河北省保定名校协作体2024届高三五月适应性考试（三模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定名校协作体2024届高三五月适应性考试（三模）数学试题一､单项选择题1.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故选:C2.函数（）A.是偶函数，且在区间上单调递增 B.是偶函数，且在区间上单调递㺂C.奇函数，且在区间上单调递增 D.既不是奇函数，也不是偶函数〖答案〗A〖解析〗的定义域为，，为偶函数；当时，在区间上单调递增.故选：A.3.如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗元件都不正常的概率，则元件至少有一个正常工作的概率为，而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生，所以这个电路是通路的概率.故选：B4.已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗先判断充分性：，令，则数列的偶数项成等差数列，令，则数列的奇数项成等差数列，但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，∴“”不是“数列是等差数列”的充分条件；再判断必要性：若数列是等差数列，则，，∴“”是“数列是等差数列”的必要条件；综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件.故选：B.5.已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，因为，所以，所以，即，所以.故选：D．6.设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线，则的坐标为，而，则直线的斜率为.故选：C．7.若函数在区间上是减函数，且，，，则（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由题知，因为，，所以，又因为在区间上是减函数，所以，两式相减，得，因为，所以.故选：A.8.已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗C〖解析〗法一：设的重心为，则，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，又，的最小值是.法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，即，化简得，点的轨迹方程为，设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小，又，故得最小值为.故选：C.二､多项选择题9.如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（）A.四点共面 B.平面被正方体截得的截面是等腰梯形C.平面 D.平面平面〖答案〗BD〖解析〗对于A：如图经过三点的平面为一个正六边形，点在平面外，四点不共面，选项A错误；对于B：分别连接和，则平面即平面，截面是等腰梯形，选项B正确；对于C：分别取的中点，则平面即为平面，由正六边形，可知，所以不平行于，又平面，所以，所以平面，所以不平行于平面，故选项错误；对于D：因为是等腰三角形，，，，是的中点，易证，由正方体可得平面，平面，又平面，，平面，平面，平面，平面平面故选项D正确．故选：BD．10.已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（）A. B.C.的最小值为3 D.的最小值为3〖答案〗ABD〖解析〗对A：为纯虚数，可设选项A正确；对B：设，，则，即，则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，，选项B正确；对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点），所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，的取值范围为，无最小值，选项C错误；对D：，表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，为纯虚数或0，在轴上（除去点），当时取得最小值3，∴选项D正确.故选：ABD．11.已知函数的定义域为R,对，且为的导函数，则（）A.为偶函数 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A：令，则，为奇函数，故选项A不正确；对于B：令，则，令，则为奇函数，，的周期为4，，故选项B正确；对于C：为奇函数，为偶函数；的周期为4，为偶函数，，关于对称，所以，令，可得，令，可得，所以，故，，故选项C正确；对于D：令，则，即①，令，则②，由①+②得，故选项D正确.故选：BCD．三､填空题12.已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则______．〖答案〗〖解析〗圆锥曲线的离心率为，则该圆锥曲线是双曲线，将方程化成焦点在轴上的标准形式，由离心率，有，得．故〖答案〗为：13.已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成面所围成的几何体的体积为______．〖答案〗〖解析〗如图，以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，则所求几何体体积.故〖答案〗为：.14.一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）．〖答案〗〖解析〗由题知，，，，.故〖答案〗为：.四､解答题15已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有最大值，求实数的值．解：（1）1°当时在区间上单调递增。2°当时，时，单调递增时，单调递减，综上，当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是（2）由（1）知当时，无最大值。当时，，平方有，解得．16.（1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计；（2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-5．已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述．年份代码12345销量（万）49141825令变量,,则变量与变量满足一元线性回归模型,利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．解：（1），要使残差平方和最小，当且仅当，所以参数的最小二乘估计为.（2）由题知，，所以，，所以，所以，所以，，所以，当时，（万），故关于的经验回归方程为，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆．17.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，．（1）证明：平面；（2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．（1）证明：底面是菱形，，平面，且平面，.又，平面,平面，平面，，又，且平面，，平面，平面，，，，即，又平面，且，平面．（2）解：以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，,,又,在中由勾股定理得,即,.，，，，平面，与平面所成的角为，平面，是平面的一个法向量，平面，平面，平面平面，设，只需，则平面，则，令，则，，.18.己知圆，动圆与圆相内切，且经过定点（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．解：（1）设圆的半径为，圆与动圆内切于点．点在圆内部，点在圆内部．，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其方程为．（2）（方法一）联立与椭圆方程，消得，设，则，的中垂线方程为：，即①的中垂线方程为：②由①②两式可得，外接圆圆心的横坐标，其中，又的中垂线方程为，即，圆心的纵坐标为，圆心在双曲线上，存定点，使得（定值），（方法二）设外接圆方程为，联立与圆方程，消得，则，解得，设圆心坐标为，则，圆心在双曲线上，存在定点，使得（定值），19.对于数列，如果存在等差数列和等比数列,使得，则称数列是“优分解”的．（1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．（2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．（3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．（1）证明：是等差数列，设，令，则是等差数列，是