高中数学-椭圆练习题

C2c2a2-b2

离心率e—一（0<e<l）e==

aaa

e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆。

一y=±Y

准线方程Cc

2a2

准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：一

C

顶点到准线的“2

距离顶点4（4）到准线,1（I）的距离为一—。顶点a（4）到准线"（/,）的距离为+a

c'C

“21

焦点到准线的

焦点E（q）到准线/]（右）的距离为------。焦点6（心）到准线，2<A）的距离为一1+c

距离

CC

椭圆上到焦点最大距离为：〃+c最小距离为：a-c相关应用题：远日距离〃+C近日距离

的最大（小）距

离a-c

x=boos(p

椭圆的参数方卜=5（为参数）

«(0为参数)

程\y=b3\r\（py=asm(p

fx=QC0S3

利用参数方程简便：椭圆彳7.（°为参数）上一点到直线Ax+By+C=\j的距

椭圆上的点到[y=bsmg）

给定直线的距

离\Aacos（p+Bhsin^?+C\

离为：dr--------

yJA2+B2

22

xy...

椭圆2+,2=1与直线y=履+b的位置关系：

ab

直线和椭圆的

r22

位置工+工=1

22

利用，ab转化为一元二次方程用判别式确定。

y=kx-}-b

相交弦AB的弦长|=Jl+&~々另-4玉％2

通径：A3=上一口

V.2oZ-i

,v_i

过椭圆上一点2十72-1利用导数

---------------1

的切线ab〃2匕2利用导数

XV

例1.已知椭圆二+―=1伍,。＞0）长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线,

ab

xyi

椭圆的标准方程为：一+^—=1

43

22

「y_1

例2.椭圆二+；『「志P到左准线的距离为10,砥是左焦点，。是坐

2516

使丽・丽=0,求椭圆离心率e的范围.

解法一：设「(/，汽)，My

则|PFj|=a+exQ,\PF2|=a-ex0,\FlF2|=2c,P

PF}PF2=0,.-.PF、±PF2

222

IPF.|+|PF.|=|F,F2|

222

(a+ex0)+(a-ex0)=4c

即e2x。2=2c2—a2

p在椭圆上但不在x轴上

2222

/.0<x0<a0<ex0<c~

0<2c2-a2<c2

V2

1・［r二n

则IA尸j+|g耳1+……+1尸7Kl=一

解法一：设R,P2,尸3，尸4，。5，06,

|尸用1+1尸2K1+里居1+…+1尸6"I+IB"

=解注其菊库接2%为转2+F述2,由题意知，

=遇7与封耳耳川尸6cHi鸟FJ，|P5c1=1舄尸/，

.•.|4居|+田片|+|「3"|+|尸/1+1户5居1+1尸6川+甘招1

|+1I+1I+1I+1/^F1+1I+IPF)

=|P7F2P7F,/^F2P6F12P5F,4r

7。=35

22

变式练习:把椭圆二+4=1的长轴分成8等分，过每个分点作v轴的垂线交椭圆上

半部分于尸I，舄,……07七个点，环是椭圆的左焦点长轴与椭圆交于P0,P8,判断

|P0F,|,|P,F,|,|P2F,|...|P8F,I,是否为等差数列?说明理由，若是求出公差.

解：设4，P}……6的横坐标为

和再...血小目为等差数列，

公差姆基盘脸0W〃W8,“々N)。

A.到两定由金巨离N削为常数的点的轨迹是椭圆

2

B.到定直线x=J和定点F(c,0)的距离之比为£的点的轨迹是椭圆

,•,I月片1=。+ex：，IP”+iKIT『Kted

C.到定点F(—c,0)和定直线x=-±的距离之比为£(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆

2

取调侬螂落和年限幽，|朔舞离朝例9(凌脑蜘X彷轨迹是椭圆

cC

且椭圆过点(2,-2),则椭圆方程是

2.若椭圆的两卷点为(-2,0)和(2,0),)

》,322

/.a=ed=-r1C.q+《=1D.《+己=]

A.匕+乂=1B.£+r=

8410648106

3.若方程/+1<f=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为()

A.(0,+8)B.(0,2)C.(1,+8)D.(0,1)

o

4.设定点F](0,—3)、F2(0,3),动点P满足条件|PK|+|PB|=Q+—(。>0)，则点P的轨迹是

()

A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段

X222

xv

5.椭圆一Y+=1和—T-+^-T-=k(%>0)具有()

a-b2

A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长、短轴

6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为()

B,也C.叵

A.D.-

4242

7.已知尸是椭圆^十二二1上的一点，若P到椭圆右准线的距离是二，则点P到左焦点的距离是

100362

()

16八66「75-77

A.—B.—C.—D.—

5588

22

8.椭圆二+二=1上的点到直线x+2y-JI=0的最大距离是()

164

A.3B.VTTC.272D.V10

22

9.在椭圆匚+上一=1内有一点P(1,-1),F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|的值最

43

小，则这一最小值是()

7

B.-C.3D.4

2

10.过点M(-2,0)的直线m与椭圆］-+)，2=1交于P1,P,,线段PIP?的中点为P,设直线m的斜率

为%(%。0),直线OP的斜率为kz，则kik2的值为()A.2B.-2

11

C.一D.——

22

15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=2,短轴长为8JS,求椭圆的方程.

3

x225y28

16.已知A、B为椭圆r+*—彳一=1上两点，F,为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=-a,AB中点到椭圆左

a9a5

3

准线的距离为一，求该椭圆方程.

2

V2

17.过椭圆C:-1————1上一点P(x(),y)向圆。：X""+-4引两条切线PA、PB,A,

840

B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点.

(1)若PA-P8=0,求P点坐标；(2)求直线AB的方程(用X。，/)表示)；

(3)求AMON面积的最小值.(O为原点)

18.椭圆正+《=1(4>0)与直线x+y=1交于P、。两点，且OPJ.。。，其中。为坐

a2b2

标原点.

(1)求二+二的值；(2)若椭圆的离心率e满足巫WewXZ,求椭圆长轴的取值范围

a2b232

x2y2

19.一条变动的直线L与椭圆一+?_=1交于P、Q两点，M是L上的动点，满足关系|MP|•|MQ|=2.若

42

直线L在变动过程中始终保持其斜率等于1.求动点M的轨迹方程，并说明曲线的形状.

20.椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2J5,相应于焦点F(c,0)(00)的准线/与x轴相交于点

A,|0F|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

(1)求椭圆的方程及离心率;

(2)若0P•0。=0,求直线PQ的方程；

(3)设而=4而(2>1),过点P且平行于准线/的直线与椭圆相交于另一点M,证明

FM=—4F。.(14分)

题号12345678910

答案DDDAADBDCD

（b=4逐

）_।2222

15.（12分）［解析］:We=£=女=［，，椭圆的方程为：三+匕=1或=十二=1.

1a3lc=81448014480

481

16.(12分)［解析］：设A(XI,yj,BQ2,y2)，e=w，由焦半径公式有"i+。—纯=1。，.•・勺+必=耳。，

即AB中点横坐标为又左准线方程为x=-』a+2a=2,即a=l,.•.椭圆方程为

44442

A^+25y2=|.

~9

17.（12分）

［解析］:（1）•.・PAPB=0PA±PBAOAPB的正方形

XA+VA=8

232

由,丫22n］：=——=8o/=±272，P点坐标为(土2叵,0)

互+红=104

I84

(2)设A(%py］),B5,丫2)

则PA、PB的方程分别为玉工+%》=4,%2%+>2y=4,而PA、PB交于P(wy0)

即Wo+yiyo=4,必沏+丫2yo=4，JAB的直线方程为：％r+y()y=4

(3)由=4得M(f-,0)、N(0,&)

xo)'o

11441

S^=~\OM\-\ON|=-|-|-|—1=8--——-

22x0l/y。|

i⑸翁.和2"4+*）=26S…册嚷=20

当且仅当|第|=|3।时，Sw..=2"

ZyJ2乙

18.（12分）［解析］:设代王,力）,义了2，为），由OPJ_OQ=xlX24-yiy2=0

,/月=1一/，乃二1一工2,代入上式得：2匹X2-（X1+々）+1=0①乂将y=1一/代入

222

二+==1=>（a+b）x-2Q，+Q2（1-。2）=0,vA>0,/.x}+x2=—

azb1az+bz

x,x2=代入①化简得_L+_L=2•

a2+b2a2b2

（）,丁—与与v1,又由

22=4=1-!••1vi（1）知从=r—

aa3a22a32«2-l

3二二』上。旦空,

.,.长轴2ae[A/5,76].

22a2-134222

19.(14分)

[解析]:设动点M(x,y),动直线L：y=x+m,并设P(X1,y。，Q(x2,y?)是方程组|丫=*+阳，的解,

[^+2/-4=0

22

消去y,得3f+4nli+211?—4=0,其“」A=16m—12（2m—4）>0,—V6<m<y/~6，且xi+x2=——，

3

2

x.x?=2m-4,又・.・|MP|=四以一而|,|MQ|=V2|X-X2|.由|MP||MQ|=2,得卜一如卜一处|=1,也即

3

22

|x-（X）+x9）x+xIx->|=1,于是有了上+驯£+网^=]・.・m=y-x,.,.p+Zy—4|=3.由/+2/一4=3,得

33

v22x2r-

椭圆手+1厂=1夹在直线)'=x土石间两段弧，且不包含端点.由f+Zy2—4=—3,得椭圆W+Zy^l.

22

可设椭圆的方程为二十Ca-c=2,

20.(14分)［解析］:(1)由题意,=13>&)・由已知得<

a22

c=2（--c）.

c

解得〃="，c=2,所以椭圆的方程为二+以=1，离心率