2025年高考数学一轮复习课时作业-空间直线、平面的垂直【含解析】

PAGE2025年高考数学一轮复习课时作业-空间直线、平面的垂直【原卷版】(时间:45分钟分值:75分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)若m,n,l为空间三条不同的直线,α,β,γ为空间三个不同的平面,则下列为真命题的是()A.若m⊥l,n∥l,则m⊥nB.若m⊥β,m∥α,则α⊥βC.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β2.(5分)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是()A.l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂αB.l⊥m,m∥αC.α⊥β,l∥βD.l∥m,m⊥α3.(5分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部4.(5分)如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC,垂足为S,AN⊥PB,垂足为N,则下列结论不正确的是()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC5.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC6.(5分)(多选题)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,则下列结论可能正确的有()A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面BDF⊥平面BCFD.平面DCF⊥平面BCF【加练备选】(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,AE⊥PC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中正确的是()A.BC⊥平面PACB.AE⊥EFC.AC⊥PBD.平面AEF⊥平面PBC7.(5分)如图所示是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中,棱所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.(注:填上你认为正确的一条棱即可,不必考虑所有可能的情况)

8.(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,N为底面ABCD对角线的交点,P为棱A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论正确的是.(填写所有正确结论的序号)

(1)CM与PN是异面直线;(2)若P为棱A1D1的中点,则|CM|>|PN|;(3)过P,A,C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形;(4)平面PAN⊥平面BDD1B1.9.(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,请写出一个与A1O垂直的正方体的截面:.

10.(10分)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).(1)判断四边形BCEF是否是平面四边形,并写出判断理由;(2)当EF⊥CF时,求证:平面ADEF⊥平面ABCD.【能力提升练】11.(5分)《九章算术》中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=BC,点E,F分别为线段PB,PC的中点.下列说法正确的是()A.四面体E-BCD和四面体F-BCD都是鳖臑B.四面体E-BCD和四面体F-BCD都不是鳖臑C.四面体E-BCD是鳖臑,四面体F-BCD不是鳖臑D.四面体E-BCD不是鳖臑,四面体F-BCD是鳖臑12.(5分)正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角如图所示,M为矩形AEFD内的一点,MO⊥EF于点O,如果∠MBE=∠MBC,tan∠MBO=12,那么线段MO的长为13.(10分)如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB;(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.2025年高考数学一轮复习课时作业-空间直线、平面的垂直【解析版】(时间:45分钟分值:75分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)若m,n,l为空间三条不同的直线,α,β,γ为空间三个不同的平面,则下列为真命题的是()A.若m⊥l,n∥l,则m⊥nB.若m⊥β,m∥α,则α⊥βC.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β【解析】选AB.C中,α与β可能平行或相交;D中,α与β可能平行或相交.2.(5分)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是()A.l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂αB.l⊥m,m∥αC.α⊥β,l∥βD.l∥m,m⊥α【解析】选D.对于A,l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l与α相交、平行或l⊂α,故A错误;对于B,l⊥m,m∥α,则l与α相交、平行或l⊂α,故B错误;对于C,α⊥β,l∥β,则l与α相交、平行或l⊂α,故C错误;对于D,l∥m,m⊥α,则l⊥α,故D正确.3.(5分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部【解析】选A.由AC⊥AB,AC⊥BC1,得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.4.(5分)如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC,垂足为S,AN⊥PB,垂足为N,则下列结论不正确的是()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC【解析】选B.因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又AN⊂平面PAB,所以BC⊥AN.又因为AN⊥PB,BC∩PB=B,PB,BC⊂平面PBC,所以AN⊥平面PBC.又AN⊂平面ANS,AN⊂平面PAB,所以平面ANS⊥平面PBC,平面PAB⊥平面PBC,所以A,C正确,D显然正确.5.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,又因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又因为AD⊥AB,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC,即平面ABC⊥平面ADC.6.(5分)(多选题)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,则下列结论可能正确的有()A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面BDF⊥平面BCFD.平面DCF⊥平面BCF【解析】选BC.对于A,因为BC∥AD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直,则A错误;对于B,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使条件满足,所以B正确;对于C,当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以C正确;对于D,因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上,所以D错误.【加练备选】(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,AE⊥PC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中正确的是()A.BC⊥平面PACB.AE⊥EFC.AC⊥PBD.平面AEF⊥平面PBC【解析】选ABD.对于A,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,而BC⊂底面圆面,则PA⊥BC,又由圆的性质可知AC⊥BC,且PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,则BC⊥平面PAC,所以A正确;对于B,由A项可知BC⊥AE,由题意可知AE⊥PC,且BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PCB,所以AE⊥平面PCB.而EF⊂平面PCB,所以AE⊥EF,所以B正确;对于C,由B项可知AE⊥平面PCB,因而AC与平面PCB不垂直,所以AC⊥PB不成立,所以C错误;对于D,由B项可知,AE⊥平面PCB,AE⊂平面AEF,由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC,所以D正确.7.(5分)如图所示是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中,棱所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.(注:填上你认为正确的一条棱即可,不必考虑所有可能的情况)

【解析】如图,结合平面图形还原出正方体,结合正方体性质易知,棱CG,DH,EH,FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.答案:CG,DH,EH,FG(任选一个作答)8.(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,N为底面ABCD对角线的交点,P为棱A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论正确的是.(填写所有正确结论的序号)

(1)CM与PN是异面直线;(2)若P为棱A1D1的中点,则|CM|>|PN|;(3)过P,A,C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形;(4)平面PAN⊥平面BDD1B1.【解析】由A,N,C三点共线,M为AP的中点,可得直线CA,PM为相交直线,所以CM,PN为相交直线,故(1)错误;设正方体的棱长为2,则AC=22,AP=5,AM=52,AN=2CM2=AM2+AC2-2AM·AC·cos∠PAC=54+8-210cos∠PAC=374-210cos∠PN2=AN2+AP2-2AN·AP·cos∠PAC=2+5-210cos∠PAC=7-210cos∠PAC,CM2-PN2=374-7=94>0,即|CM|>|在C1D1上取一点K,连接KP,KC,A1C1,使得PK∥A1C1,由A1C1∥AC,可得PK∥AC,则截面PKCA为过P,A,C的正方体的截面,由正方体的性质可得AP=CK,则过P,A,C三点的正方体的截面是等腰梯形,故(3)错误;由正方形的性质可得AC⊥BD,B1B⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,可得B1B⊥AC,BD∩B1B=B,所以AC⊥平面BDD1B1,又AC⊂平面PAN,所以平面PAN⊥平面BDD1B1,故(4)正确.答案:(2)(4)9.(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,请写出一个与A1O垂直的正方体的截面:.

【解析】如图,连接AC,BD,BG,DG,A1G,OG,A1C1,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,又AC∩AA1=A,故BD⊥平面ACC1A1,因为A1O⊂平面ACC1A1,故BD⊥A1O,设正方体的棱长为2,则A1O=AA12+AO2=4+2=6,OG=OC2+=8+1=3,故A1G2=A1O2+OG2,故A1O⊥OG,OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.答案:平面GBD(答案不唯一)10.(10分)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).(1)判断四边形BCEF是否是平面四边形,并写出判断理由;【解析】(1)结论:四边形BCEF不可能是平面四边形.理由如下:若B,C,E,F共面,则由BC∥AD,BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,又BC∥AD,则AD∥EF,矛盾.所以四边形BCEF不可能是平面四边形.(2)当EF⊥CF时,求证:平面ADEF⊥平面ABCD.【解析】(2)在平面ADEF中,易得EF⊥FD,又因为EF⊥CF,FD∩CF=F,所以EF⊥平面CDF,又CD⊂平面DCF,所以EF⊥CD,又因为CD⊥AD,而AD,EF延长后相交,所以CD⊥平面ADEF,又因为CD⊂平面ABCD,所以平面ADEF⊥平面ABCD.【能力提升练】11.(5分)《九章算术》中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=BC,点E,F分别为线段PB,PC的中点.下列说法正确的是()A.四面体E-BCD和四面体F-BCD都是鳖臑B.四面体E-BCD和四面体F-BCD都不是鳖臑C.四面体E-BCD是鳖臑,四面体F-BCD不是鳖臑D.四面体E-BCD不是鳖臑,四面体F-BCD是鳖臑【解析】选D.不妨设PD=CD=BC=2,则DE=BE=3,BD=22,所以cos∠BED=DE2+BE2-BD22DE·PD⊥底面ABCD,则PD⊥BC,又因为ABCD为正方形,则CD⊥BC,PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD,PC,DF⊂平面PCD,则BC⊥DF,BC⊥PC,又因为PD=DC,且点F为线段PC的中点,则PC⊥DF,PC∩BC=C,所以DF⊥平面PBC,BF⊂平面PBC,则DF⊥BF,即可得CD⊥BC,BC⊥PC,PC⊥DF,DF⊥BF,所以△BCD,△FBC,△CDF,△BDF均为直角三角形,则四面体F-BCD是鳖臑.12.(5分)正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角如图所示,M为矩形AEFD内的一点,MO⊥EF于点O,如果∠MBE=∠MBC,tan∠MBO=12,那么线段MO的长为【解析】设MO=x,x>0,由于平面AEFD⊥平面BEFC,且交线为EF,MO⊥EF,所以MO⊥平面BEFC,则MO⊥OB,所以tan∠MBO=MOOB=xOB=12,则OB则OE=4x2-1,O