北京市怀柔区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市怀柔区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若、、成等差数列，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为、、成等差数列，则.故选：A.2.函数在处的切线斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，则，所以，.因此，函数在处的切线斜率为.故选：B.3.已知函数为的导函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，，故选：C4.一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知条件得由条件概率公式可得.故选：D.5.已知函数的导函数的图像如图所示，则（）A.有极小值，但无极大值 B.既有极小值，也有极大值C.有极大值，但无极小值 D.既无极小值，也无极大值〖答案〗A〖解析〗由导函数图像可知：导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选：A.6.将一枚均匀硬币随机抛掷4次，记“正面向上出现的次数”为，则随机变量的期望（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗在一次抛硬币的实验中，正面朝上的概率为，由题意可知服从二项分布，所以，所以，故选：B7.在数列中，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，故选：A8.若是等差数列的前项和，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，故选：B.9.数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为数列通项公式为，且是递增数列，所以对于都成立，所以对于都成立，即对于都成立，所以对于都成立，所以，即的取值范围是，故选：D10.已知函数,则下面对函数的描述正确的是A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，导函数在上是增函数，又，，所以在上有唯一的实根，设为，且，则为的最小值点，且，即，故，因为，由对勾函数可知，.故选B.『点石成金』：该题考查的是有关函数最值的范围，首先应用导数的符号确定函数的单调区间，而此时导数的零点是无法求出确切值的，应用零点存在性定理，将导数的零点限定在某个范围内，再根据不等式的传递性求得结果.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设函数，则__________.〖答案〗0〖解析〗,所以，故〖答案〗为：012.已知随机变量的分布列如下，且：01则__________；__________.〖答案〗①②〖解析〗由分布列的性质，可得，解得①，因为，所以，即②，联立①②解得，，故〖答案〗为：.13.已知是公比为的等比数列，其前项和为.若，则__________.〖答案〗2〖解析〗因为，所以，即，所以.故〖答案〗为：14.若曲线在处的切线方程为，则__________；__________.〖答案〗①②〖解析〗，由于曲线在处的切线方程是，所以，由切点在切线上，切点为，得所以，得.故〖答案〗为：-1,0.15.设随机变量的分布列如下：12345678910给出下列四个结论：①当为等差数列时，；②当为等差数列时，公差；③当数列满足时，；④当数列满足时，时，.其中所有正确结论的序号是__________.〖答案〗①③④〖解析〗由题意可得：，且,，，2，，10，对①：当为等差数列时，则，可得，故，①正确；对②：当为等差数列时,由①知，所以，由于,，所以，解得：，故②错误；对③：当数列满足，2，时，满足，，，2，，10，则，可得,，③正确；对④：当数列满足，2，时，则，可得，,3，时,所以，由于，所以，因此，由于，所以，因此，当也符合，故，④正确．故〖答案〗为：①③④三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知等差数列的的前项和为，从条件①､条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：（1）求通项公式；（2）若是等比数列，，求数列的前项和.①；②；③.解：（1）选①；②设等差数列的公差为.由题设，得解得.所以.选①；③设等差数列的公差为.由题设，得解得.所以.选②；③由题设，得，，解得.所以.（2）因为是等比数列，且由，得，由，得所以所以.所以17.已知函数.（1）求的极值；（2）求在区间上的最大值和最小值.解：（1）因为，所以.令，得或，列表如下：极大值极小值所以的单调递减区间为，单调递增区间为、.从而的极大值为，极小值为.（2）由（1）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.18.为宣传交通安全知识，某地区中学联合开展了交通安全知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了20名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如下：（1）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；（2）从图中90分以上的人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为，求的分布列和期望；（3）为便于普及交通安全知识，现从该地区某所中学参加知识竞赛活动的学生中随机选取5名男生､5名女生作为宣传志愿者，记这5名男生竞赛成绩的平均数为，这5名女生竞赛成绩的平均数为，能否认为，说明理由.解：（1）由茎叶图数据，随机抽取的20名学生中有男生10人，从男生中随机抽取1人，因为90分以上有4人，所以男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计值为.（2）抽取的样本学生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生.从7人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为的值可能为：的分布列为：1234（3）不能确定是否有.上述5名男生，5名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以是随机的.所以，不能确定是否有.19.已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且（1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）；（2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.解：（1）由题意得，总售价固定为，当产量不足60万箱时，.当产量不小于60万箱时，.则（2）设，当时，，令，得，得在上单调递增，在上单调递减，则；当时，由基本不等式有当且仅当，即时取等号；又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元20.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，所以，所以.当时，对任意的恒成立，此时函数的增区间为，无增区间；当时，令，得，极大值所以的增区间为，减区间为.综上所述，当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，减区间为.（2）法一：由（1）可知，当时，函数在上单调递增，且，与恒成立矛盾；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.，令，得，得，即.法二：若对任意，恒成立，即对任意的恒成立，则对任意的恒成立，设，则，其中，令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以.21.定义：若对任意正整数，数列的前项和都是整数的完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.（1）若数列满足，判断为否为“完全平方数列”；（2）若数列的前项和（是正整数），那么是否存在，使数列为“完全平方数列”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式.解：（1）不是“完全平方数列”.不是整数的完全平方数.（2）数列的前项和（是正整数），当时，，当时，不满足上式，所以①当，时，，所以数列与原数列相同，所以，所以当时，数列为“完全平方数列”，②当时，，不是完全平方数，所以当时，数列不是“完全平方数列