（北师大版）初中数学九年级下册 第二章综合测试（含答案）

第二章综合测试

一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）

1.下列函数一定是二次函数的是（）

A.y=ax2+bx+cB.y=x（x-l）C.y-3x2+-^7D.y=-（x-l）2+x2

2.将抛物线y=2x?向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（）

A.y=2（x+2y+3B.y=2（x-2丫+3C.y^2（x-2）2-3D.尸2（》+2丫-3

3.对于二次函数y=f+bx+c,若匕+c=0,则二次函数的图象一定过点（）

A.（-b-1）B.（L-l）C.（-1,1）D.（1,1）

4.对于二次函数y=-工/+》—%下列说法正确的是（）

A.当x>0时，y随x的增大而增大B.当x=2时，y有最大值-3

C.图象的顶点坐标为（-2,-7）D.图象与x轴有两个交点

5.已知函数y=（k-l）x2-4x+4的图象与无轴只有一个交点，则我的取值范围是（）

A.AW2且&工1B.k<2且&工1C.4=2或1D.k=2

6.点6（-1,X）,鸟（3,%），6（5，%）均在二次函数y=-Y+2x+c的图象上，则M，y2<%的大小关系是

（）

A-B.%>弘=%C.%=%>%D.芦>%>%

7.在同一平面直角坐标系中，函数y=和y=+2X+2HJ（加是常数，且机#0）的图象可能是

()

ABCD

8.某水池中心竖直水管的顶端有一个喷水头，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到

最高，高度为3m,水柱落地处离水池中心3m,如下图，以水平地面为x轴，水池中心为原点，建立平面

直角坐标系，则竖直水管的高为（）

A.1.5mB.2mD.3m

9.四位同学在研究函数y=改2+云+。b,c是常数，a/0）时，甲发现当x=-l时，函数的最小值

为-1；乙发现4a-2"c=0成立;丙发现当时，函数值y随尤的增大而增大;丁发现当x=5时，y=-4.

已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

10.如下图，已知△ABC为等边三角形，43=2,点。为边A3上一点（不与点4B重合），过点。作

DE//AC,交BC于点E,过点E作印_1_£因，交AS的延长线于点尸.设4。=x,AOE尸的面积为y,

则能大致反映y与x之间的函数关系的图象是（）

ABCD

二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）

11.抛物线y=f-（*-3加+2卜+裙-4的对称轴是y轴，且顶点在原点，则他的值为.

12.已知抛物线丁=加一4Q+C与工轴的一个交点的坐标为（1Q）,则一元二次方程加-4奴+。=0的根为

13.当x=1和x=3时，代数式a/+版+5的值相等，则当x=4时，代数式ar?+法+5的值是

14.下表给出了二次函数y=ax2+bx+c中冗与y的部分对应值:

X.・・-2-101•・・

y・・・5652・・・

则当-2WxW2时，y的取值范围是.

15.如下图，把抛物线y=gd平移得到抛物线C,抛物线C经过点A（-6,0）和原点0（0,0）,它的顶点为P,

对称轴与抛物线y=gd交于点。，则图中阴影部分的面积为.

16.二次函数y=依2+fex+c的图象如下图所示，给出下列结论：①；@a+2c-h>0；③b>a>c；

④匕2+2ac<3a6其中正确结论的序号是.

三、解答题（本大题共6小题，共72分）

17.（10分）已知二次函数y=d-4x+3.

（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;

（2）求函数图象与x轴的交点A,B（A在8的左侧）的坐标及△A8C的面积.

18.（12分）已知点网一3,，句和Q（l,相）是抛物线y=2d+bx+l上的两点.

（1）求b的值；

（2）关于x的方程2/+公+1=0是否有实数根？若有，求出它的实数根；若没有，说明理由.

（3）将抛物线y=2x?+法+1的图象向上平移k（%是正整数）个单位长度，使平移后的图象与x轴无交

点，求”的最小值.

19.（12分）已知二次函数丁=一1+区+。的图象过点A（3,0）,C（-bO）.

（1）求二次函数的表达式;

（2）如下图，点尸是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B,当PB+PC

最小时，求点P的坐标；

（3）在第一象限内的抛物线上有一点Q,当△QA8的面积最大时，求点。的坐标.

20.（12分）某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆

管理人员工资等）为800元.为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的

收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车为1440辆次：当每

辆次小车的停车费超过5元时，每增加1元，到此处停放的小车就减少120辆次.为便于结算，规定每辆次

小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2512元.

（日净收入=每天收取的停车费-每天的固定支出）

（1）当x<5时，写出y与x之间的函数关系式，并说明每辆次小车的停车费最少不低于多少元；

（2）当x>5时，写出y与尤之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）;

(3)该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入.按此要求,

每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？

21.(12分)如下图，排球运动员站在点。处练习发球，将球从。点正上方2m的A处发出，把球看成点，

其飞行的高度y(m)与飞行的水平距离x(⑴满足关系式y=a(x-6)2+/2.已知球网与点。的水平距离为

9m,高度为2.43m,球场的边界距点。的水平距离为18m.

y

2/：球网

」；I边界一

06918*

(1)当〃=2.6时，求y与x之间的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)当〃=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.

(3)若球一定能越过球网，且不出边界，求〃的取值范围.

22.(14分)如下图1,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点3,C经过B,C两点的抛物线y=f+/XY+C

与x轴的另一个交点为A,顶点为P.

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直

接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由;

(3)当0VxV3时，在抛物线上求一点E,使△C3E的面积最大(图2、图3供画图探究).

第二章综合测试

答案解析

1.【答案】B

【解析】A项，当4=0时不是二次函数；C项，二不是整式；D项，整理后为y=2x-l,不是二次函数.

x

故选B.

2.【答案】B

3.【答案】D

【解析】当x=l时，y=l+h+c=l+0=l,所以二次函数的图象一定过点（1,1）.故选D.

4.【答案】B

【解析】二次函数上-、2+x_4的图象的对称轴为直线x=-2

=2,其顶点坐标为（2,-3）,

42a

显然选项C错误；抛物线开口向下，顶点为最高点，当x=2时，y有最大值-3,故选项

B正确；由抛物线开口向下，对称轴为直线x=2可知，当x>2时，y随x的增大而减小，当x<2时，y随

x的增大而增大，故选项A错误；对于一元二次方程-；/+x-4=0,A=l-4xf-ljx（-4）=-3<0,，

抛物线）=-+》—4与x轴没有交点，故选项D错误.故选B.

5.【答案】C

【解析】当2-1=0,即k=l时，函数为y=-4x+4,其图象与x轴只有一个交点；当心降0,即时,

令）,=0,可得优-1）》?-4x+4=0,由函数的图象与x轴只有一个交点可知该方程有两个相等的实数根,

所以△=（）,即（T）2-4亿—l）x4=0,解得k=2.综上可知，k的值为1或2.故选C.

6.【答案】C

【解析】该二次函数图象的对称轴为直线x=l,图象开口向下，故自变量X离1越近，其对应的函数值越

大，反之则越小.=（T|,故选C.

7.【答案】D

【解析】当二次函数的图象开口向下时，-〃?<（），加>0,相应的一次函数图象过第一、二、三象限.当二次

21

函数的图象开口向上时，-〃?>0,mV0,对称轴x=---/~~=-<0,这时二次函数图象的对称轴在y轴

2（-/?7?）m

左侧，一次函数图象过第二、三、四象限.故选D.

8.【答案】C

【解析】由于在距水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m,则设抛物线的表达式为

y=a(x-l)~+3(慎启3，将(3,0)代入，求得a=所以抛物线的表达式为y=-、(x—1)一+3(0WxW3).

9

令x=0,贝ijy='=2.25,所以竖直水管的高为2.25m.故选C.

4

9.【答案】A

【解析】将四人的结论转化如下，甲：b=2a,且a>0,b>0.乙:4a-26+c=0.丙：a<0,且——>1.

2a

T：25a+56+c=-4.由于甲、丙发现的结论中，“正负恰好相反，则两人的结论中必有一个错误，因此乙、

丁发现的结论正确，所以21〃+76=-4.若甲正确，则6=2a,且21a+76=-4,解得。=一_1,b=-—,

3535

与甲的结论。>0,匕>0矛盾，所以甲错误，丙正确.故选A.

10.【答案】A

【解析】丁△ABC是等边三角形，.".ZA=ZABC=60\'：DE//AC,：.ZEDF=ZA=60.'：EF±DE,

：.ZDEF=9Q,:.NEFD=90-NEDF=30°.，：NEDB=/ABC=60、:.AEDB是等边三角形，

：.ED=DB=2-x.

'：ZDEF=9(i,ZEFD=30",：.DF^2DE^2(2-x),由勾股定理得律=百(2—力.

：.y=^EDVEF=^2-x)凤2-x),即y=g(x-2)，(0<x<2).故选A.

二、

11.【答案】2

［解析】根据题意，得一+2=0且n?-4=0，解加2-+2=0得机=1或〃z=2,解租2-4=0得m=2

或胴=-2,所以机的值为2.

12.【答案】$=1,X2=3

【解析】解法一：将x=Ly=0代入y=以2—4ar+c,得。-4a+c=0,解得c=3a.将c=3a代入方程，

得好2一4分+3°=0,所以“12一4》+3)=0,所以a(x—l)(x—3)=0,解得西=1,x2=3.

解法二：抛物线y=ar2-4ar+c的对称轴为x=-士=2,因为抛物线与x轴一个交点的坐标为(1,0),所

2a

以根据对称性可知另一个交点坐标为(3,0),所以办2-4方+c=0的两个根为%=1,X2=3.

13.【答案】5

【解析】设y=62+6x+5,当x=l和x=3时，代数式ax'+6x+5的值相等，即当x=l和x=3时，函数

值相等，.•.当x=0与x=4时，函数值相等，•..当x=0时，y=5,...当x=4时，y=5.

14.【答案】一30W6

【解析】由（0,5）可知c=5,将点（一1,6）和（1,2）代入旷=办2+加+5,得｛：：：；；［；，解得所

以二次函数的表达式为产一/—2x+5=-（x+iy+6.对于-2WxW2,当x=—l时，y有最大值6,当x=2

时，y有最小值-3,所以当-2Wx<2时，-3三户6.

27

15.【答案】—

2

【解析】设抛物线C的函数表达式为y=+〃x+c,因为它经过点A（-6,0）和点0（0,0）,所以代入求得C

的函数表达式为y=；W+3x,所以顶点P的坐标为1-3,-?），点Q的坐标为［34），则P,Q关于x轴

对称，连接。P，OQ,所以与膨优=言3x9=§27.

求不规则图形的面积时，要通过割补、拼接转化为求规则图形的面积.

16•【答案】①③④

【解析】考虑①：因为抛物线的对称轴与x轴的交点在点（-1,0）的右侧，所以-△>—1,于是因

2a2a

为抛物线开口向上，所以。>0,所以X2a,故①正确.考虑②：因为抛物线上横坐标为-I的点在第三象

限，所以该点的纵坐标小于0,即当x=-l时，y=a-b+c<0,因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c>0,

而a+2c-Z?=（a-£»+c）+c,由于a,h,c的值未知，不能确定a-/?+c与c的大小，因此不能确定a-6+c

与c的和的符号，也就不能确定a+2c-b的值是正还是负，故②不一定正确.考虑③：因为a-6+c<0,c>0,

所以a-次0,于是心a.因为一2VO,a>0,所以40.因为6<2a,所以〃<4/.因为抛物线与x轴有

2a

两个交点，所以。2-4〃c>0,即b2>4ac.所以又因为〃>0,所以a>c.综合知力>〃>c,故③

正确.考虑④：因为〃一h+c<0,所以a+c<Z?.因为。>c,所以c+cV〃,即2c<h.因为。>0,所以

因为〃V2a,b>0,所以所以廿+2QCV〃/?+2"，BPlr+2ac<iab,故④正确.综上可知，正确

的有①③④.

三、

17.【答案】（1）y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=（x-2）2-l,

所以顶点C的坐标是(2,-1).

当xV2时，y随x的增大而减小；

当x>2时，y随x的增大而增大.

(2)解方程X?-4x+3=0,得X]=3,x2=1>

所以点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,0).

过点C作COL48于点。，易知A8=2,CD=\,

所以5^^=3A3xCD=gx2x1=1.

18.【答案】(I)；P,。两点都在抛物线上且纵坐标相同,

:.P，。关于抛物线的对称轴对称，

...抛物线的对称轴为直线x=--=1,

42

解得〃=4.

(2)由(1)可知，关于x的方程为2f+4x+l=0,△=16-8=8>0,

-4士逐_-2±0

•••方程有实根,

-7—-—T~

.“7+与……当

(3)Vy=：2x2+4x+l=2(x+l)2-l,顶点坐标为(一1,一1),

.•.至少要向上平移2个单位长度，图象与x轴无交点，

的最小值为2.

19.【答案】(1)把点A(3,0),C(-1,0)代入y=-x2+0x+c,

公|-9+3b+c=0[b=2

得，解得，

[-1—Z?+c=0[c=3

则二次函数的表达式为y=-Y+2x+3.

(2)连接A3,与对称轴交于点尸，此时尸8+PC最小.

在y=—x2+2x+3中，当x=0时，y=3,则8(0,3).

设直线A5的表达式为5=如+〃，

•.•A(3,0),3(0,3),

.13/%+〃=0pw=—1

[n=3]〃=3

・,・直线AB的表达式为y=-x+3,

*.ey=—x1+2X+3=-(X-1)2+4,

・・・二次函数y=—V+2x+3图象的对称轴是直线x=l.

当x=l时，y=—1+3=2,

AP(1,2).

(3)设Q®,—〃+2机+3),0VmV3,△045的面积为S,

如下图，连接。。,

则S=S4OBQ+S*0(2_SfOB

=-x3m+—x3(-m2+2〃z+3)--x3x3

22v72

329

=——m"+—m

22

20.【答案】(1)由题意得，y=1440x-800,

VI440x-800^2512,/.x>2.3.

取整数，最小取3,

即每辆次小车的停车费最少不低于3元.

(2)由题意得，y=[1440-120(x-5)]x-800,

即y=-120x2+2040x-800.

(3)当xW5时，停车1440辆次,

最大日净收入y=1440x5-800=6400(元);

17

当x>5时，y=-120x2+2()4()A--8(X)=-120(x2-17x)-800=-120x1+787(),

.•.当x=当时，y有最大值.

但x只能取整数，取8或9.

显然，x取8时，小车停放辆次较多，

此时最大日净收入为y=-120x1+7870=7840(元).

综上，每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入是7840元.

21.【答案】⑴当力=2.6时，y=a(x-6^+2.6,

由题意知点A(0,2)在y=a(x-6y+2.6的图象上，

.,.2=«(0-6)2+2.6,解得。=喘，

与x之间的函数关系式为>=—2(x—6)2+26.

(2)球能越过球网，且球会出界.理由如下：

19

当x=9时，y=x(9-6)-+2.6=2.45>2.43,

.•.球能越过球网.

I,

当y=0时，-—(X-6)­+2.6=0,

解得用=6+2屈>18,电=6-2屈(舍去)，

.♦球会出界.

(3)由点4(0,2)在y=a(x—6)2+/?的图象上,得。=马也.

36

由球能越过球网，可知当尤=911寸，y=9a+〃>2.43,

即9xj2-/7+〃>2.43,解得栏19经3；

3675

由球不出边界，可知当x=18时，144Q+/IW0,

即144*22m+力0),解得〃2工

363

综上可知，〃的取值范围是人力号.

3

22.【答案】(1)♦.