双抛物线型中考压轴题解法赏析

佳题赏析双抛物线型中考压轴题解法近几年各地中考试题中出现了一类以双抛物线为背景立意的综合性压轴题，它集知识、方法、能力于一体，重在考查考生综合应用数学知识解决问题的能力，具有较强的探索性。这类试题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。本文选取三道比较典型的中考压轴题予以解析。一、以横轴为对称轴的双抛物线型压轴题例1、（2006烟台市）如图，已知抛物线L1:y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）∴y=ax2+4∴0=4a+4得a=-1∴l2的解析式为y=-x2+4(2)设B(x1,y1)∵点B在l1上∴B(x1,x12-4)∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称∴B、D关于O对称∴D(-x1,-x12+4).将D(-x1,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4∴左边=右边∴点D在l2上.(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2*S△ABC=AC*|y1|=4|y1|a.当点B在x轴上方时，y1＞0∴S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，∴S既无最大值也无最小值b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0∴S=-4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，∴当y1=-4时，S由最大值16，但他没有最小值此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.∴AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形此时S最大=16评析:本题条件简明，有较强的探索性。第（3）问溶四边形、函数知识于一体，体现了数形结合与分类讨论的思想。二、以纵轴为对称轴的双抛物线型压轴题例2、（2006十堰市）已知抛物线：（，为常数，且，）的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，，．注：抛物线的顶点坐标为．（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式：________________________；（2）当时，判定的形状，并说明理由；（3）抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．26．（1）．（2）当时，为等腰直角三角形．理由如下：如图：点与点关于轴对称，点又在轴上，．过点作抛物线的对称轴交轴于，过点作于．当时，顶点的坐标为，．又点的坐标为，．．从而，．由对称性知，．为等腰直角三角形．（3）假设抛物线上存在点，使得四边形为菱形，则．由（2）知，，．从而为等边三角形．四边形为菱形，且点在上，点与点关于对称．与的交点也为点，因此．点的坐标分别为，．在中，．，．故抛物线上存在点，使得四边形为菱形，此时评析:本题立意新，集计算、推理于一体，体现了对称的思想、方程的思想与数形结合的思想。三、以原点对称点的双抛物线型压轴题例3、（2006山西省）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(－4，0)、B(－2，0)、E(0，8)。（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C、D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止。求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由。解：（1）点A（－4，0），点B（－2，0），点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，－8） 设抛物线C2的解析式是则解得 所以所求抛物线的解析式是 （2）由（1）可计算得点M（－3，－1），N（3，1） 过点N作NH⊥AD，垂足为H。当运动到时刻t地，AD=2OD=8－2t，NH=1+2t 根据中心对称的性质OA=OD，OM=ON，所以四边形MDNA是平行四边形所以所以，四边形MDNA的面积 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知。所以，所求关系式是，t的取值范围是 （3），（）所以时，S有最大值 提示：也可用顶点坐标公式来求。（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形。 由（1）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD、MN，所以当AD=MN时四边形MDNA是矩形。所以OD=ON。所以 所以。解之得（舍）。所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时 评析:本题把双抛物线中运动变化的几何图形放到直角坐标中，来解决相关问题，充分体现了函数的思想、方程的思想以及数形结合的思想，颇具探索性。在以上三道中考压轴题中，数形结合、分类讨论、方程函数的数学思想得到了充分体现，成为支撑综合性试题的核心。每道试题又都具有很强的探索性，这种探索过程是固本，是求新，是中考数学压轴题的生命力的体现。解好这类综合题必须具备三种能力：一是语言转换能力：每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力，还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。二是概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。三是数形转换能力：解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数和几何的结合上找出解题思路。练习：1.（2008年南昌）如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P,且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于两点．（1）求值；（2）设与轴分别交于两点（点在点的左边），与轴分别交于两点（点在点的左边），观察四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设两点的横坐标分别记为，若在轴上有一动点，且，过作一条垂直于轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？yyxPAOBB解：（1）点在抛物线上，，解得．（2）由（1）知，抛物线，．yxPAOBBMyxPAOBBMENF点在点的左边，，．当时，解得，．点在点的左边，，．，，yxPAOBDQC点与点yxPAOBDQC（3）．抛物线开口向下，抛物线开口向上．根据题意，得．，当时，有最大值．2.（2008年烟台）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.佳题赏析双抛物线型中考压轴题解法一、以横轴为对称轴的双抛物线型压轴题例1、（2006烟台市）如图，已知抛物线L1:y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。二、以纵轴为对称轴的双抛物线型压轴题例2、（2006十堰市）已知抛物线：（，为常数，且，）的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，，．注：抛物线的顶点坐标为．（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式：________________________；（2）当时，判定的形状，并说明理由；（3）抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．三、以原点对称点的双抛物线型压轴题例3、（2006山西省）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(－4，0)、B(－2，0)、E(0，8)。（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C、D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止。求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由。练习：1.（2008年南昌）如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P,且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于两点．（1）求值；（2）设与轴分别交于两点（点在点的左边），与轴分别交于两点（点在点的左边），观察四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设两点的横坐标分别记为，若在轴上有一动点，且，过作一条垂直于轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当为何