平行线的判定与性质证明题专训30题（人教版）（人教版） 带解析

七年级下学期【平行线的判定与性质30题专训】一．解答题（共30小题）1．（2023春•袁州区校级月考）如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，要证∠3+∠4＝180°，请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：∵AD∥BC（已知）∴＝（），∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（），∴∥（），∴∠3+∠4＝180°（）．【分析】根据平行线的判定定理和性质定理，即可得到答案．【解答】解：∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行），∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：∠1；∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换；BE；DF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．2．（2023春•荆州月考）已知：如图，∠A＝∠EBC，∠3＝∠E，试说明：∠1＝∠2．补全解答过程．证明：∵∠A＝∠EBC（已知），∴AD∥（），∴∠4＝∠（），∵∠3＝∠E（已知），∴∠4＝∠（等量代换），∴∥CE（），∴∠1＝∠2（）．【分析】根据平行线的判定和性质定理解答即可．【解答】证明：∵∠A＝∠EBC（已知），∴AD∥BE（同位角相等，两直线平行），∴∠4＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠3＝∠E（已知），∴∠4＝∠E（等量代换），∴BD∥CE（内错角相等，两直线平行），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），故答案为：BE；同位角相等，两直线平行；3；两直线平行，内错角相等；E；BD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．3．（2023春•岳麓区校级月考）根据题意将下列空格补充完整：如图，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A．求证：∠AEH＝∠F．证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°；∴DE∥（）；∴∠1＝∠C（）；∠2＝（两直线平行，内错角相等）；∵∠1＝∠2，∠C＝∠A．∴∠A＝（）；∴AB∥DF（）；∴∠AFH＝∠F（）．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，∴DE∥AC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠C＝∠A（已知），∴∠A＝∠DGC，∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行），∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等），故答案为：AC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠DGC；∠DGC；已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．4．（2023春•东阳市月考）如图，EF∥AD，∠DGA+∠BAC＝180°，说明：∠1＝∠2，请将说明过程填写完成．解：∵EF∥AD，（已知）∴∠2＝．（）∵∠DGA+∠BAC＝180°，（）∴DG∥AB，（）∴∠1＝∠3，（）∴∠1＝∠2．（）【分析】根据平行线的判定与性质定理求解即可．【解答】解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知），∴DG∥AB（同旁内角互补，两直线平行），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），∴∠1＝∠2（等量代换），故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换．5．（2023春•临平区月考）如图是潜望镜示意图，AB，CD代表镜子．且AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：MN∥EF．请补全下述证明过程：证明：∵AB∥CD，∴∠2＝．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+＝180°，∴∠5＝．∴MN∥EF（）．【分析】根据平行线性质得出∠2＝∠3，求出∠5＝∠6，根据平行线判定推出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，∴∠5＝∠6，∴MN∥EF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：∠3；∠6；∠6；（内错角相等，两直线平行）．6．（2023春•周口月考）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠DEF，求证：DE∥BC．请将下面的推理过程补充完整．证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2＝∠3（），∴∠1+∠3＝180°．∴∥（）．∴∠B＝（）．∵∠B＝∠DEF（已知），∴∠DEF＝（）．∴DE∥BC（）【分析】由于∠1+∠2＝180°，∠2＝∠3，则∠1+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥EF，则利用平行线的性质得∠B＝∠CFE，由于∠B＝∠DEF，所以∠DEF＝∠CFE，于是根据平行线的判定得到DE∥BC．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1+∠3＝180°，AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠DEF（已知），∴∠DEF＝∠EFC（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；AB，CD，同旁内角互补，两直线平行；∠EFC，两直线平行，同位角相等；∠EFC，等量代换．7．（2022秋•南岗区期末）如图，点E在四边形ABCD的边BC上，连接AE，DE，∠B+∠BED＝180°，∠BAE＝∠CDE，∠DAE＝∠C，求证：AD∥BC．证明：∵∠B+∠BED＝180°（已知）∴AB∥DE（①）∴∠BAE＝∠AED（②）又∵∠BAE＝∠CDE（已知）∴∠AED＝∠CDE（等量代换）∴AE∥CD（③）∴∠AEB＝∠C（④）又∵∠DAE＝∠C（已知）∴AEB＝∠DAE（等量代换）∴AD∥BC（⑤）【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行证明AB∥DE得到∠BAE＝∠AED，则∠AED＝∠CDE，即可证明AE∥CD得到∠AEB＝∠C，进而推出AEB＝∠DAE即可证明AD∥BC．【解答】证明：∵∠B+∠BED＝180°（已知），∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行），∴∠BAE＝∠AED（两直线平行，内错角相等），又∵∠BAE＝∠CDE（已知），∴∠AED＝∠CDE（等量代换），∴AE∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠AEB＝∠C（两直线平行，同位角相等），又∵∠DAE＝∠C（已知），∴AEB＝∠DAE（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．8．（2022秋•道里区期末）在下面的括号内，填上推理的根据．如图，点D，E分别为三角形ABC的边AB，AC上的点，点F，G分别在BC，AB上，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，∠EFG＝90°．求证FG⊥AB．证明：∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC（）．∴∠DEF＝∠EFC（）．∵∠DEF＝∠B，∴∠EFC＝∠B．∵∠EFC+∠EFB＝180°，∴∠B+∠EFB＝180°（）．∴DB∥EF（）．∴∠AGF+∠EFG＝180°（）．∵∠EFG＝90°，∴∠AGF＝90°．∴FG⊥AB（）．【分析】由∠AED＝∠C判定DE∥BC，得到∠DEF＝∠EFC，利用等量代换得到∠B+∠EFB＝180°，推出DB∥EF，则有∠AGF+∠EFG＝180°，根据∠EFG＝90°，算出∠AGF＝90°，即可证明．【解答】证明：∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠DEF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），∵∠DEF＝∠B，∴∠EFC＝∠B，∵∠EFC+∠EFB＝180°，∴∠B+∠EFB＝180°（等量代换），∴DB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴∠AGF+∠EFG＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠EFG＝90°，∴∠AGF＝90°，∴FG⊥AB（垂线的定义）．故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂线的定义．9．（2022秋•朝阳区期末）在下列解答中，填空（理由或数学式）．（1）∵∠1＝∠3（已知），∴AD∥BC（）．（2）∵AD∥BC（已知），∴∠2＝（）（两直线平行，内错角相等）．（3）∵∠3+∠4＝180°（已知），∴（）∥（）（）．【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行解答即可；（2）根据两直线平行，内错角相等解答即可；（3）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可．【解答】解：（1）∵∠1＝∠3（已知），∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．故答案为：同位角相等，两直线平行；（2）∵AD∥BC（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．故答案为：∠3；（3）∵∠3+∠4＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：AB；CD；同旁内角互补，两直线平行．10．（2022秋•香坊区期末）推理填空：如图，在△ABC中，点E、点G分别是边AB、AC上的点，点F、点D是边BC上的点，连接EF、AD和DG，DG是∠ADC的角平分线，AB∥DG，若∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，求∠EFC的度数．解：∵AB∥DG（），∴∠1＝∠（），∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°（），∴AD∥EF（），∴∠EFC＝∠ADC（），∵∠2＝140°∴∠1＝180°﹣140°＝40°∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC＝2∠＝80°（），∴∠EFC＝80°．【分析】由AB∥DG，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠1＝∠EAD，结合∠1+∠2＝180°可得出∠BAD+∠2＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出AD∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠EFC＝∠ADC，由∠2＝140°及∠1+∠2＝180°可求出∠1的度数，再利用角平分线的定义可求出∠EFC的度数．【解答】解：∵AB∥DG（已知），∴∠1＝∠EAD（两直线平行，内错角相等），∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°（等量替换），∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴∠EFC＝∠ADC（两直线平行，同位角相等），∵∠2＝140°，∴∠1＝180°﹣140°＝40°．∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC＝2∠1＝80°（角平分线的定义），∴∠EFC＝80°．故答案为：已知；EAD；两直线平行，内错角相等；等量替换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；1；角平分线的定义．11．（2022秋•青神县期末）如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°，∴AB∥ED．∴∠ABC＝∠BCD．又∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥．∴∠PBC＝．又∵∠1＝∠ABC﹣，∠2＝∠BCD﹣，∴∠1＝∠2（等量代换）．【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．【解答】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°已知，∴AB∥ED同旁内角互补，两直线平行，∴∠ABC＝∠BCD两直线平行，内错角相等，∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥CQ，∴∠PBC＝∠BCQ，∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ，∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．12．（2022秋•射洪市期末）如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，已知：∠GFC+∠BHC＝180°，证明：∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）解：因为∠GFC+∠BHC＝180°（已知），∠FHD＝∠BHC（），所以∠GFC+＝180°，所以FG∥BD（），所以∠1＝（）．因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝，所以＝（）．【分析】求出∠3+∠FHD＝180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠2即可．【解答】解：因为∠GFC+∠BHC＝180°（已知），∠FHD＝∠BHC（对顶角相等），所以∠GFC+∠FHD＝180°，所以FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），所以∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠2，所以∠1＝∠2（等量代换），故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，∠1＝∠2，等量代换．13．（2022秋•巴中期末）已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．请完善下面解答过程，并填写理由．解：∵∠3＝∠4（已知），∴AE∥（），∴∠EDC＝（两直线平行，内错角相等），∵∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝（），∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行），∴∠5+∠ABC＝180°（），即∠5+∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠2（已知），∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换），即∠BCF+∠3＝180°，∴BE∥（）．【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等），∵∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝∠A（等量代换），∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行），∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠5+∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠2（已知），∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换），即∠BCF+∠3＝180°，∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；∠5；∠A；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF；同旁内角互补，两直线平行．14．（2022秋•石狮市期末）阅读下列说理过程，并填空（理由或数学式）．如图，已知AC∥DF，∠C＝∠F．试说明：∠E＝∠CBD．解：∵AC∥DF（已知），∴∠1＝（）．又∵∠C＝∠F（已知），∴＝∠F（等量代换），∴BC∥（），∴∠E＝∠CBD（两直线平行，同位角相等）．【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠C，可求得∠1＝∠F，即可判定BC∥EF，从而得∠E＝∠CBD．【解答】解：∵AC∥DF（已知），∴∠1＝∠C（两直线平行，内错角相等）．又∵∠C＝∠F（已知），∴∠1＝∠F（等量代换），∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行），∴∠E＝∠CBD（两直线平行，同位角相等）．故答案为：∠C；两直线平行，内错角相等；∠1；EF；内错角相等，两直线平行．15．（2022秋•鼓楼区期末）如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE．证明：∵AB∥CD，（），∴∠BAE＝∠4（）．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAE＝，（等式的性质1）即∠BAE＝∠CAD，∴∠4＝∠CAD，（等量代换）∵∠3＝∠4，∴∠CAD＝∠3，（等量代换）∴AD∥BE．（）．【分析】先根据平行线的性质得到∠BAE＝∠4，再证明∠BAE＝CAD，得到∠4＝∠CAD，进而推出∠CAD＝∠3，由此即可证明AD∥BE．【解答】证明：∵AB∥CD，（已知），∴∠BAE＝∠4（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，（等式的性质1）即∠BAE＝∠CAD，∴∠4＝∠CAD，（等量代换）∵∠3＝∠4，∴∠CAD＝∠3，（等量代换）∴AD∥BE．（内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知；两直线平行，同位角相等；∠2+∠CAE；内错角相等，两直线平行．16．（2022秋•鼓楼区校级期末）请把下列的证明过程补充完整：如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，∠ACB＝∠CEB＝∠FDB＝90°，∠GEC+∠DFC＝180°．求证：EG⊥AC．证明：∵∠CEB＝∠FDB（），∴CE∥（），∴∠ECB+∠DFC＝180°（），∵∠GEC+∠DFC＝180°（已知），∴∠ECB＝∠GEC（），∴GE∥BC（），∴∠AGE＝∠ACB＝90°（），∴EG⊥AC（）．【分析】由∠CEB＝∠FDB，根据“同位角相等，两直线平行”得到CE∥DF，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠ECB+∠DFC＝180°，结合已知进行“等量代换”得∠ECB＝∠GEC，根据“内错角相等，两直线平行”得GE∥BC，依据“两直线平行，同位角相等”得∠AGE＝∠ACB＝90°，最后根据“垂直得定义”可得结果EG⊥AC．【解答】证明：∵∠CEB＝∠FDB（已知），∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行），∴∠ECB+∠DFC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠GEC+∠DFC＝180°（已知），∴∠ECB＝∠GEC（等量代换），∴GE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠AGE＝∠ACB＝90°（两直线平行，同位角相等），∴EG⊥AC（垂直的定义）．故答案为：已知；DF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义．17．（2022秋•叙州区期末）已知：如图，∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，∠1＝∠E．求证：AD平分∠BAC．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：证明：∵∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，（）∴＝，（）∴AD∥EG，（）∴∠2＝∠1，（）∵∠E＝∠1（已知），∴＝，（）∴AD平分∠BAC．（）【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】证明：∵∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°（已知），∴∠3＝∠E（同角的余角相等），∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵∠E＝∠1（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴AD平分∠BAC（角平分线的定义），故答案为：已知；∠3；∠E；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线的定义．18．（2022秋•抚州期末）如图，AB∥CD，点E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝28°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠2＝62°，求证：CF∥AG．【分析】（1）先由平行线的性质得到∠DCE＝∠1＝28°，再由角平分线的定义作答即可；（2）先由CF⊥CE求出∠FCH＝62°，再由同位角相等两直线平行证明即可．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠1＝28°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝28°．（2）证明：∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°．又∵∠ACE＝28°，∴∠FCH＝∠FCE﹣∠ACE＝62°．∵∠2＝62°，∴∠FCH＝∠2，∴CF∥AG．19．（2022秋•秀英区校级期末）如图．AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．（1）试说明：EB∥DC；（2）AC与ED的位置关系如何？为什么？（3）∠BED与∠ACD相等吗？请说明理由．注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．解：（1）∵AD∥BC，（已知）∴∠B＝∠（）又∵∠1＝∠B，（已知）∴∠1＝∠（等量代换）∴∥（）（2）AC与ED的位置关系是：理由如下：∵AD∥BC，（已知）∴∠3＝∠（）又∵∠2＝∠3，（已知）∴∠＝∠（等量代换）∴∥．（）【分析】（1）根据平行线的性质及判定定理推理论证即可；（2）根据平行线的性质及判定定理推理论证即可；（3）根据平行线的性质得到∠BED+∠CDE＝180°，∠ACD+∠CDE＝180°，即可得到结论∠BED＝∠ACD．【解答】解：（1）∵AD∥BC，（已知）∴∠B＝∠EAD（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠B，（已知）∴∠1＝∠EAD（等量代换）∴EB∥DC（内错角相等，两直线平行）故答案为：EAD；两直线平行，同位角相等；EAD；EB、DC；内错角相等，两直线平行；（2）AC与ED的位置关系是：AC∥ED，理由如下：∵AD∥BC，（已知）∴∠3＝∠CAD（两直线平行，内错角相等）又∵∠2＝∠3，（已知）∴∠2＝∠CAD（等量代换）∴AC∥ED．（内错角相等，两直线平行）故答案为：AC∥ED；CAD；两直线平行，内错角相等；2；CAD；AC；ED；内错角相等，两直线平行；（3）∠BED＝∠ACD，理由如下：∵EB∥DC，∴∠BED+∠CDE＝180°，∵AC∥ED，∴∠ACD+∠CDE＝180°，∴∠BED＝∠ACD．20．（2022秋•丰泽区期末）如图，已知AB∥DE，∠BAC＝90°．（1）求证：AC⊥DE；（2）若∠C+∠D＝90°，求证：AD∥BC．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BAC＝∠EOC＝90°，根据垂直的定义即可得解；（2）根据垂直的定义结合等量代换得出∠D＝∠DEC，即可判定AD∥BC．【解答】证明：（1）如图，AC交DE于点O，∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠EOC，∵∠BAC＝90°，∴∠EOC＝90°，∴AC⊥DE；（2）∵∠EOC＝90°，∴∠C+∠DEC＝90°，∵∠C+∠D＝90°，∴∠D＝∠DEC，∴AD∥BC．21．（2022秋•连平县校级期末）填空，将本题补充完整．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°，将求∠AGD的过程填写完整．解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝，又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝（等量代换），∴AB∥GD（），∴∠BAC+＝180°（），∵∠BAC＝75°（已知），∴∠AGD＝°．【分析】先利用平行线的性质可得∠2＝∠3，从而利用等量代换可得∠1＝∠3，然后利用平行线的判定可得AB∥GD，从而利用平行线的性质可得∠BAC+∠AGD＝180°，进行计算即可解答．【解答】解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代换），∴AB∥GD（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC＝75°（已知），∴∠AGD＝105°．故答案为：∠3；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；105．22．（2022秋•南安市期末）完成下面的解答过程，请在括号内填上适当的理由：如图，AF分别与BD、CE相交于点G、点H，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D，则AC与DF平行吗？解：∵AF与BD相交于点G，∴∠1＝∠DGH（），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠DGH+∠2＝180°（等量代换），∴BD∥CE（），∴∠D＝∠CEF（），又∵∠C＝∠D（已知），∴∠C＝∠CEF（等量代换），∴AC∥DF（）．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：∵AF与BD相交于点G，∴∠1＝∠DGH（对顶角相等），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠DGH+∠2＝180°（等量代换），∴BD∥CE（同旁内角互补，两直线平行），∴∠D＝∠CEF（两直线平行，同位角相等），又∵∠C＝∠D（已知），∴∠C＝∠CEF（等量代换），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．23．（2022秋•海口期末）如图，AD∥BC，∠1＝∠B．（1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）若∠A＝120°，CD⊥AD，求∠EDC的度数．请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由．解：（1）AB∥DE，理由如下：∵AD∥BC，（已知）∴∠1＝∠（）又∵∠1＝∠B，（已知）∴∠B＝∠（）∴∥（）（2）∵AD∥BC，（已知）∴∠A+∠＝180°（）∴∠B＝180°﹣∠A＝°．（等式的性质）又∵∠1＝∠B，（已知）∴∠1＝°．（等量代换）∵CD⊥AD，（已知）∴∠ADC＝°．（垂直的定义）∴∠EDC＝∠﹣∠＝°﹣°＝°．【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再有已知角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；（2）由AD与BC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，根据∠A的度数求出∠B的度数，根据∠1＝∠B，确定出∠1度数，即可求出∠EDC的度数．【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠DEC（两直线平行，内错角相等），又∵∠1＝∠B（已知），∴∠B＝∠DEC（等量代换），∴AB∥DE，（同位角相等，两直线平行），（2）∵AD∥BC（已知），∴∠A+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠B＝180°﹣∠A＝60°（等式的性质），又∵∠1＝∠B（已知），∴∠1＝60°（等量代换），∵CD⊥AD（已知），∴∠ADC＝90°（垂直的定义），∴∠EDC＝∠ADC﹣∠1＝90°﹣60°＝30°．故答案为：（1）DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；AB；DE；同位角相等，两直线平行；（2）B；两直线平行，同旁内角互补；60；60；90；ADC；1；90；60；3024．（2023春•兴化市月考）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．（1）求证：AC∥DF；（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可进行证明；（2）根据两直线平行，内错角相等即可求出∠C的度数．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴DB∥CE．∴∠D＝∠FEC．又∵∠C＝∠D，∴∠C＝∠FEC．∴AC∥DF．（2）解：∵AC∥DF，∴∠DEC+∠C＝180°，又∵∠DEC＝105°，∴∠C＝75°．25．（2023•市北区校级开学）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．【分析】（1）依据平行线的判定与性质，即可得到∠1与∠ABD的数量关系；（2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出∠2的度数，再根据∠ACB为直角，即可得出∠ACF．【解答】解：（1）CF∥DB，理由：∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴BC∥DE，∴∠3+∠CBD＝180°，又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝∠CBD，∴CF∥DB．（2）∵∠1＝70°，CF∥DB，∴∠ABD＝70°，又∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABD＝35°，∴∠2＝∠DBC＝35°，又∵BC⊥AG，∴∠ACF＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．26．（2022秋•镇平县期末）根据解答过程填空（理由或数学式）：已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠ACB＝∠4．证明：∵∠1+∠DFE＝180°（），又∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠2＝∠DFE（），∴AB∥EF（），∴∠3＝∠．∵∠3＝∠B（已知），∴∠B＝∠，∴DE∥BC（），∴∠ACB＝∠4（）．【分析】根据平行线的判定和性质定理证明即可．【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），又∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠2＝∠DFE（同角的补角相等），∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），又∵∠3＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠ACB＝∠4（两直线平行，同位角相等），∴∠ACB＝65°，故答案为：邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；ADE；ADE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．27．（2022秋•辉县市校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵∠3＝∠4（已知）∴AE∥（）∴∠EDC＝∠5（）∵∠5＝∠A（已知）∴∠EDC＝（等量代换）∴DC∥AB（）∴∠5+∠ABC＝180°（）即∠5+∠2+∠3＝180°∵∠1＝∠2（已知）∴∠5+∠1+∠3＝180°（）即∠BCF+∠3＝180°∴BE∥CF（）．【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等），∵∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝∠A（等量代换），∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行），∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠5+∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠2（已知），∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换），即∠BCF+∠3＝180°，∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．28．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．证明：∵∠1＝∠2，（已知）∵∠2＝∠3，（）∴∠1＝∠．（）∴DF∥CE．（）∴∠C＝∠．（两直线平行，同位角相等）∵∠C＝∠F，（已知）∴∠F＝∠．（等量代换）∴AC∥BF．（）∴∠A＝∠B．（）∵AB⊥AC，（已知）∴∠A＝90°．∴∠B＝90°．∴AB⊥BF．（）【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2，（已知）∵∠2＝∠3，（对顶角相等）∴∠1＝∠3．（等量代换）∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）∵∠C＝∠F，（已知）∴∠F＝∠ADM．（等量代换）∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）∵AB⊥AC，（已知）∴∠A＝90°．∴∠B＝90°