2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的奇偶性与周期性【含解析】

PAGE2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的奇偶性与周期性【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)下列函数既是奇函数又是增函数的是()A.y=sinx B.y=2x C.y=log2x D.y=x32.(5分)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是()A.y=x+f(x) B.y=xf(x) C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x)3.(5分)(2023·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(2)等于(A.0 B.2 C.4 D.-24.(5分)已知函数f(x)=sinx+x3+1x+3,若f(a)=-1,则f(-a)=(A.3 B.5 C.6 D.75.(5分)若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则()A.f(x+1)为偶函数 B.f(x-1)为偶函数C.f(x+1)为奇函数 D.f(x-1)为奇函数6.(5分)(2021·全国乙卷)设函数f(x)=1-x1+A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+17.(5分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=.

8.(5分)(2023·全国甲卷)若y=(x-1)2+ax+sin(x+π2)为偶函数,则a=【解题指南】根据题意,先化简函数的解析式,结合偶函数的定义可得关于a的方程,解之可得答案.9.(5分)若函数f(x)=ex-e-x,则不等式f(lnx)+f(lnx-1)>0的解集是.

10.(10分)设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.11.(10分)已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立,且f(3)=2024.(1)分别求f(0)和f(-3)的值;(2)判断并证明函数F(x)=f(x)+1的奇偶性.【能力提升练】12.(5分)(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则()A.f(2023)=0B.f(x)的值域为[-1,2]C.f(x)在[4,6]上单调递减D.f(x)在[-6,6]上有8个零点13.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.

14.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023). 2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的奇偶性与周期性【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)下列函数既是奇函数又是增函数的是()A.y=sinx B.y=2x C.y=log2x D.y=x3【解析】选D.对于A,因为函数y=sinx在其定义域内既有单调递增区间又有单调递减区间,所以函数y=sinx不符合题意,故A不正确;对于B,因为指数函数在其定义域上是非奇非偶函数,所以函数y=2x不符合题意,故B不正确;对于C,因为对数函数的定义域为0,+∞,所以函数y=log2x是非奇非偶函数,故C不正确;对于D,y=x3是奇函数,且是2.(5分)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是()A.y=x+f(x) B.y=xf(x) C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x)【解析】选B.设g(x)=xf(x).因为f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)为偶函数.3.(5分)(2023·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(2)等于(A.0 B.2 C.4 D.-2【解析】选D.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)在R上的周期为2,所以f(2)=f(0)=0,f(-52)=f(-12)=-f(12所以f(-52)+f(2)=-24.(5分)已知函数f(x)=sinx+x3+1x+3,若f(a)=-1,则f(-a)=(A.3 B.5 C.6 D.7【解析】选D.函数f(x)=sinx+x3+1x+3,f(-x)+f(x)=sin(-x)+(-x)3-1x+3+sinx+x3+-sinx-x3-1x+sinx+x3+1x+6=6,若f(a)=-1,则f(-a)=6-f(a5.(5分)若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则()A.f(x+1)为偶函数 B.f(x-1)为偶函数C.f(x+1)为奇函数 D.f(x-1)为奇函数【解析】选C.因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称,即f(x+1)是奇函数.6.(5分)(2021·全国乙卷)设函数f(x)=1-x1+A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1【解析】选B.f(x)=1-x1+x=2-(x+1)1+x=21+x-1,为保证函数变换之后为奇函数,需将函数y7.(5分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=.

【解析】令H(x)=f(x)+x2,则H(-1)+H(1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,所以f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案:-18.(5分)(2023·全国甲卷)若y=(x-1)2+ax+sin(x+π2)为偶函数,则a=【解题指南】根据题意,先化简函数的解析式,结合偶函数的定义可得关于a的方程,解之可得答案.【解析】根据题意,设f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+π2)=x2-2x+ax+1+cosx若f(x)为偶函数,则f(-x)=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+1+cosx=f(x),变形可得(a-2)x=0在R上恒成立,必有a=2.答案:29.(5分)若函数f(x)=ex-e-x,则不等式f(lnx)+f(lnx-1)>0的解集是.

【解析】因为f(x)=ex-e-x,定义域为R,且f(-x)=-(ex-e-x)=-f(x),故其为奇函数,又y=ex,y=-e-x均为增函数,故f(x)为R上的增函数,则原不等式等价于f(lnx)>f(1-lnx),即lnx>1-lnx,整理得lnx>12解得x>e,故不等式的解集为(e,+∞).答案:(e,+∞)10.(10分)设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.又4-π∈(0,1),所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=π-4.(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【解析】(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x),故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点对称,则f(x)在[-4,4]上的图象如图所示.当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成图形的面积为S,则S=4S△OAB=4×(12×2×1)=411.(10分)已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立,且f(3)=2024.(1)分别求f(0)和f(-3)的值;【解析】(1)令x=y=0,可得f(0)=-1;令x=-3,y=3,可得f(0)=f(-3)+f(3)+1,所以-1=f(-3)+2024+1,即f(-3)=-2026.(2)判断并证明函数F(x)=f(x)+1的奇偶性.【解析】(2)令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以f(x)+f(-x)=-2,所以f(x)+1+f(-x)+1=0,即F(-x)+F(x)=0,F(-x)=-F(x),所以函数F(x)=f(x)+1是奇函数.【能力提升练】12.(5分)(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则()A.f(2023)=0B.f(x)的值域为[-1,2]C.f(x)在[4,6]上单调递减D.f(x)在[-6,6]上有8个零点【解析】选AB.f(2023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)=0,所以A正确;当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,所以当x∈[0,2]时,函数的值域为[-1,2],由于函数是偶函数,所以函数的值域为[-1,2],所以B正确;当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,又函数的周期是4,所以f(x)在[4,6]上单调递增,所以C错误;令f(x)=2x-2=0,所以x=1,所以f(1)=f(-1)=0,由于函数的周期为4,所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误.13.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.

【解析】方法一(定义法)因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-1)=f(1),所以-(a2-2)=2a-1解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1.方法三(转化法)由题意知f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数.设g(x)=x3,h(x)=a·2x-2-x,因为g(x)=x3为奇函数,所以h(x)=a·2x-2-x为奇函数,所以h(0)=a·20-2-0=0,解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1.答案:114.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;【解析】(2)x∈[2,4],则4-x∈[0,2],f(x)=f(x-4)=-f[-(x-4)]=-f(