法三］:利用导数不等式中的常见结论证明

11—x

令w(x)=lnx-(x-l),因为/。)=--1=——,所以火X)在区间(0,1)内是增函数，在区间

XX

(1,+00)内是减函数，所以0(x)49⑴=0,即InxKx-1(当且仅当x=l时取等号).故当x<l

1111XX

且xwO时，--1,即一m(l—x)<—,所以ln(l—X)〉」.

1-x1-x1-x1-x1-xx-1

T1Y-1111

(i)当xe(O,l)时，0>ln(l—x)>—所以言~7<——=1--,即/—7+-<1>

x-lln(I-X)xxIn(l-x)x

所以g(x)<l.

(ii)当X€(-CO,0)时，ln(l-x)>」>0,同理可证得g(x)<L

x-1

x+ln(l-x)<［

综合(i)(ii)得，当xclflxwO时,即g(x)<L

xln(l-x)

【整体点评】(2)方法•利用不等式的性质分类转化分式不等式：、与XE(0,1)时，转化为证

YY

明InQ-x)〉—，当xe(-oo,0)时，转化为证明ln(l-x)>吃，然后构造函数，利用出数

x-1x-1

研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当

xe(O,l)时，x+(I-x)ln(l-x)>0成立和当xe(-co,0)时，x+(l-x)ln(l-x)>0成立，然后换元

构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数

W(x)=lnx-(x-1),利用导数分析单调性，证得常见常用结论InxWx-l(当且仅当x=l时

取等号).然后换元得到分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不

x-1

等式，有一定的巧合性.

6.设函数/(x)=lnx-x+l.

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)证明当XW(l,+8)时，1<—<X;

Inx

(HD设c>l,证明当xw(O,l)时,l+(c-l)x>cv.

【答案】(I)当0<》<1时，/*)单调递增：当x>l时，/(x)单调递减；(11)见解析；(III)

见解析.

【详解】试题分析：(1)首先求出导函数/'(X)，然后通过解不等式/'(0>0或/'(x)<0可

确定函数/(x)的单调性；(II)左端不等式可利用(I)的结论证明，右端将左端的x换为工

X

即可证明；(IID变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处

理.

试题解析：(I)由题设，/㈤的定义域为(0,y)，r(x)=--l,令/'(x)=o,解得x=l.

X

当0。<1时，rw>o,/a)单调递增；当工>1时，/v)<o,/⑴单调递减.

(H)由(I)知，“外在x=l处取得最大值，最大值为/⑴=0.

所以当xwl时，Inx<x-1.

1JY-1

故当x£(L+00)时，Inx<x—11In—<—1,即1<----<x.

xxInx

(III)由题设c〉l,设g(x)=l+(c—l)x—c",则g<x)=c—l—c-nc,令g'(》)=0,

1Ez1

解得丫

当x<x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当X>X°时，g\x)<0,g(x)单调递减.

由(II)知I,1<F<C,故又g(0)=g⑴=0,故当0<x<l时，g(x)>0.

Inc

所以当X£(0,1)时，，l+(c-l)x>cv.

【考点】利用导数研究函数的单调性、不等式的证明与解法

【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：(1)首先通过利用研究函数的单调性，

再利用单调性进行证明；(2)根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或

最值来证明.

题型二：导数中的隐零点问题

【例1】已知函数/(x)=lnx+ax2+(a+2)x(aeR).

⑴若函数/(x)的极大值为0,求实数。的值；

(2)证明:当xe(0,l)时,ev-1Inx-(x2-x)ln(x+1)<0.

【答案】(1)T;(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导数，判断函数单调性，结合函数的极值，求得答案；

(2)利用(1)的结论，将不等式转化为e~(x2-x)-(x2-x)(Inx+l)<0,即证当xe(0,l)时,

ei-ln(x+l)>0,从而构造函数g(x)=ei-ln(x+l),利用导数求得该函数的最值，进而

证明不等式.

【详解】(I)..•函数的定义域为(0,+8),

"(x),+2ax+a+2=2^+«+2)x+l=(2x+l)(ax+l)

XXX

...当“20时，恒成立，/(x)在(0,+8)上单调递增，无极大值.

当a<0时，由"(x)>0解得0<x<-L由/'(x)<0解得x>-L

aa

故在［0,-J上单调递增，在(-1,+8)上单调递减，

所以—■-=1,.二。=—1.

a

(2)证明：由(1)tolnx-x2+x<0,BPlnx<x2-x.

要证当%£(0』)时，ex~]Inx-(x2-x)ln(x+1)<0,

即证e*।(x?—x)—(%?—1)(]nx+/<0,

当xe(0,l)时，x2-xw[-g,0),即证e、T-ln(x+l)>0,

令函数g(x)=e*T-In(x+1),则g<x)=尸_-1-

令〃(x)=g'(x)=ei,

则”(x)=e-+武］>0,所以函数〃(x)在定义域(0,1)上单调递增.

因为〃(0)=2-1<0，刈1)=!>。,

e2

所以函数Mx)在区间(0,1)上存在零点力,使得力优)=0,即e"“二y,

当0cx</时,A(x)<0；当vcxcl时,A(x)>0；

故与为函数g(x)在区间(0,1)上的唯一极小值点，

101+In-~~-=---■--+Inea'f

所以8(力>8(/)=。5-ln(x0+1)=e-

(x°+l)(x0+l)

所以当xe(0,l)时，e'_1lnx-(x2-x)ln(x+l)<0.

【点睛】关键点点睛:要证当x40,l)时,e-1lnx-(x2-x)ln(x+l)<0,利用⑴的结论,

即证e'T(x2-x)-(x2-x)(lnx+1)<0,关键就是再转化为证明e1-ln(x+l)>0,从而构造

函数，利用导数求得函数最值，解决问题.

【例2】已知函数/(x)=；x2-alnx+(l-a)x+l(aeR).

⑴讨论函数〃力的单调性;

(2)当a=l时，求证：/(x)<x(ev-l)+1x2-21nx.

【答案】⑴当aMO时，/(x)在(0,+⑹上为单调递增；当0>0时，/(x)在(0,。)上为单调

递减，在(。,+8)上为单调递增.(2)证明见见解析.

【解析】(1)由已知条件得函数/(x)的定义域为(0,+8),

/，(x)=x'+l-“=’+(1一办一"=(i)(F

XXX

因为x〉0,x+l>0

①当.40时，/'(x)>0在(0,+8)上恒成立，故〃X)在(0,+8)上为单调递增.

②当“>0时，当X>。时，/'(x)〉0,当(0,。)时，/'(x)<0

故f(x)在(0M)上为单调递减，在(d+8)上为单调递增；

综上所述：当aVO时，/(X)在(0,+纥)上为单调递增

当a>0时，/(x)在(OM)上为单调递减，在(。,+8)上为单调递增

(2)当a=1时，/(x)=-^-x2-lnx+1

要证原式成立，需证lnx+14x(e'-l)成立，即需证xe'-lnx-x-lNO成立，

令g(x)=xe'-lnx-x-l(x>0),则g((x)=ex+xev---1=(x+l)(e*」)，

令w(x)=e'-J则/(x)=e'+3>0,故"(x)在(0,+巧上单调递增，

=疵-2<0,w(l)=e-l>0,由零点存在性定理可知，存在使“小)=0,

则在(0,与)±w(x)<0,在(％,+8)上“(x)>0,

即在(0,%)上g'(x)<0,在(％,+8)上g'(x)>0,

则g(x)在(0,x0)上单调递减，在(X。,+8)单调递增，在x=x0处取得最小值，

由“(Xo)=o可得"[)=小-'=0,即e*%=1,

XQ

两边同取对数In(e**)=In1,即x。+Inx0=0,

g(x)的最小值为g(x0)=x()e"-In%-%-1=0,即xex-lnx-x-1>0成立,

故当“=0时，/(x)4x(e、—l)-；f成立

【点睛】

关键点睛：本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数证明不等式.解答本题的关键是

构造函数g(x)=xe'-lnx-x-ia>0),分析其单调性，得出其最小值，从而得出函数在在

x=x0处取得最小值，而%满足e&x°=l,两边同取对数得天+L/二。，从而得出最小值为

0,从而得证.属于难题.

[例3]已知函数/(x)=lnx-xe*+x+m(x>O,/MwR).

⑴若g(x)=/(x)-lnx,求g(x)在[1,2]上的最大值与最小值之差；

(2)若/(“<0,证明:m<\

【答案】(l)2e2-e-1(2)证明见解析

【解析】⑴由题意得g(x)=/(x)Tnx=-xe*+x+/n,xe[l,2],则

g,(x)=-ex(l+x)+l,xe[l,2],

由于尸e*,y=l+x,xe[l,2]都是递增函数，故g'(x)=-e*(l+x)+l,xe[l,2]是递减函数，

则g'(x)=-e'(l+x)+l<g'(l)=-2e+l<0,

故g(x)=re"+x+也XE[1,2]为递减函数，

2

则g(x)max==-e+1+W,g(x)min=g(2)=-2e+2+m,

故g(x)max_g(x)min=y+1+加一(-2e?+2+w)=2e?-e-1；

(2)证明：由/(x)=lnx-xeX+x+m<0,(x>0),

可得机<xex-lnx-x»

设h(x)=xex-Inx-x,h\x)=(x+l)(ex--),

x

令p(x)=e'-L"(x)=e'+4•>(),故>0)=©'-1,。>0)单调递增，

XXX

11

X^(-)=e2-2<0,^(l)=e-l>0,

故存在x°e(：,l),使得e*=,，

2X。

当0<x<x。时，A,(x)=(x+l)(ex--)<0,/?(x)=xe、_lnx_x单调递减，

X

当x>Xo时，h'(x)=(x+l)(ev--)>0,〃(x)=xe，-Inx-x单调递增，

故〃(x)min="(工0)=%01°一卜入0-%=l-ln/-Xo，

,X1

由于e。=—,则=-lnXo,故/7(x)min-In/-/=1-111/一%=1,所以加<1.

xo

【例4】已知函数/(x)=lnx+”.

⑴若曲线N=〃x)在处的切线经过点(0,1),求实数a的值；

(2)若对任意xe(0,+oo),都有(e为自然对数的底)，求证：a<l.

【解析】⑴/'(x)=g,所以/'(1)=1，/(1)=«,

所以曲线N=/(x)在点(1,/。))处的切线方程为丁='+。-1，

因为切线经过点(0,1),所以l=0+a-l,解得a=2.

(2)设g(x)=e""-Inx-a，则g，(x)=e。"-1,

设g'(x())=e'L_'=0,则a=Xo+lnxo，

因为g'(x)在(0,+8)上递增，所以当xe(O,Xo)时，g,(x)<0,当xe(x(),+oo)时，g，(x)>0

所以g(x)在(O,x0)上递减，在(%,+8)上递增,

所以gmin(x)=g(x0)=_In/-a%-2In%NO,

令Mx)=』-x-21nx,则=二―[二=T二x：-2x=_里匚0，所以

XXXXX

Z?(x)=L-x-2Inx在(0,+<»)递减，

因为〃(1)=0，所以与«1,所以+111/41.

【点睛】

关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式,

解题的关键是构造函数g(x)=eA"-lnx-a,利用导数求得

gmin(x)=g(x())=e*LTnXo-〃=--x0-21nx0>0,再利用函数/!(x)=」-x-21nx的单调

xox

性结合人(1)=0可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题.

【例5】设函数/(x)=e'-ax-2.

(1)若曲线V=/(x)在点(OJ(O))处的切线斜率为1,求实数。的值；

(2)求/(x)的单调区间;

(3)若a=l,左为整数，且当x>0时，(x—/)/'(x)+x+l>0恒成立，求上的最大值.

【答案】(1)。=0:(2)答案见解析;(3)最大值为2

【解析】(1)由已知条件得/'(x)=e、-a,

在点(0,/(0))处的切线斜率为k=/'(O)=l-a=l,即a=0,

(2)/(x)的定义域为R,/'(x)=e、-a,

若aWO,则/'(x)>0,则〃x)在R上单调递增；

若a>0,由/''(x)=e*-a>0得x>Ina,由/''(x)=e*-。<0得x<lna,

则〃x)单调递增区间为(Ina,+8),单调递减区间为(一%Ina)；

(3)llla=1得(x—%)/'(x)+x+1=(x—k)(e*—1)+x+1>0,整理得xe*+1>k(e*—1),

X+]

当x>0时，ev-1>0，BPA<——+x(x>0)

e-1

令g(")=>f+x，则g'G)=茨奈+l=e”;I

e-1(e-1)

令〃(x)=e*-x-2,由(2)知，函数〃(x)=e，-x-2在(O,+8)上单调递增，

其中如)<0,〃(2)>0,

•.•由零点存在性定理可知&(x)在(0,+8)上存在唯一的零点％,即e"=%+2,

.,.在(0,&)上心)<0,在(x°,+8)上力(x)>0,

...在(0,%)上g'(x)<0,在(%,+8)上g[x)>0,

.\g(x)在(O,x。)上单调递减，在(X。,+8)上单调递增，

g(x)在(0,+8)上的最小值为g(Xo)=¥[+Xo+=1+Xo，

0

e—1x0+z-1

又/.2<x0+1<3,即2Vg(%)<3,

・・.％K2,且人为整数，，左的最大值2.

【题型专练】

1.已知函数/(x)=-ax2+xInx+2.

⑴若/(x)有两个极值点，求实数。的取值范围；

2

(2)当”=0时，证明：f(x)>x一一.

X

【答案】⑴(0,g)；(2)证明见解析

【解析】(1)/(x)的定义域为(0,«»),r(x)=lnx-2«x+l,由题意/'(x)=0在(0,+⑼上有

两解，

即Inx-2ax+1=0,即2。=^^•有两解.

X

令g(x)=小土(X>0),即g(x)的图象与直线y=2a有两个交点.

X

—In丫

g，a)=_^^=0,得工=1,当xe(0,l)时,gr(x)>0,g(x)递增；

x

当X€(l,+oo)时，g'(x)<0,g(x)递减，:.ga)1rax=g(l)=l,g(；)=0,

X-0时，g(x)f-00；Xf+oo时，g(x)fO,

.•.0<2“<l,的取值范围是(0,；).

22

(2)当Q=0时，/(x)=xlnx+2,艮|J证xlnx+2〉x—,艮|J证xlnx+2—x+—>。，

XX

22914

^A(x)=xlnx+2-x+—(x>0),h\x)=Inx——-,令m(x)=lnx——,贝lj?w'(x)=一+-y,

xx"xxxr

当x〉0时，加(x)>0,「"(x)在(0,+8)递增.

7

力'(1)=—2<0,h'(Q)=1—z->0,

e

2

二存在唯一的X。e(1,e),使得〃'(x0)=lnx0—r=o,

当天£(0,玉))时，h\x)<0,〃(x)递减；

当%£(%,+00)时，h\x)>0,心)递增，.•.心濡=贴0).

2

又・・•％o€(l,e),〃'(%)=0,伍工。-h=°，

0

27244

/I(XQ)=XQInXQ+2—XQH—=—F2—XQ+—=2—XQH—>2-€4—>0,

XQXQXQXQ6

h(x)>0,y(x)>x—

2.已知函数/(x)=x+2-(a-2)lnx(aeR),g(x)=(Z>-l)x---xev.

⑴判断函数/(x)的单调性；

(2)当。=1时，关于x的不等式〃x)+g(x)4-1恒成立，求实数6的取值范围.

【答案】⑴答案见解析；(2)(—』.

【解析】⑴/(X)的定义域为(0,+8),求导得：

“、i2aa-2x2+(2-a)x-2a(x+2)(x-tz)

JW=\-------=--------------=-----w-----，

XXXX

若。40时，则/(力>0,此时“X)在(0,+R)单调递增;

若。〉0时，则当0<x<〃时，(“<0,/.")在(0,。)单调递减，

当x〉a时，/'(x)>0,/⑴在(见+8)单调递增.

(2)当Q=]时，/(x)+g(x)=Z?x+lnx-xex,

由题意b4e，-皿-L在(0,+8)上恒成立，

XX

Aj(\Inx1、丫1-lnx1We"+lnx

令〃(x)=e*t--------,则ri]ll/(力=廿------=----——，

XXXXX

令〃(x)=x2e'+lnx,则/(x)=(x2+2x)e'+L>0,所以〃(x)在(0,+8)上递增,

又"(l)=e>0,"(；J=q^ln2<0,所以"(x)在(；,1)上有唯一零点七,

由"(x0)=0得

所

当X£(0,z)时,〃(x)<0即“(“<0,〃(x)单调递减；

X£(%,+00)时，〃(x)>0即7(力>0,〃(x)单调递增，

所以〃(%)为〃(x)在定义域内的最小值.

即〃。小〃(/六十一竺-P

人040

令人(工)=xe"(；<X<1),则方程ex'=-等价于M%)=%(-1n，

又易知Mx)单调递增，所以x=—Inx,BPev=-

x

所以，〃(X)的最小值〃(Xo)=e%-g-'