2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第9节 函数模型及其应用含答案

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第9节函数模型及其应用含答案第九节函数模型及其应用课标解读考向预测1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.近三年高考考查函数模型及应用，一般出现在选择题和填空题中，难度中档偏上．预计2025年高考会考查指数函数模型或对数函数模型在生活实际中的应用，以选择题的形式出现.必备知识——强基础1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)2.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调eq\x(\s\up1(01))递增单调eq\x(\s\up1(02))递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与eq\x(\s\up1(03))y轴平行随x的增大逐渐表现为与eq\x(\s\up1(04))x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax3.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．()(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．()答案(1)×(2)√(3)×2．小题热身(1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)答案B解析在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.(2)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元 B．60万元C．80万元 D．120万元答案D解析当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)．故选D.(3)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝()A．ln2 B．ln3C.eq\f(ln2,5) D.eq\f(ln3,5)答案C解析由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝eq\f(ln2,5).故选C.(4)某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，,2x＋10，10<x<100，,1.5x，x≥100，))x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________．答案75解析令y＝160，若4x＝160，则x＝40＞10，不符合题意；若2x＋10＝160，则x＝75，符合题意；若1.5x＝160，则x＝eq\f(320,3)∉N*，不符合题意．故拟录用人数为75.考点探究——提素养考点一用函数图象刻画实际问题例1中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律？()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝max＋n(m>0，0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)答案B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0<a<1.故选B.【通性通法】(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．(2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养．【巩固迁移】1.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是()A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物eq\f(1,8)小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5eq\f(31,32)小时答案ACD解析将点M的坐标代入y＝kt，可得k＝4，将点M的坐标代入y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－a)可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－a)＝4，解得a＝3，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t，0<t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t>1，))A正确；当0<t≤1时，由y＝4t≥eq\f(1,8)可得t≥eq\f(1,32)，此时eq\f(1,32)≤t≤1；当t>1时，由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－3)≥eq\f(1,8)可得t≤6，此时1<t≤6.故不等式y≥eq\f(1,8)的解为eq\f(1,32)≤t≤6，所以注射一次治疗该病的有效时间长度为6－eq\f(1,32)＝5eq\f(31,32)小时，B错误，D正确；注射该药物eq\f(1,8)小时后每毫升血液中的含药量为4×eq\f(1,8)＝0.5(微克)，故C正确．故选ACD.考点二根据给定的函数模型解决实际问题例2(1)某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为()A．100元 B．150元C．200元 D．250元答案B解析因为y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210＝－eq\f(1,25)(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值．故选B.(2)(2024·福建福州高三质量检测)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x(单位：万元)的Logistic模型：P(x)＝eq\f(e－0.9680＋kx,1＋e－0.9680＋kx)，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为(精确到0.01万元，参考数据：ln3≈1.0986，ln2≈0.6931)()A．4.65万元 B．5.63万元C．6.40万元 D．10.00万元答案A解析由题意，得P(8)＝eq\f(e－0.9680＋8k,1＋e－0.9680＋8k)＝50%＝eq\f(1,2)，整理，得e－0.9680＋8k＝1，即－0.9680＋8k＝0，解得k＝0.121，所以P(x)＝eq\f(e－0.9680＋0.121x,1＋e－0.9680＋0.121x).令P(x)＝eq\f(e－0.9680＋0.121x,1＋e－0.9680＋0.121x)＝40%＝eq\f(2,5)，得5e－0.9680＋0.121x＝2(1＋e－0.9680＋0.121x)，整理，得e－0.9680＋0.121x＝eq\f(2,3)，两边取自然对数，得－0.9680＋0.121x＝lneq\f(2,3)，解得x＝eq\f(ln2－ln3＋0.9680,0.121)≈4.65.故选A.【通性通法】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．【巩固迁移】2．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2答案ACD解析解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(10)p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.解法二：因为Lp＝20×lgeq\f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up7(\f(Lp,20))，因为Lp3＝40，所以p3＝p010eq\s\up7(\f(20,40))＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010eq\s\up7(\f(Lp2,20))＞10p010eq\s\up7(\f(Lp3,20))，所以10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp3,20))＞10，所以Lp2－Lp3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为eq\f(100p2,p1)＝＝10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp1,20))＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.3．某品牌汽车的月产量y(单位：万辆)与月份x(3<x≤12且x∈N)满足函数关系式y＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)＋b，现已知该品牌汽车今年4月、5月的产量分别是1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车7月的产量为________万辆．答案1.875解析依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b＝1，,\f(1,4)a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))于是得y＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)＋2，当x＝7时，y＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋2＝1.875，所以该品牌汽车7月的产量为1.875万辆．考点三通过构建函数模型解决实际问题(多考向探究)考向1构建二次函数模型例3(2024·湖南永州高三摸底)A，B两城相距100km，在两城之间距A城xkm处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解(1)由题意，知x的取值范围为[10，90]．(2)y＝0.25×20×x2＋0.25×10×(100－x)2＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000，∴y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000(10≤x≤90)．(3)y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3)，∴当x＝eq\f(100,3)时，ymin＝eq\f(50000,3).∴核电站建在距A城eq\f(100,3)km处，供电总费用最少．【通性通法】二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错．【巩固迁移】4．(2023·河北张家口高三期末)江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13500元，到第x年年末(x∈N*)每台设备的累计维修保养费用为(300x2＋3200x)元，每台充电桩每年可给公司收益8000元．(eq\r(19)≈4.36)(1)求每台充电桩第几年年末开始获利；(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大？解(1)设每台充电桩在第x年年末的利润为f(x)元，则f(x)＝8000x－(300x2＋3200x)－13500＝－300x2＋4800x－13500，令f(x)>0，解得8－eq\r(19)<x<8＋eq\r(19)，又eq\r(19)≈4.36，∴3.64<x<12.36，∵x∈N*，∴每台充电桩从第4年年末开始获利．(2)设g(x)为每台充电桩在第x年年末的年平均利润，则g(x)＝eq\f(f(x),x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300x＋\f(13500,x)))＋4800.∵y＝300x＋eq\f(13500,x)在(0，3eq\r(5))上单调递减，在(3eq\r(5)，＋∞)上单调递增，∴g(x)在(0，3eq\r(5))上单调递增，在(3eq\r(5)，＋∞)上单调递减，又x∈N*，3eq\r(5)≈6.708，g(6)＝750，g(7)≈771，∴g(7)>g(6)，∴每台充电桩在第7年年末时，年平均利润最大．考向2构建指数函数、对数函数模型例4牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．(精确到1分钟，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)答案188解析设经过x个周期后细菌含量超标，即3000×2x>2000000，即2x>eq\f(2000,3)，所以x>log2eq\f(2000,3)＝eq\f(lg2000－lg3,lg2)＝eq\f(lg2＋3－lg3,lg2)≈9.4，而20×9.4＝188，因此经过188分钟就不宜再饮用．【通性通法】(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．求解时可利用指数运算与对数运算的关系．(2)利用指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．【巩固迁移】5．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精确到0.1h)答案2.3解析设应在病人注射这种药经过x小时后再向病人的血液补充这种药，则2500(1－20%)x＝1500，整理可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(x)＝eq\f(3,5)，所以x＝logeq\s\up-7(\f(4,5))eq\f(3,5)，又logeq\s\up-7(\f(4,5))eq\f(3,5)＝logeq\s\up-7(\f(8,10))eq\f(6,10)＝eq\f(lg\f(6,10),lg\f(8,10))＝eq\f(lg6－1,lg8－1)＝eq\f(lg2＋lg3－1,3lg2－1)≈2.3，所以x≈2.3.故从现在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．考向3构建分段函数模型例5响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋eq\f(100,x)－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得，当0<x<8时，P(x)＝6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋2x))－2＝－eq\f(1,3)x2＋4x－2；当x≥8时，P(x)＝6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(100,x)－37))－2＝35－x－eq\f(100,x).故P(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－2，0<x<8，,35－x－\f(100,x)，x≥8.))(2)当0<x<8时，P(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋10.此时，当x＝6时，P(x)取得最大值，为10.当x≥8时，P(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝15eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\f(100,x)，即x＝10时取等号)).此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，为15.因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．【通性通法】(1)在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．(2)分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．【巩固迁移】6．某企业自主开发出一款新产品A，计划在2025年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品．通过市场分析知，在2025年该企业每生产x千件A产品，需另投入生产成本R(x)千元，且R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋60x，0<x≤10，,70x＋\f(1800,x)－230，10<x≤40.))(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(单位：元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；(总成本＝研发成本＋生产成本)(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元，求其年生产值x(单位：千件)的取值区间？解(1)由题知生产x千件的总成本为(R(x)＋50)千元，故生产一件的平均成本为eq\f(R(x)＋50,x)元，所以p(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋60＋\f(50,x)，0<x≤10，,70＋\f(1800,x2)－\f(180,x)，10<x≤40，))当x∈(0，10]时，p(x)＝eq\f(1,2)x＋60＋eq\f(50,x)单调递减，故最小值为p(10)＝70，当x∈(10，40]时，p(x)＝1800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,20)))eq\s\up12(2)＋65.5，故最小值为p(20)＝65.5，因为70>65.5，所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元．(2)由(1)知，要使p(x)≤66，只需考虑x∈(10，40]，即70＋eq\f(1800,x2)－eq\f(180,x)≤66，结合x>0，整理得x2－45x＋450≤0，解得15≤x≤30，所以当x∈[15，30]时，生产一件A产品的平均成本不超过66元．课时作业一、单项选择题1．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了()A．0.33米 B．0.42米C．0.39米 D．0.43米答案B解析该女生训练前立定跳远距离为1.84－0.03×eq\f(90－70,5)＝1.72(米)，训练后立定跳远距离为1.84＋0.1×eq\f(105－90,5)＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．故选B.2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录x0.10.120.15…11.21.52.0五分记录y4.04.14.2…55.15.25.3现有如下函数模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋eq\f(1,10)lgeq\f(1,x)，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)()A．0.3 B．0.5C．0.7 D．0.8答案B解析由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lgx，令y＝5＋lgx＝4.7，解得x＝10－0.3≈0.5.故选B.3．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)与增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lg(t＋1))，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝eq\f(1,6)P.已知某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg61≈1.79)()A．440分 B．460分C．480分 D．500分答案B解析由题意得，f(60)＝eq\f(kP,1＋lg61)＝eq\f(1,6)P，∴k＝eq\f(1＋lg61,6)≈eq\f(2.79,6)＝0.465，∴f(100)≈eq\f(0.465×400,1＋lg101)＝eq\f(186,1＋lg100＋lg1.01)≈eq\f(186,3)＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分)．故选B.4．(2024·云南昆明高三模拟)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝eq\f(1000v,0.7v＋0.3v2＋d0)，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为()A．135 B．149C．165 D．195答案B解析由题意得，N＝eq\f(1000v,0.7v＋0.3v2＋30)＝eq\f(1000,0.7＋0.3v＋\f(30,v))≤eq\f(1000,0.7＋2\r(0.3×30))≈149，当且仅当0.3v＝eq\f(30,v)，即v＝10时取等号，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.5．(2024·江苏沭阳如东中学高三模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0Deq\f(G,G0)，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3010)()A．72 B．74C．76 D．78答案B解析由题意，得L＝0.5×Deq\s\up7(\f(G,18))，则0.4＝0.5×Deq\s\up7(\f(18,18))，解得D＝eq\f(4,5)，则L＝0.5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(\f(G,18))，由L＝0.5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(\f(G,18))<0.2，得G>18logeq\s\up-7(\f(4,5))eq\f(2,5)＝eq\f(18(lg5－lg2),lg5－2lg2)＝eq\f(18(1－2lg2),1－3lg2)≈73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为74.故选B.6．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为()A．72小时 B．36小时C．24小时 D．16小时答案A解析当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，则eq\f(e6a＋b,e24a＋b)＝eq\f(216,8)＝27，整理可得e6a＝eq\f(1,3)，于是eb＝216×3＝648，当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝eq\f(1,9)×648＝72.故选A.7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：贝尔)，即L＝lgeq\f(I,I0).取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(单位：分贝)与喷出的泉水高度x(单位：m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70m，60m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为()A．10 B．100C．200 D．1000答案B解析设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lgeq\f(I1,10－12)，120＝10lgeq\f(I2,10－12)，两式相减即得20＝10lgeq\f(I1,I2)，即lgeq\f(I1,I2)＝2，从而eq\f(I1,I2)＝100，所以n的值约为100.故选B.8．(2024·山东德州高三期末)已知某品牌手机电池充满时的电量为4000(单位：毫安时)，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电400(单位：毫安时)；模式B：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的eq\f(1,2t)倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过2.5%的电量，则x的可能取值为()A．4.6 B．5.8C．7.6 D．9.9答案C解析模式A在待机t小时后电池内电量为y＝－400t＋4000，设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为y＝eq\f(1,2t)Q，则该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，其在待机10小时后的电量为eq\f(1,210－x)(－400x＋4000)，由eq\f(1,210－x)(－400x＋4000)>4000×2.5%＝100，得4(10－x)>210－x，根据选项，当x＝4.6时，4×(10－4.6)＝21.6<210－4.6＝25.4≈42.2；当x＝5.8时，4×(10－5.8)＝16.8<210－5.8＝24.2≈18.4；当x＝7.6时，4×(10－7.6)＝9.6>210－7.6＝22.4≈5.3；当x＝9.9时，4×(10－9.9)＝0.4<210－9.9＝20.1≈1.1.故x的可能取值为7.6.二、多项选择题9．(2024·江苏常州高三月考)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝eq\f(m,x－20)－x＋40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015.假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，下列说法正确的是()A．实数m的值为10000B．销售单价越低，直播在线购买人数越多C．当x的值为30时，利润最大D．利润的最大值为10000答案ABC解析将x＝25，y＝2015代入y＝eq\f(m,x－20)－x＋40，可得2015＝eq\f(m,25－20)－25＋40，解得m＝10000，故A正确；易知y＝eq\f(10000,x－20)－x＋40(20<x<100)单调递减，故B正确；由题意可得所得利润为f(x)＝(x－20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10000,x－20)－x＋40))＝－x2＋60x＋9200＝－(x－30)2＋10100，所以当x＝30时，利润最大，最大利润为10100元，故C正确，D错误．故选ABC.10.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是()A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝eq\f(1,15)x答案BD解析甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正确．故选BD.三、填空题11．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：x22.99456.002y48.0215.993264.01现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y＝2x；②y＝eq\f(1,2)(x2－1)；③y＝log2x；④y＝2x，其中最接近的一个是________(只填序号)．答案④解析x22.99456.002y48.0215.993264.01①y＝2x45.9881012.004②y＝eq\f(1,2)(x2－1)1.53.977.51217.51③y＝log2x11.5822.322.59④y＝2x47.94163264.09由表格数据可知其中最接近的一个是④y＝2x.12.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大．答案5解析根据题意得，抛物线的顶点为(6，11)，过点(4，7)，开口向下，设二次函数的解析式为y＝a(x－6)2＋11(a<0)，所以7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润eq\f(y,x)＝eq\f(－(x－6)2＋11,x)＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤12－2eq\r(25)＝2，当且仅当x＝eq\f(25,x)，即x＝5时取等号．13．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C＝In·t，其中n＝logeq\s\up-7(\f(3,2))2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10A时，放电时间t＝57h，则当放电电流I＝15A时，放电时间为________h.答案28.5解析根据题意可得C＝57×10n，则当I＝15A时，57×10n＝15n×t，所以t＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))logeq\s\up-7(\f(3,2))2＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))logeq\s\up-7(\f(3,2))eq\s\up7(\f(1,2))＝28.5h，即当放电电流I＝15A时，放电时间为28.5h.14．为了响应党和国家节能减排的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144），,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]，))为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量x为________吨．答案400解析由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144），,\f(1,2)x－200＋\f(80000,x)，x∈[144，500]，))当x∈[120，144)时，S＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040，当x＝120时，S取得最小值240；当x∈[144，500]时，S＝eq\f(1,2)x－200＋eq\f(80000,x)≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，当且仅当eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400时取等号，此时S取得最小值200.由于200<240，故所求处理量为400吨．四、解答题15．(2023·河北保定高三模拟)某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)与y＝peq\r(x)＋q(p>0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；(2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48，精确到1月)解(1)∵函数y＝k·ax(k>0，a>1)中，y随x的增长而增长的速度越来越快，而函数y＝peq\r(x)＋q(p>0)中，y随x的增长而增长的速度越来越慢，根据已知条件应选y＝k·ax(k>0，a>1)更合适．由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k·a2＝18，,k·a3＝27，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,k＝8.))∴该模型的函数解析式为y＝8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)(x∈N)．(2)由(1)知，当x＝0时，y＝8，∴原先投放的此生物的面积为8平方米．设经过x个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍，∴8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)＝8×1000，解得x＝eq\f(lg1000,lg3－lg2)≈eq\f(3,0.48－0.30)≈17，∴约经过17个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍．16．(多选)(2024·广东东莞入学考试)牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是θ0(单位：℃)，环境温度是θ1(单位：℃)，其中θ0>θ1，则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)·e－kt(k∈R且k>0)．现有一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是(参考数据：ln2≈0.7)()A．若f(3)＝50℃，则f(6)＝35℃B．若k＝eq\f(1,10)，则红茶下降到50℃所需的时间大约为7分钟C．若f′(3)＝－5，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5℃的速率下降D．红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多答案ABC解析由题知θ＝f(t)＝20＋60e－kt，若f(3)＝50℃，即50＝20＋60e－3k，所以e－3k＝eq\f(1,2)，则f(6)＝20＋60e－6k＝20＋60(e－3k)2＝20＋60×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝35℃，A正确；若k＝eq\f(1,10)，则20＋60e－eq\f(1,10)t＝50，则e－eq\f(1,10)t＝eq\f(1,2)，两边同时取对数得－eq\f(1,10)t＝lneq\f(1,2)＝－ln2，所以t＝10ln2≈7，所以红茶下降到50℃所需的时间大约为7分钟，B正确；f′(3)表示t＝3处的函数值的变化情况，若f′(3)＝－5<0，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5℃的速率下降，故C正确；f(t)为指数型函数，如图，可得红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间(t2－t1)比从60℃下降到40℃所需的时间(t3－t2)少，故D错误．故选ABC.17．(多选)(2024·江苏常州一中期初检测)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M＝lgeq\f(Amax,A0)(其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E(单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E＝104.8×101.5M，其中M为地震震级．下列说法正确的是()A．若地震震级M增加1级，则最大振幅Amax增加到原来的10倍B．若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍C．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的10eq\r(10)倍D．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的1000倍答案AC解析因为M′＝M＋1＝1＋lgeq\f(Amax,A0)＝lgeq\f(10Amax,A0)，所以A′max＝10Amax，故A正确；因为E′＝104.8×101.5M′＝104.8×101.5(M＋1)＝104.8×101.5M＋1.5＝101.5E，故B错误；因为lgeq\f(10Amax,A0)＝M＋1＝M′，E′＝104.8×101.5M′＝104.8×101.5(M＋1)＝104.8×101.5M＋1.5＝101.5E＝10eq\r(10)E，故C正确，D错误．故选AC.双变量的“存在性或任意性”问题，是高考的热点之一，尤其在函数、导数、不等式中出现较多．解决此类问题的关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系或两个函数最值的大小比较．类型一形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在A上的值域是g(x)在B上的值域的子集．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)在区间A上的任意一个函数值都等于函数y＝g(x)在区间B上的某一个函数值，即函数y＝f(x)在区间A上的函数值都在函数y＝g(x)在区间B上的值域之中．例1已知幂函数f(x)＝(a2－3)xeq\s\up7(\f(1,2))a2＋a－2在(0，＋∞)上单调递减，函数h(x)＝3x＋m，对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，2]，使得f(x1)＝h(x2)，则m的取值范围为________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－8，－\f(26,9)))解析∵f(x)＝(a2－3)xeq\s\up7(\f(1,2))a2＋a－2是幂函数，∴a2－3＝1，即a＝±2，又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则eq\f(1,2)a2＋a－2<0，可得a＝－2，∴f(x)＝x－2＝eq\f(1,x2)，∴f(x)在[1，3]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，1)).又h(x)在[1，2]上的值域为[3＋m，9＋m]，根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9＋m≥1，,3＋m≤\f(1,9)，,))解得－8≤m≤－eq\f(26,9)，∴m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－8，－\f(26,9))).理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是等价转化为求值域，即函数f(x)在区间A上的值域是g(x)在区间B上的值域的子集，若改为∃x1∈A，∀x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)，则函数g(x)在区间B上的值域是f(x)在区间A上的值域的子集．1．设函数f(x)＝eq\f(4x,2x－1)－2，g(x)＝x2－ax＋1，若∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，2]，f(x1)＝g(x2)，求正实数a的取值范围．解f(x)＝eq\f(4x,2x－1)－2＝eq\f((2x)2－1＋1,2x－1)－2＝2x－1＋eq\f(1,2x－1)，设t＝2x－1，x∈[1，2]，则t∈[1，3]，又y＝t＋eq\f(1,t)在[1，3]上单调递增，则2≤y≤eq\f(10,3)，即f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).设当x∈[1，2]时，函数g(x)的值域为A，由题意知eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))⊆A.又g(x)图象的对称轴为直线x＝eq\f(a,2)>0，当eq\f(a,2)≤1，即0<a≤2时，g(x)在[1，2]上单调递增，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(1)≤2，,g(2)≥\f(10,3)，,))解得0<a≤eq\f(5,6)；当1<eq\f(a,2)<2，即2<a<4时，g(x)在[1，2]上的最大值为g(1)，g(2)中的较大者，而g(1)＝2－a<0且g(2)＝5－2a<1，不符合题意；当eq\f(a,2)≥2，即a≥4时，g(x)在[1，2]上单调递减，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(1)≥\f(10,3)，,g(2)≤2，,))满足条件的a不存在．综上，正实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,6))).类型二形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”∃x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在区间A上的值域与g(x)在区间B上的值域的交集不空．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)在区间A上的某一个函数值等于函数y＝g(x)在区间B上的某一个函数值，即两个函数有相等的函数值．例2已知函数f(x)＝2x，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，若存在x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))及x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围．解由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－2k，2－\f(3k,2)))，并且两个值域有公共部分．若两个值域没有公共部分，则2－2k>1或2－eq\f(3,2)k<0，解得k<eq\f(1,2)或k>eq\f(4,3)，所以要使两个值域有公共部分，实数k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3))).本类问题的实质是“函数f(x)在区间A上的值域与g(x)在区间B上的值域的交集不为空集”，本例利用补集思想可简化运算．2．已知函数f(x)＝eq\f(\r(3－x),ex)，g(x)＝ax3－1(a>0)．若∃x1∈[2，3]，∃x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．解由f(x)＝eq\f(\r(3－x),ex)在[2，3]上单调递减，得f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2)))，由g(x)＝ax3－1(a>0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递增，得g(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)a－1，a－1))，若f(x)的值域与g(x)的值域的交集为∅，则