初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习4.1 指数（教师版）

第四章《指数函数与对数函数》4.1指数【知识梳理】知识点一根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))知识点二分数指数幂正数的正分数指数幂，＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．知识点三指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr；(a>0，b>0，r，s∈R)．【基础自测】1．已知eq\r(a－b2)＝a－b，则()A．a>b B．a≥bC．a<b D．a≤b【答案】B【详解】eq\r(a－b2)＝|a－b|＝a－b，所以a－b≥0，所以a≥b，故选B.2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A．－eq\r(x)＝(x>0)B.eq\r(6,y2)＝(y<0)C．＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x>0)D．＝－eq\r(3,x)(x≠0)【答案】C【详解】－eq\r(x)＝(x>0)；eq\r(6,y2)＝＝(y<0)；＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x>0)；＝eq\r(3,\f(1,x))(x≠0)．3．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则等于()A．9＋eq\r(5)B．eq\f(45,2)C．9eq\r(5)D．6eq\r(5)【答案】C【详解】＝(ax)2·(ay)＝32·5＝9eq\r(5).4．化简eq\r(1－a2)·eq\r(4,\f(1,a－13))＝________.【答案】eq\r(4,a－1)【详解】要使原式有意义，则a－1>0.eq\r(1－a2)·eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)))3)＝|1－a|·＝(a－1)·＝＝eq\r(4,a－1).5．计算：－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋eq\r(4,3－π4)＋＝______.【答案】π＋8【详解】原式＝－1＋|3－π|＋＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.【例题详解】一、n次方根的概念例1(1)下给出下列4个等式：①；②；③若a∈R，则；④设n∈N*，则，其中正确的个数是（

）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】根据根式与指数式的意义及性质求解即可．【详解】①中，所以①错误；②错误；③因为恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确；④若n为奇数，则，若n为偶数，则，所以当n为偶数时，时不成立，所以④错误．故选：B．(2)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＝______，a＋b＝______.【答案】±9；或7【分析】利用n次方根的概念即得.【详解】因为81的平方根为，所以a＝.又因为－8的立方根为，所以b＝.所以a＋b＝－11或a＋b＝7.故答案为：±9；或7.跟踪训练1(1)已知x7＝8，则x等于()A．2eq\r(2)B.eq\r(7,8)C．－eq\r(7,8)D．±eq\r(7,8)【答案】B【详解】因为7为奇数，8的7次方根只有一个eq\r(7,8).(2)若eq\r(4,2x＋5)有意义，则x的取值范围是________；若eq\r(5,2x＋5)有意义，则x的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，＋∞))R二、利用根式的性质化简或求值例2(1)化简·的结果为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】结合指数幂的运算性质，可求出答案.【详解】由题意，可知，∴·.故选：A.(2)把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据二次根式的性质得出，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可.【详解】，即，，.故选：A.(3)求下列各式的值；(=1\*romani)；(=2\*romanii)．【答案】(=1\*romani)(=2\*romanii)【分析】分析：(=1\*romani)利用进行化简，求得答案；(=2\*romanii)先将式子和化成完全平方式，再化简，即得答案.【详解】(=1\*romani)=．(=2\*romanii)原式=因为，所以，当，即时，当，即时，,所以.跟踪训练2(1)=__________.【答案】【分析】根据与分类讨论化简即可求解.【详解】当时，；当时，.所以.故答案为：(2)化简：(=1\*romani)eq\r(4,3－π4)；(=2\*romanii)eq\r(a－b2)(a>b)；(=3\*romaniii)(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3).【详解】(1)eq\r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3.(2)∵a>b，∴eq\r(a－b2)＝|a－b|＝a－b.(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.三、根式与分数指数幂的互化例3(1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解.【详解】解：对A：，故选项A错误；对B：，故选项B正确；对C：，不能化简为，故选项C错误；对D：因为，所以，故选项D错误.故选：B.(2)若有意义，则的取值范围是（

）A． B．∪C． D．【答案】D【分析】将指数幂化为分式，利用分式有意义可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，解得.故选：D.(3)已知，为正数，化简_______．【答案】【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果.【详解】原式．故答案为：．跟踪训练3(1)下列式子的互化正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析.【详解】根据分数指数幂的运算可知，，，，，故选：C(2)把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式（式中字母均为正实数）．=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．【分析】直接利用根式与指数的互化公式求解.【详解】=1\*GB3①．=2\*GB3②．=3\*GB3③．=4\*GB3④．【点睛】本题主要考查根式与指数的互化，属于基础题.四、运用指数幂运算公式化简求值例4计算或化简下列各式：（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；（2）－10(－2)－1＋()0.【答案】（1）－a；（2）－.【分析】直接根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】(1)原式(2)原式＝＋10－10－20＋1＝－.跟踪训练4求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）利用指数幂的运算性质化简计算即得；（4）利用根式与分数指数幂互化，利用指数幂的运算性质化简计算.【详解】(1)原式；(2)原式；(3)原式；(4)原式.五、分数指数幂运算的综合应用例5已知，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【答案】(1)7；(2)47；(3)【分析】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得的值；(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得的值；(3)首先利用立方差公式可得，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.【详解】（1）将两边平方，得，所以．（2）将两边平方，得，所以．（3）∵，，，∴，∴．跟踪训练5化简，求值：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)已知，求值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）可将平方后展开，可利用已知代入最后开方得到结果（2）直接将已知条件两边平方，可得结果（3）将已知条件平方可得到的值，再将平方可得到的值，配合立方和公式将上述值分别代入可得结果【详解】（1）依题意，可知，则，所以．（2）因为，两边平方后得所以（3），两边平方可得，所以．．所以=【课堂巩固】1．下列说法正确的个数是（）①49的平方根为7；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.【详解】49的平方根是，故①错误；，故②正确；，故③错误；，故④错误．故选:A．2．在①eq\r(4,－42n)；②eq\r(4,－42n＋1)，③eq\r(5,a4)，④eq\r(4,a5)中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是()A．①② B．①③C．①②③④ D．①②④【答案】B3．化简的结果是（

）A．0 B． C．0或 D．【答案】C【分析】根据指数幂的运算化简，然后根据的大小关系讨论即可.【详解】．当时，原式；当是，原式．故选:C．4．将表示成分数指数幂，其结果是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果.【详解】.故选：C.5．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据根式与指数幂的运算性质，化简得到，即可求解.【详解】根据根式和指数幂的运算性质，因为，可化为，即，可得，所以，即．故选：B.6．计算：(1)()2＝____；(2)()3＝___；(3)＝____;

(4)＝___；(5)＝_____

(6)＝____；(7)＝____;

(8)＝____.【答案】11-82/3/1.5【分析】（1）当n为偶数时，；（2）当n为奇数时，；（3）化为分数指数幂进行计算；（4）当n为偶数时，；（5）当n为偶数时，；（6）化为分数指数幂进行计算；（7）化为分数指数幂进行计算；（8）化为分数指数幂进行计算.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.故答案为：11；-8；；2；；3；；7．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1－4·(－2)－3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))0－＝________.【答案】eq\f(19,6)【详解】原式＝2－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))＋1－eq\f(1,3)＝2＋eq\f(1,2)＋1－eq\f(1,3)＝eq\f(19,6).8．化简eq\r(1－a2)·eq\r(4,\f(1,a－13))＝________.【答案】eq\r(4,a－1)【详解】要使原式有意义，则a－1>0.eq\r(1－a2)·eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)))3)＝|1－a|·＝(a－1)·＝＝eq\r(4,a－1).9．若10x＝，10y＝eq\r(4,27)，则102x－y＝________.【答案】eq\f(1,3)【详解】102x－y＝(10x)2÷10y＝÷eq\r(4,27)＝10．设f(x)＝eq\r(x2－4)，若0<a≤1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＝________.【答案】eq\f(1,a)－a【详解】feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2－4)＝eq\r(a2＋\f(1,a2)－2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))，因为0<a≤1，所以a≤eq\f(1,a)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＝eq\f(1,a)－a.11．计算下列各式，式中字母均为正数．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】(1)根据指数式的乘法运算律即可求解；(2)根据指数式的乘法运算律和指数幂的运算律即可求解；【详解】（1）原式；（2）原式．12．计算下列各式：(1).(2).(3)已知，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)利用实数指数幂的运算法则直接计算作答.(2)利用实数指数幂的运算法则结合单项式的除法法则直接计算作答.(3)将给定等式两边平方直接计算即可作答.【详解】（1）原式.（2）原式.（3）因，两边平方得，所以.【课时作业】1．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据根式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：C.2．化简得（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合指数函数的运算法则以及根式与指数幂的转换即可求出结果.【详解】因为，所以，故选：D.3．化简(其中，)的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算即得.【详解】因，，所以.故选：C4．若，则的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将两边同时平方，化简即可得出结果.【详解】，而，故选：.5．若正数，满足，，则（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】根据根式的性质求出，，即可得解.【详解】解：因为正数，满足，，所以，，所以；故选：C6．式子的计算结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.【详解】.故选：D.7．下列各式中成立的一项（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.8．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把等式左边变形为，结合，可得，则答案可求.【详解】解：由，可得，即．实数的取值范围是．故选：．9．（多选）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用根式的运算直接求解.【详解】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确；当n为奇数时，则，故B，D选项中的式子正确.故选：BD.10．（多选）若，化简的结果可能（

）A． B．. C． D．【答案】AC【分析】解不等式求的范围，结合根式的性质化简代数式即可【详解】由化简可得，所以，所以或，又，所以，当时，，当时，，故选：AC.11．计算：___________．【答案】6【分析】根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，可得．故答案为：12．化简=________.【答案】a-1【分析】根据根式的性质即可求解.【详解】由知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.故答案为：a-113．化简___________【答案】【分析】将根式化成指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；【详解】解：.故答案为：14．若代数式有意义，则__________.【答案】8【分析】由已知代数式有意义确定的范围，结合根式的运算性质化简目标式求其值.【详解】因为代数式有意义，所以且，故，所以，故答案为：8.15．将下列根式化成分数指数幂的形式.（1）(a>0)；（2）；（3）(b>0).【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解；（2）将根式化