2025年高考数学一轮复习课时作业-导数的函数零点问题【含解析】

PAGE2025年高考数学一轮复习课时作业-导数的函数零点问题【原卷版】(时间:45分钟分值:40分)1.(10分)(2023·陇南联考)已知函数f(x)=x+1ex-a(a∈R),讨论f(【解题指南】令f(x)=0,可得a=x+1ex,令g(x)=x+1【加练备选】已知函数f(x)=cosx+xsinx.(1)讨论f(x)在[-2π,2π]上的单调性;(2)求函数g(x)=f(x)-14x2-1零点的个数2.(10分)已知函数f(x)=2x3-3x2-12x+m.(1)若m=1,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)有3个零点,求实数m的取值范围.3.(10分)(2024·太原模拟)已知函数f(x)=x+ax+lnx,a∈R(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;(2)讨论函数g(x)=f'(x)-x的零点个数.4.(10分)(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=xaax((1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.【加练备选】函数f(x)=ax+xlnx在x=1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间;(2)若y=f(x)-m-1在定义域内有两个不同的零点,求实数m的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-导数的函数零点问题【解析版】(时间:45分钟分值:40分)1.(10分)(2023·陇南联考)已知函数f(x)=x+1ex-a(a∈R),讨论f(【解题指南】令f(x)=0,可得a=x+1ex,令g(x)=x+1【解析】令f(x)=x+1ex-a=0,得a设g(x)=x+1ex,则g'(x)=e当x>0时,g'(x)<0,当x<0时,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(0)=1,而当x>-1时,g(x)>0;当x<-1时,g(x)<0.当x→-∞时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)→0,所以g(x)的大致图象如图所示.①当a>1时,方程g(x)=a无解,即f(x)没有零点;②当a=1时,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零点;③当0<a<1时,方程g(x)=a有两解,即f(x)有两个零点;④当a≤0时,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零点.综上,当a>1时,f(x)没有零点;当a=1或a≤0时,f(x)有唯一的零点;当0<a<1时,f(x)有两个零点.【加练备选】已知函数f(x)=cosx+xsinx.(1)讨论f(x)在[-2π,2π]上的单调性;【解析】(1)因为f(-x)=cos(-x)-xsin(-x)=cosx+xsinx=f(x),x∈R,所以f(x)是R上的偶函数,也是[-2π,2π]上的偶函数.f'(x)=xcosx,当x∈[0,2π]时,令f'(x)>0,得0<x<π2或3π2<x<2π;令f'(x)<0,得π2<x<3π2,所以f(x)在[0,π2]和[3π2,2π]上单调递增,在(π2,3π2)上单调递减.因为f(x)是偶函数,所以当x∈[-2π,0)时,f(x)在[-2π,-综上所述,f(x)在[-2π,-3π2],[-π2,0)和(π2,3π2)上单调递减,在(-3π2,-π2(2)求函数g(x)=f(x)-14x2-1零点的个数【解析】(2)由(1)得g(-x)=f(-x)-14(-x)2-1=g(x),所以g(x)是R上的偶函数g'(x)=x(cosx-12①当x∈[0,2π]时,令g'(x)>0,得0<x<π3或5π3<x<2π;令g'(x)<0,得π3<x所以g(x)在(0,π3)和(5π3,2π)上单调递增,在(π3,因为g(π3)>g(0)=0,g(5π3)=5π3×(-32)-14×(5π3)2-所以∃x0∈(π3,5π3),使得g(x所以g(x)在[0,2π]上有两个零点.②当x∈(2π,+∞)时,g(x)=cosx+xsinx-14x2-1<x-14x2<0,所以g(x由①②及g(x)是偶函数可得g(x)在R上有三个零点.2.(10分)已知函数f(x)=2x3-3x2-12x+m.(1)若m=1,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;【解析】(1)由题意,得f'(x)=6x2-6x-12,故f'(1)=-12,又当m=1时,f(1)=2-3-12+1=-12,故所求的切线方程为y+12=-12(x-1),即y=-12x.(2)若函数f(x)有3个零点,求实数m的取值范围.【解析】(2)由题意,得f'(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x+1)(x-2),令f'(x)=0,得x=-1或x=2,故当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0;当x∈(-1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,故当x=-1时,函数f(x)有极大值f(-1)=2×(-1)-3×1-12×(-1)+m=m+7,当x=2时,函数f(x)有极小值f(2)=2×8-3×4-12×2+m=m-20.若函数f(x)有3个零点,则实数m满足m+7>0,m即实数m的取值范围为(-7,20).3.(10分)(2024·太原模拟)已知函数f(x)=x+ax+lnx,a∈R(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;【解析】(1)因为函数f(x)在x=1处取得极值,f'(x)=1-ax2+1x=x2+x-ax2,所以f'(1)=0,即12+1-a(2)讨论函数g(x)=f'(x)-x的零点个数.【解析】(2)因为g(x)=f'(x)-x,所以g(x)=1-ax2+1x-x,令g(x)=0得a=-x3+x2+x,令h(x)=-x3+x2+x,x>0,则h'(x)=-3x2+2x+1=-(3x+1)(x-1).当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.画出函数h(x)的草图,如图所示,易得h(x)≤h(1)=1,并且图象无限靠近于原点,且当x→+∞时,h(x)→-∞.故当a>1时,函数g(x)无零点;当a=1或a≤0时,函数g(x)只有一个零点;当0<a<1时,函数g(x)有两个零点.4.(10分)(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=xaax((1)当a=2时,求f(x)的单调区间;【解析】(1)当a=2时,f(x)=x22xf'(x)=x(2-令f'(x)>0,得0<x<2ln2,此时函数f(x令f'(x)<0,得x>2ln2,此时函数f(x所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2ln2),单调递减区间为(2ln2(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.【解析】(2)曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,可转化为方程xaax=1,即xa=ax即方程lnxx=ln设g(x)=lnxx(x>0),则g'(x)=1-令g'(x)=1-lnx当0<x<e时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,故g(x)max=g(e)=1e,又g(1)=0,当x>e时,g(x)∈(0,1所以0<lnaa<1e,即g(1)<g(a)<g(e),结合g(x)的单调性可知1<a即a的取值范围为(1,e)∪(e,+∞).【加练备选】函数f(x)=ax+xlnx在x=1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间;【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a+lnx+1,由f'(1)=a+1=0,解得a=-1,则f(x)=-x+xlnx,所以f'(x)=lnx,令f'(x)>0,解得x>1;令f'(x)<0,解得0<x<1,所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).(2)若y=f(x)-m-1在定义域内有两个不同的零点,求实数m的取值范围.【解析】(2)y=f(x)-m-1在(0,+∞)内有两个