2024年七年级数学下册 第8章 整式乘法8.5乘法公式 1平方差公式教学设计（新版）冀教版

2024年七年级数学下册第8章整式乘法8.5乘法公式1平方差公式教学设计（新版）冀教版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容为2024年七年级数学下册第8章整式乘法中的8.5乘法公式，重点讲解平方差公式。本节课将引导学生学习平方差公式的推导和应用，通过具体实例让学生理解并掌握公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生已在之前的学习中掌握了整式的加法和减法，对整式的乘法也有一定的了解。在此基础上，平方差公式是对整式乘法法则的进一步拓展，通过此公式，学生能更简便地解决某些特定整式的乘法运算问题。此公式的学习也为后续学习其他乘法公式，如完全平方公式等，打下基础。核心素养目标本节课旨在培养学生以下核心素养：

1.数学抽象：通过平方差公式的推导，让学生体会从具体到抽象的数学思维过程，提高数学抽象能力。

2.逻辑推理：在学习平方差公式的过程中，引导学生运用逻辑推理，理解公式背后的数学原理，培养严谨的逻辑思维。

3.数学建模：将平方差公式应用于解决实际问题，让学生建立数学模型，培养数学建模素养。

4.数学运算：熟练掌握平方差公式，并能灵活运用解决整式乘法问题，提高数学运算能力。

5.数据分析：通过对平方差公式应用实例的分析，培养学生分析数据、解决问题的能力。教学难点与重点1.教学重点

（1）平方差公式的推导：使学生理解并掌握(a+b)(a-b)=a²-b²的推导过程，明确公式的结构特点。

举例：通过具体的数值代入，如(3+2)(3-2)=3²-2²，让学生观察并总结出平方差公式的结构。

（2）平方差公式的应用：培养学生能熟练运用平方差公式解决整式乘法问题。

举例：给出整式乘法题目，如(4x+5y)(4x-5y)，指导学生运用平方差公式进行计算。

（3）平方差公式的拓展：引导学生将平方差公式应用于解决实际问题，如面积计算等。

举例：给出实际问题，如一个长方形的长和宽分别为a+b和a-b，求其面积，引导学生运用平方差公式进行求解。

2.教学难点

（1）公式推导过程的理解：学生在推导平方差公式过程中，可能难以理解从具体实例到抽象公式的过渡。

解决方法：通过多举例，让学生观察、总结规律，逐步引导他们理解推导过程。

（2）符号的理解与运用：学生在运用平方差公式时，容易混淆符号，导致计算错误。

解决方法：强调符号的正负，让学生多练习，熟悉符号在不同情况下的运用。

（3）平方差公式的灵活应用：学生在解决实际问题时，可能不知道如何运用平方差公式。

解决方法：通过丰富的实例，引导学生分析问题，建立数学模型，学会将平方差公式应用于实际问题。

（4）逆向思维的培养：学生在解决逆向运用平方差公式的问题时，如已知a²-b²，求(a+b)(a-b)的值，可能感到困惑。

解决方法：设计相关练习题，引导学生从已知结果出发，逆向推导出原问题，培养逆向思维能力。教学资源1.硬件资源：

-多媒体教学设备

-投影仪

-课堂演示用白板或黑板

-学生用练习本和文具

2.软件资源：

-教学课件（包含平方差公式的推导和应用实例）

-练习题库（包含不同难度的练习题）

-教学视频（平方差公式的讲解和演示）

3.课程平台：

-在线学习平台（用于发布学习资料和作业）

-课堂互动软件（用于课堂提问、投票和反馈）

4.信息化资源：

-电子教材

-数学软件（如几何画板，用于直观展示平方差公式的几何意义）

5.教学手段：

-探究式教学

-小组合作学习

-课堂讲解与示范

-互动提问与讨论

-课后作业与线上辅导

-定期测试与反馈评价教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《平方差公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个数的和与差相乘的情况？”（如：购物时，一件商品原价100元，打折后便宜20元，问折后价格是多少？）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式的概念。平方差公式是指两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。它是整式乘法中的一个重要公式，可以帮助我们简化计算过程。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例：(4x+5y)(4x-5y)=16x²-25y²。这个案例展示了平方差公式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方差公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分，我会通过具体实例和对比来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际计算，让学生观察平方差公式的应用。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“平方差公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、推导、应用以及在实际生活中的例子。通过实践活动和小组讨论，加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决整式乘法问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。知识点梳理1.平方差公式的定义：

-两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。

-公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

2.平方差公式的推导：

-利用分配律展开(a+b)(a-b)得到a²-ab+ba-b²，由于ab和ba相等，所以可以合并消去，得到a²-b²。

3.平方差公式的应用：

-解决整式乘法问题，特别是形如(a+b)(a-b)的乘法运算。

-拓展到解决实际问题，如计算长方形面积等。

4.平方差公式的特点：

-结构简单，易于记忆。

-可以用于简化计算，提高运算效率。

5.平方差公式的符号问题：

-注意a和b前的符号变化，当a和b一个是正数，另一个是负数时，符号会相互抵消。

-在应用平方差公式时，要特别注意符号的正确使用。

6.平方差公式的逆向应用：

-已知a²和b²，求(a+b)(a-b)的值。

-需要理解公式的逆向逻辑，即从结果反推过程。

7.平方差公式的几何意义：

-可以通过几何图形（如长方形）来直观理解平方差公式的意义。

-长方形的长和宽分别为a+b和a-b时，其面积等于a²-b²。

8.平方差公式与其他数学概念的联系：

-与整式乘法法则的关系。

-与完全平方公式的关系，如(a+b)²和(a-b)²。

-与二次方程的解的关系，如x²-9=0的解可以通过平方差公式来快速求解。

9.平方差公式的扩展应用：

-在解决更复杂的整式乘法问题时的应用，如(a+b+c)(a-b-c)。

-在代数运算中的高级应用，如分式的化简等。

10.平方差公式的实际例子：

-计算价格差异，如商品打折后的价格。

-计算速度差异，如两个物体的速度之和与差。重点题型整理1.题型一：平方差公式的直接应用

例题：计算(3x+4y)(3x-4y)。

解答：根据平方差公式，有：

(3x+4y)(3x-4y)=(3x)²-(4y)²

=9x²-16y²

2.题型二：平方差公式在解决实际问题中的应用

例题：一个长方形的长是a+b，宽是a-b，求这个长方形的面积。

解答：根据平方差公式，长方形的面积为：

面积=(a+b)(a-b)

=a²-b²

3.题型三：平方差公式的逆向应用

例题：已知x²-64=0，求x的值。

解答：将方程变形为：

x²=64

可以看出64=8²，所以原方程可以看作是平方差公式的逆向应用，即：

x=±8

4.题型四：平方差公式在复杂整式乘法中的应用

例题：计算(2x-3y+5z)(2x+3y-5z)。

解答：可以将原式看作是平方差公式的扩展，先将原式拆分为两部分：

(2x-3y+5z)(2x+3y-5z)=(2x+(3y-5z))(2x-(3y-5z))

=4x²-(3y-5z)²

然后，再对(3y-5z)²进行平方差公式展开：

(3y-5z)²=9y²-30yz+25z²

因此，原式为：

4x²-(9y²-30yz+25z²)

=4x²-9y²+30yz-25z²

5.题型五：平方差公式在代数运算中的应用

例题：化简分式1/(a²-b²)。

解答：利用平方差公式，分母可以写为：

a²-b²=(a+b)(a-b)

所以，原分式可以写为：

1/(a+b)(a-b)

这时，可以进一步根据分式的性质，将分式拆分：

1/(a+b)(a-b)=1/(a+b)-1/(a-b)

补充说明：

-在题型一中，学生需要掌握平方差公式的基本应用，即直接将两个含有和与差的整式相乘。

-在题型二中，学生需要理解平方差公式在解决实际问题时如何应用，特别是在几何问题的面积计算中。

-在题型三中，学生要学会逆向使用平方差公式，这在解二次方程时非常有用。

-在题型四中，学生需要将平方差公式应用到更复杂的整式乘法中，这要求他们能够灵活拆分和组合整式。

-在题型五中，学生要学会将平方差公式应用于代数运算中，特别是分式的化简，这要求他们能够将公式与分式的性质结合起来。板书设计1.标题：

-平方差公式

2.公式展示：

-(a+b)(a-b)=a²-b²

3.教学重点：

-公式的推导

-公式的应用

-符号的理解与运用

4.结构化内容：

-定义与推导

-两个数的和与差相乘

-利用分配律展开

-应用实例

-整式乘法

-实际问题（如面积计算）

-重点难点解析

-符号正负

-逆向应用

-拓展与联系

-与完全平方公式

-与二次方程

5.艺术性与趣味性：

-使用不同颜色的粉笔标出重点