初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习3.2.1 单调性与最大（小）值（学生版）

3.2.1单调性与最大（小）值【知识梳理】知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．知识点三函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标知识点四求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．【基础自测】1．函数y＝x－eq\f(1,x)在[1,2]上的最大值为()A．0B．eq\f(3,2)C．2D．32．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则()A．f(3)<f(2)<f(1) B．f(1)<f(2)<f(3)C．f(2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(2)3．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是________．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1，))则f(x)的单调递减区间是________．5．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．【例题详解】一、定义法判断或证明函数的单调性例1(1)根据定义证明函数在区间上单调递增.(2)已知函数(为常数且)，试判断函数在(－1，1)上的单调性．跟踪训练1(1)已知函数，且.(=1\*romani)求函数的解析式；(=2\*romanii)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.(2)判断并证明在的单调性.二、求函数的单调区间例2(1)函数的单调递减区间是（

）A．B． C． D．(2)函数的单调递减区间为（

）A．（–∞，2]B．[2，+∞）C．[0，2]D．[0，+∞）跟踪训练2(1)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．(2)函数的单调减区间是______．三、单调性的应用命题点1已知单调区间求参数例3(1)函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．(2)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．(3)已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．跟踪训练3(1)（多选）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（

）A．， B．，C．， D．，(2)函数在区间上具有单调性，则m的取值范围为_______.(3)若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．命题点2与分段函数有关的单调性问题例4(1)（多选）已知函数在R上单调递减，则a不可能等于（

）A． B．1 C． D．2(2)已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是___________.跟踪训练4(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x－1，x≤1.))若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．(2)已知函数满足且，有，则实数a的取值范围是__________．（用集合或区间表示）命题点3根据函数的单调性解不等式例5(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)(2)已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）(3)已知，若，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．跟踪训练5(1)已知是定义在单调递减函数，若，则实数的取值范围是__________.(2)已知函数是定义在R上的增函数，且，那么实数a的取值范围为________．(3)已知定义在[1,4]上的函数是减函数，则满足不等式的实数的取值范围为____.四、图像法求函数的最值例6(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))求f(x)的最大值、最小值．(2)求函数在－的最值.(3)已知函数.完成下面两个问题：(=1\*romani)画出函数的图象，并写出其单调增区间：(=2\*romanii)求函数在区间上的最大值.(4)已知函数，的图象如图所示，请回答：(=1\*romani)当，时，求此函数的值域；(=2\*romanii)当，时，求此函数的值域.跟踪训练6画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：（1）；（2），；（3）；（4）；（5）；（6）.五、利用函数的单调性求最值例7(1)函数的值域为_______________．(2)已知，，求函数的最大值和最小值．(3)求的最小值．(4)已知函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋2)，x∈[3,5]．(=1\*romani)判断函数f(x)的单调性并证明；(=2\*romanii)求函数f(x)的最大值和最小值．跟踪训练7已知函数，且(1)求实数a的值；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)求函数在上的值域．【课堂巩固】1．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是()A．10,5 B．10,1C．5,1 D．以上都不对2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2B．－2C．2或－2D．03．已知函数对，都有，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4．已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．5．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（

）A．4 B．6 C．10 D．246．函数y＝eq\f(1,x－1)的单调递减区间是________．7．“”是“函数在区间上为严格增函数”的______条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）8．已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.9．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．10．（1）若函数的单调递减区间是，则实数的取值范围是______.（2）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______.11．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大（小）值点．(1)；(2)；(3)；(4)．12．已知函数(1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；(2)写出函数的递减区间．13．已知函数，求函数在区间上的最值.14．已知．(1)证明：在（2，+∞）单调递增；(2)解不等式：．【课时作业】1．“函数在区间上不单调”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知在上为增函数，则（

）A． B． C． D．3．若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知函数，则（

）A．的最大值为，最小值为B．的最大值为，无最小值C．的最大值为，无最小值D．的最大值为，最小值为5．已知是上的增函数，那么a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知函数的最小值为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．8．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（多选）若二次函数在区间上是增函数，则a可以是（

）A． B．0 C．1 D．210．（多选）下列函数中，在上为增函数的是（

）A． B． C． D．11．（多选）设函数，当为增函数时，实数的值可能是（

）A．2 B． C． D．112．（多选）已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是(

)A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数13．已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．14．函数的单调递增区间是______．15．已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．16．已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.17．已知函数，且，．(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定