数据的统计分析归类2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第三册）（解析版）

专题31数据的统计分析归类

目录

【题型一】相关系数图形判断.....................................................................1

【题型二】相关系数辨析..........................................................................3

【题型三】相关系数求解..........................................................................4

【题型四】一元线性回归..........................................................................6

【题型五】反比例回归方程.......................................................................9

【题型六】指数型回归方程.......................................................................12

【题型七】对数型回归方程.......................................................................15

【题型八】根号型回归方程.......................................................................17

【题型九】二次函数型回归方程...................................................................20

【题型十】残差.................................................................................22

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................26

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................30

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................34

热点题型归纳

【题型一】相关系数图形判断

【典例分析】

对变量x、y由观测数据得散点图1,对变量y、z由观测数据得散点图2.由这两个散点图

可以判断（）

A.变量X与y负相关，x与Z正相关

B.变量X与y负相关，X与Z负相关

C.变量X与y正相关，X与Z正相关

D.变量x与〉正相关，x与z负相关

【答案】B

【分析】根据散点图直接判断可得出结论.

【详解】由散点图可知，变量X与y负相关，变量y与z正相关，所以，X与z负相关.

故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

L两个变量有，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称

为相关关系.

2.如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就

称这两个变量正相关;如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势,

则称这两个变量负相关

【变式训练】

1.在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（）

［答案］B

析】根据散点图中两个变量的变化趋势宜接判断即可.

【详解】对于A,散点的变化具有波动性，非正相关关系，A错误；

对于B,当x变大时，y的变化趋势也是逐渐增大，可知两个变量具有正相关关系，B正确；

对于C,当x变大时，y的变化趋势是逐渐减小，可知两个变量具有负相关关系，C错误;

对于D,两个变量的变化无规律，二者没有相关性，D错误.

故选：B.

2.如下四个散点图中，正相关的是（）

【答案】A

【解析】根据散点图中点的分布情况，判断是否具有相关性和正负相关关系.

【详解】对于A,散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关;

对于B,散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关：

对于C、D,散点图中的点不成带状分布，没有明显的相关关系；

故选：A.

3.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）

【答案】D

【分析】根据图形可得（I）具有函数关系；（2）（3）的散点分布在一条直线或曲线附近,

具有相关关系；（4）的散点杂乱无章，不具有相关关系.

【详解】对（1）,所有的点都在曲线上，故具有函数关系：

对（2）,所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系；

对（3）,所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系；

对（4）,所有的散点杂乱无章，不具有相关关系.

故选：D.

【题型二】相关系数辨析

【典例分析】

下列关于散点图的说法中，正确的是（）

A.任意给定统计数据，都可以绘制散点图B.从散点图中可以看出两个量是否具有一定

的关系

C.从散点图中可以看出两个量的因果关系D.从散点图中无法看出数据的分布情况

【答案】B

【分析】根据散点图的概念判断即可.

【详解】散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点

图表示，故A错误；

散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误；

散点图中能看出数据的分布情况，故D错误.

故选：B

【提分秘籍】

基本规律

样本相关系数「的性质：

当r>0时，称成对样本数据正相关；

当X0时，称成对样本数据负相关.当仍越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强;

当仍越接近于0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

当r=0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关

系.

【变式训练】

1.下列有关样本线性相关系数r的说法，错误的是()

A.相关系数r可用来衡量x与y之间的线性相关程度

B.且卜|越接近0,相关程度越小

C.|r|<l,且卜|越接近1,相关程度越大

D.|r|<l,且M越接近1,相关程度越小

【答案】D

【分析】根据相关系数的定义，即可判断选项.

【详解】相关系数是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是一个绝对值小

于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以不正确的只有D.

故选：D.

2.下列变量之间的关系是相关关系的是()

A.正方体的表面积与体积

B.光照时间与果树的产量

C.匀速行驶车辆的行驶距离与时间

D.某运动会中某代表团的足球队的比赛成绩与乒乓球队的比赛成绩

［答案］B

【3析】A与C是一种函数关系，D不具备相关关系，B满足相关关系.

【详解】对于A,正方体的体积确定，则表面积随之确定，是--种确定性关系，A错误：

对于B,光照时间越长，果树的产量相对越大，是一种线性相关关系，B正确；

对于C,行驶速度与时间是一种确定的函数关系，C错误；

对于D,足球比赛成绩与乒乓球比赛成绩没有关系，不具有相关关系，D错误.

故选：B

3.变量X与丫相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5)；变量［/

与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).4表示变量y与X

之间的线性相关系数，4表示变量丫与U之间的线性相关系数，则().

A.B.0<4<。

C.4<°<4D.r2=rt

【答案】C

【分析】根据变量对应数据可确定x与y之间正相关，u与v之间负相关，由此可得相关

系数的大小关系.

【详解】由变量X与丫相对应的组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),

可得变量X与y之间正相关，

由变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),可知变

量。与V之间负相关，

・•.与<0；

综上所述：4与4的大小关系是

故选：C.

【题型三】相关系数求解

【典例分析】

若已知斗，牙是讣,「寸的两倍，£(x，T(%-»是4％_可2的1.2倍，则相关系数

r的值为()

J21.2

A.—B.-7=C.0.92D.0.65

1.2V2

【答案】B

【分析】根据相关系数公式计算可得；

【提分秘籍】

基本规律

Z(x,「x)(M-y)

J“

愎士—亍之以一分

相关系数：V/=><=>厂>0,表示两个变量正相关；r<。，表示两个变

量负相关；r的绝对值越接近

【变式训练】

1.在一次试验中，测得(2)的四组值分别为。,2),(2,0),(4,-4),(7,6),则)，与x的相关系数

为()

A."B.-1C.0D.—-

［答案］B

【2■析】经计算可知四个点都在一条单调递减的直线上，即可得相关系数.

【详解】因为过点0,2),(2,0)的直线的斜率为4=:2=-2,

所以过点(1,2),(2,0)的直线的方程为：y=-2(x-2)即y=4-2x,

经检验点(4,T),(T6)都在直线y=4—2x,

所以y与x是函数关系，

又因为y=4-2x单调递减，所以y与*的相关系数为T,

故选：B.

2.在一组样本数据(X2J,(X2,%)，(£，%)，GQJSZN%-3“不全相等)的散点图中,

若所有样本点(")(，・=1,2,3,,〃)都在直线y=-卜+1上，则这组样本数据的样本相关系

数为()

A.-1B.0C.1D.——

【答案】A

【/析】根据样本数据的所有样本点都在一条直线上，得出这组样本数据完全相关，再根据

直线的斜率得出是正相关还是负相关即可.

【详解】这组样本数据的所有样本点（x2J（i=l,2,,〃）都在直线），=-9+1上，

，这组样本数据完全相关，

即说明这组数据的样本完全负相关，其相关系数是-1

故选：A.

3.若回归直线方程中的回归系数6=0时,则相关系数为（）

A.r=lB.r=-X

C.D.无法确定

【答案】C

【详解】分析：先根据已知求得£但-元）（正歹）=0,再求得相关系数为0得解.

1=1

,_±（x,-w,-y）

详解：当b=上，--------=0时，有£（正元）（正歹）=0,故相关系数r=1；-=0.

»=1V/=1i=l

故答案为C.

【题型四】一元线性回归

【典例分析】

随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市

场，越来越受到人们喜爱.某新能源汽车销售企业在2017年至2021年的销售量单位:

万辆）数据如下表:

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代号X12345

销售量y（万辆）75849398100

（1）请用相关系数判断y关于x的线性相关程度（参考：若0.3<M<075,则线性相关程度一

般，若旧>。75,则线性相关程度较高，计算r时精确到小数点后两位）；

（2）求出y关于x的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆？

参考数据：2（%-疔=434,£（%-x）（y-y）=64,J4340165.879

7=1»=1

£（1）（必-y）f（%T（y，T

附：相关系数厂=一“，回归直线方程的斜率。=『......-,截

收”茂（,内小F

V»=1/=1,=,

距「“玩

【答案】（i）y与x有很强的线性相关性;

⑵y=6.4x+70.8，109.2万辄

【分析】（1）根据公式求出线性相关系数「，从而可得出结论；

（2）利用最小二乘法求出线性回归方程，再代入x的值，即可得出预计直

【详解】（1）解：由表中数据可得7=3，工=90,...£；■-一可2=10,

1=1x

又£（%一y）2=434,£k—x）（%-y）=64,

/=1i=l

会（玉-加c）

64

»0.97>0,75,

V4340

所以y与x有很强的线性相关性;

.火(x，T(yT64

(2)解：由表中数据可得b-------；—=—=6.4,

XL，10

1=1

则a=]—以=9()一6.4x3=70.8，

•*-y=6.4x4-70.8»

又2022年对应的代号为6故＞=6.4x6+70.8=109.2，

由此预计2022年该新能源汽车企业的销售量为109.2万辆.

【提分秘籍】

基本规律

（1）一元线性回归模型

在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预

{Y—bx+Q+c

rv、一八~’2①我们称①式为丫关于X的一元线性回归模型_•其中，丫称为因

E（e）-0,£＞（e）=b.

变量或呼应变量，x称为自变量或解释变量：“和。为模型的未知参数，〃称为截距参数，

6称为斜率参数；e是丫与法+a之间的随机误差.如果e=0,那么丫与x之间的关系就可

用一元线性函数模型来描述.

（2）一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归直线方程过样本点的中心叵J）,是回

归直线方程最常用的一个特征.

我们将f=八+6称为y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图

形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的另力叫做儿a

.Z(x,.-x)(y,.-y)'tx^-nx-y

/=1

A_i=l2一

的最小二乘估计，其中•2

2(七一元)Ex,2-rix

nn

a=y-bx.

【变式训练】

2019年，海南等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语

必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2

门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、

历史成绩的茎叶图如图所示.

物理成绩历史成绩

69

676

7522802

309468

（1）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；

⑵甲同学发现，其物理考试成绩y（分）与班级平均分x（分）具有线性相关关系，统计数

参考数据：\>,=490,Z.X=595,»；=3484O,=50767,=41964,

i=i/=ii=ii=ii=i

-5）=314.

i=\

参考公式：b=~~~；;a=y-b-x

i=\i=l

【答案】（1）!（2）73分

【分析】（1）记物理、历史分别为A,A2,思想政治、地理、化学、生物分别为乌，B2,

鸟，凡，利用列举法将所有基本事件列出，再根据古典概型即可得解；

（2）分别求出x,y,利用最小二乘法求出线性回归方程，再将x=50代入即可.

【详解】（1）解：记物理、历史分别为A,4,思想政治、地理、化学、生物分别为可，B2,

B、,BA,

由题意可知考生选择的情形有｛A，4,与｝,｛A，4出｝,｛A，4，B4｝,｛、为心｝,

｛A鸣也｝,｛4,四也｝,｛%,6也｝,｛&,4网｝,｛4,4，坊｝，｛4鸣，四｝,

｛&也,凡｝,｛&,&四｝,共12种,

他选到物理、地理两门功课的情形有｛A，q，与｝｛4，应用｝共3种，

31

二甲同学选到物理、地理两门功课的概率为尸=五二^；

…、皿-57+61+65+72+74+77+84”

（2）解：x=---------------------------------------=70,

_76+82+82+85+87+90+93

y=---------------------------------------=85,

7

,产/-7xy41964-7x70x853142

b=----=-------------------------z—=--x0.58,

Z7H_7.）34840-7x702540

^=y-/7.x=85-0.58x70«44.40,

・,・y关于X的回归方程为y=0.58x+44.40,

当x=50时，y=0.58x50+44.40«73,

所以当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分.

【题型五】反比例回归方程

【典例分析】

网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了

我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出后，

某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，

（2）分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.

1777

参考数据（其中4=不，»通=7212,2/=1586,7=0.37，》：_7产=0.55.

X

ii=\/=1i=]

参考公式：对于一组数据（司,））（々,％），（后，弘），“・，（七”"），其回归直线2R+G的斜率和

截距的最小二乘估计公式分别为：3=号-------a=y-b^.

Yxi-nx

»=1

【答案】（1）2=幽+30（2）两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下

X

【分析】（1）对于非线性回归方程先通过换元法将？=0+匕变化为线性回归方程9=良+4,

X

再代入参考数据得到b=100（）,。=30.

1（V）n

⑵将x=24代入回归方程处4+30得到j^71.7,

x

故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.

y=-+by=-(891+888+351+220+200+138+112)=400

(1)由表中数据可得x更适宜.7'

令f=L，设y关于/的线性回归方程为£=命+&,

则

X

1586-7x0.37x400

吞=号-------=1000,

»7尸0.55

则4=400—1000x0.37=30,故y关于r的回归方无呈为亍=竺四+3。

x

,1000々八

y=-------F30

（2）由回归方程x可知，随x的增大，y逐渐减少，

1（）（）

当x=24时，9=与N-+30。71.7<75,故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.

【提分秘籍】

基本规律

,1,

y=k—Fb1

形如X型，可以通过设t=一,转化为y=kt+b线性求解

x

【变式训练】

快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均

成本y（单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量x（单位：千件）之间的关系，对该网

点近7天的每日揽件量X,.（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本y,（单位：元）

（/=1,2,3,4,5,6,7）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值.

单件平均成本W元

8

6

4

2

0246810每日揽件量x/千件

7

2£（吗-何『

XyWZ（吗一刃）（％-，）丁)

f=l1=1/=11=1

44.60.37-182.7525.50.55

表中吗=丁，卬=亍*吗.

X

i•1=1

（1）根据散点图判断丫=以+匕与），=。+4哪一个更适宜作为〉关于X的经验回归方程类型？

X

并根据判断结果及表中数据求出y关于x的经验回归方程；

（2）已知该网点每天的揽件量x（单位：千件）与单件快递的平均价格，（单位：元）之间的

关系是x=历不（5.75q414.5）,收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本,

根据（1）中建立的经验回归方程解决以下问题：

①预测该网点某天揽件量为2千件时可获得的总利润；

②单件快递的平均价格f为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？

附：对于一组具有线性相关关系的数据（4,匕）（i=I,2,,〃），其经验回归直线0="+&的

汽（M-"）（匕-M）

斜率和截距的最小二乘估计分别为6=『-----------，a=v-pp.

£（k-"）2

/=1

【答案】（l）y=c+4更适宜作为y关于X的经验回归方程类型，y=2.75+-

XX

（2）①17000元；②单件快递的平均价格f=10.75元时，该网点一天内收发快递所获利润的预

报值最大.

【分析】（1）根据散点图可确定回归模型，令w=1,利用最小二乘法可求得d,c,由此可

X

得回归方程；

（2）设收发x千件快递获利z千元，可得z=-1+12x-5（14x46）；①将x=2代入解析式

即可求得z；②利用导数可求得z的单调性，进而确定最大值点，由此可得九

d

y=c+—

（1）由散点图可知：x更适宜作为y关于*的经验回归方程类型；

£（叱-历）（％-》）

令则d=------------=^=5,c=y-曲=4.6-5x0.37=2.75,

x/—\20.55

二（叱-卬）

;=1

y关于x的经验回归方程为：^=2.75+-.

X

（2）设收发x千件快递获利z千元，则

z=（^t-y）x-K^---2.75j.r=-^-+12x-5（l<x<6）

①当x=2时，z=17,即该网点某天揽收2000件快递可获。的总利润约为17000兀.

②，Z'=--X2+12,令Z'=0,解得：x=4,.■.当x«l,4）时，z'>0；当x«4,6］时，z'<0；

・•.z在［1,4）上单调递增，在（4,6］上单调递减，.,.当x=4时，zmax=27,此时f=10.75：

单件快递的平均价格t=1075元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大

【题型六】指数型回归方程

【典例分析】

某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的

数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图.

U123456X

⑴该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y=阮+。和②y=两种方

案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，经计算方案①为3=1.2x-1.3,请根据

表2的数据，确定方案②的回归模型；

表2：

X12345

Z=Iny-0.700.41.11.7

（2）根据下表中数据，用决定系数店比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更

高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量.

经验回归方程9=1.21.3

2

Z(y.-x)1.90.1122

/=1

Z(七-可(必-y)Yx：y--nxy

参考公式及数据：启=J-----------T---------,a=y-hx,

2郭-yj讣-yj

/?-=1-禺---------=1-三---------.e2-86«17.5

E(z--y)?尸

/=J/=1

【答案】（1）y=e-；⑵选择方案②，理由见详解，17.5（千件）.

【分析】（1）丫=9-"两边取对数，求出7=3，1=0.5,代入公式求出各=0.59,

a=z-bx=-1.27^求出回归方程；

（2）求出亍=2.3,计算出所＞衣：,得到案②的回归模型精度更高、更可靠，并代入x=7求

出预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）.

【详解】（I）对〉=6m+"两边取对数得：lny=fer+a,令z=lny,

1+2+3+4+5口为7+0+。4+1.1+1.7=05,

其中工==3,

55

则g_lx(-0.7)+2x0+3x0.4+4xLl+5xl.7-5x3x0.5

=0.59,

12+22+32+42+52-5X32

^=z-&x=0.5-0.59x3=-1.27，

所以z=Iny=0.59%-1.27,即y=e059^127；

0.5+1+1.5+3+5.5__

(2)方案①R1.2X-1.3中，y=------------------=2.3,

5

--------------------------------1------

0.52+12+1,52+32+5.52-5x2.3216.3

—0.5+1+1.5+3+5.5

方案②y=e°”*T"中，同理可得:y=-----------------=2.3,

0.1122

/?；=1-«0.993

16.3

1=1

显然故方案②的回归模型精度更高、更可靠,

令y=/59—7中x=7得:y=e°^-..27=e2.g6~17.5,

所以预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）.

【提分秘籍】

基本规律

形如y=指数型，可以通过去对数换元，构造成线性回归

【变式训练】

多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研

制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比己有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱

成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量

单位：亿元）对年销售额丫（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x,

和年销售额上的数据（i=l,2,L,12）,该团队建立了两个函数模型：①尸a+夕/②），=/”,

其中％4,21均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，

令%=令匕=Iny（i=1,2,…,12）,计算得如下数据:

4年销售额/亿元

80-,

75-:

70-,

•

65-*

60-・

।।।手

CT1015202530年研发资金/亿元

Z(v；-vy京&-可（-）

Xy会…),

1=1i=li=l

206677020014

12、12.12

UV万)-£(%-〃)(％-田

i=\i=\/=!

4604.2031250000.30821500

（1）设％｝和出｝的相关系数为4,｛H和｛匕｝的相关系数为4,请从相关系数的角度，选择一个

拟合程度更好的模型；

（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于X的回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量X是多少亿元？

力一一元）（y-刃

附：①相关系数r="，回归直线9=a+6x中斜率和截距的最小二乘

\£（%-可次（y-才

V/=11=1

刃

估计公式分别为：石=J-----------,a=y-bx；②参考数据：

ta-丁丫

/=!

308=77x4,780«8.9443,e4-3820=80.

【答案】⑴模型＞=/”的拟合程度更好⑵⑴夕=/3”出（R）预测下一年的研发资金投

入量是27.1亿元

【分析】（1）由题意计算相关系数，比较它们的大小即可判断；（2）（i）先建立v关于x的的

线性回归方程，再转化为y关于％的回归方程；（2）利用回归方程计算y=80时x的值即可.

【详解】（1）由题意进行数据分析：

i=ll___2_1_5_0_0_______空用=0.86

731250(X)x2002500050

Vi=]i=l

12

1414

i=l=—®0.91

J[~1Z2U-J)l21Z2(v.-v)727770x0.30877x0.211

V<=1i=l

则闵＜同，因此从相关系数的角度，模型y=ez旬的拟合程度更好

（2）（i）先建立V关于X的线性回归方程.由y=e〃”，得lny=f+2x,即丫=/+心.

可(匕-口)|4

由于2=-£zL-；------------=-a0-018f=v-/lx=4.20-0.018x20=3.84

ZrU-)2770

i=l

所以》关于。的线性回归方程为0=0.02%+3.84,所以1哦=().()2%+3.84,则尸e002jt+3M.

0

（ii）下一年销售额y需达到80亿元，即y=80,代入y=e。"得，80=铲但二,乂e«8280

所以0.02x+3.84=4.382,解得x=27.1,所以预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元

【题型七】对数型回归方程

【典例分析】

发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还

将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地.通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年递

增.以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：

年份2014201520162017201820192020

年份代码X1234567

每户平均可支配收入y（千元）4152226293132

（1）根据散点图判断，丫:0+法与丫=。十"]!!》哪一个更适宜作为每户平均可支配收入y（千

元）关于年份代码X的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并建立y关于X的

回归方程（结果保留1位小数）；

（2）根据（1）建立的回归方程，试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过35

（千元）；

参考数据：

777

2J

yUe

»=1/=！1=]

22.71.2759235.113.28.2

_17

其中%=ln茗,参考公式：线性回归方程§=鼠+各中,

/1=1

金=y一》x.

【答案】（l）y=c+"lnx更适宜作为每户平均可支配收入），（千元）关于年份代码x的回归

方程模型，y=5.7+14.21nx；

⑵到2022年每户平均可支配收入才能超过35（千元）；

【分析】（1）根据图象，随着年份增加，每户平均可支配收入增加趋于缓慢，对数模型更适

A口.

（2）根据回归直线的计算方法，可得,关于x的回归方程为y=5.7+14.21nx.令y>35,最

小的整数x即为所求年份代码.

【详解】（1）根据题中散点图，得丫:,+^^犬更适宜作为每户平均

可支配收入y（千元）关于年份代码x的回归方程模型.

一（%-祖y-y）£X%-7”

d-j-1__________________=-i-l_____________

v/,-Vv„2-2235.1-7x1.2x22.7

/.\ui-u）/.«,-77m=-----------------«14.2

由己知数据，得ii13.2-7x1.2x1.2,

^c=y-du=22.7-14.2x1.2®5.7.故>关于x的回归方程为y=5.7+14.21nx.

（2）由题知,令5.7+14.21nx>35,整理，得lnx>2.1,即x-8.2.

故当x=9时，即到2022年每户平均可支配收入才能超过35（千元）.

【提分秘籍】

基本规律

形如y=b1og,x+“型，可以通过换元化归为线性回归，令t=1°g”X转化为回归直线

y=bt+a

【变式训练】

2022年6月5日是世界环境日，十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华

人民共和国噪声污染防治法》今起施行.噪声污染己经成为影响人们身体健康和生活质量的

严重问题，为了解声音强度。（单位：dB）与声音能量/（单位：W-cm-2）之间的关系,

将测量得到的声音强度。和声音能量/的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：

M/dB

60-

50..

40r

30-

20-

10■

ol-------'

01020304050^/(10-|2W-cm-2)

（1）根据散点图判断，D=a1+btI与+8馆/哪一个适宜作为声音强度。关于声音能量

/的回归模型？（能给出判断即可，不必说明理由）

（2）求声音强度。关于声音能量/的非线性经验回归方程（请使用题后参考数据作答）；

（3）假定当声音强度大于45dB时，会产生噪声污染，城市中某点P处共受到两个声源的影响，

这两个声源的声音能量分别是[“和4,且了+7已知点P处的声音能量等于/„与4之

lalb

和，请根据（2）中的非线性经验回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由.

—11（）

参考数据：7=1.04x10'".5=36.7,令叱=想小有W=叱，VV=-11.4,

1U[=1

io_io_io__

^（/,.-7）2=1.38x1021,（叱-W）2=1.48,（叱-W）.（0一方）=74,

f=l/=lf=l

,0.

^（/,-/）（D,.-D）=6.9x10",b=J-----------,a=D-bW，怆2。0.3.

iz（A-n2

1=1

【答案】（l）D="2+Hlg/（2）D=93.7+51g/⑶点尸处会受到噪声污染

【分析】（1）根据已知条件，结合图象的增长趋势，即可求解.

（2）令叱=lg/,,W=lg/,则。=/+a卬，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即

可求解.

（3）设点尸处的声音能量为L，则人=/“+/〃，利用基本不等式求出乙，再代入（2）中的

非线性经验回归方程，求出。，即可判断.

【详解】（1）解：散点图近似在一条曲线上