初升高数学暑假衔接（人教版）第22讲 三角函数的概念（教师版）

第22讲三角函数的概念1．借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的含义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；4．掌握公式一并会应用一、三角函数的定义1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：叫做的正弦函数，记作.即；叫做的余弦函数，记作.即；叫做的正切函数，记作.即。2、三角函数定义域正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数：余弦函数：正切函数：3、三角函数另一种情况若已知角终边上一点（不与原点重合）不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，先求，则，，.三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。二、三角函数的符号【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．三、诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：其中注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．四、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010－110---－1001－10五、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）考点一：由终边或终边上的点求三角函数例1．若角的终边经过点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为角的终边上有一点，所以，故选：A【变式训练】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，所以，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.考点二：由三角函数值求终边上点的参数例2．角的终边经过点且，则b的值为（）A．3B．C．D．5【答案】B【解析】根据三角函数定义可得，且，即，解得．故选：B．【变式训练】若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三角函数的定义，可得，解得，即，则，所以.故选：C.考点三：三角函数的符号判断例3．已知且，则的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】∵已知，∴的终边在第一或第三象限．若的终边在第一象限，则，故，满足题意，若的终边在第三象限，则，故，不满足题意，∴的终边在第一象限.故选：A．【变式训练】确定下列各式的符号（1）)；（2）.【答案】（1）负号；（2）负号【解析】（1）因为是第二象限角，所以，因为是第三象限角，所以，所以，即的符号为负号.（2）因为，所以5是第四象限角，所以，又因为，所以，所以，所以的符号为负号.考点四：圆上的动点与旋转点例4．点在圆上沿逆时针方向匀速旋转每秒旋转弧度，已知1秒时，点A的坐标为，则3秒时，点A的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由1秒到3秒，点A旋转的角度为，又，所以点A的坐标为.故选：A.【变式训练】质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间，依题意有，解得，此时质点Q转过角度为，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为.故选：C考点五：诱导公式一的应用例5．（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故选：A.【变式训练】计算的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B.1．已知角的终边经过点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角的终边经过点，则，因此，所以.故选：B2．已知角的终边经过点，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，所以点，所以.故选：D3．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三角函数的定义可得.故选：A.4．已知第二象限角的终边经过点，则（）A．2B．C．D．6【答案】B【解析】的终边经过点，则，解得或，在第二象限，故，故.故选：B5．的值为（）A．负数B．正数C．0D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，，，所以，故选：A6．已知角A，B是三角形的两个内角，则点（）A．不可能在第一象限B．不可能在第二象限C．不可能在第三象限D．不可能在第四象限【答案】C【解析】A选项，当角A，B均为锐角时，.即此时点P在第一象限，故A错误；B选项，当角A为钝角，B为锐角时，.即此时点P在第二象限，故B错误；C选项，因三角形最多有一个钝角，故与不可能同时小于0，即点P不可能在第三象限，故C正确；D选项，当角A为锐角，B为钝角时，.即此时点P在第四象限，故D错误.故选：C7．（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C.8．点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】，，所以点位于第三象限.故选：C9．下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】对于①：，对于②：，对于③：，因为，所以，即，对于④：因为，所以.故选：C10．在平面直角坐标系xOy中，单位圆上一点P从点（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（）A．B．（）C．（，）D．（－，）【答案】A【解析】设与轴正半轴的夹角为，则点P逆时针方向运动弧长到达Q点后与轴正半轴的夹角为，此时，则，，故此时点Q的坐标为.故选：A1．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】因为角的终边经过点，所以；故选：D2．已知角的终边与直线重合且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设为直线上的点，则，则，得，，.故选：B3．已知角的终边过点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】角的终边过点，故可得，解得.故.故选：D.4．已知，则点在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】D【解析】因为，所以为第四象限角，所以，，所以点位于第四象限；故选：D5．已知角的终边位于第二象限，则点位于（）A．第二象限B．第三象限C．第四象限D．第一象限【答案】C【解析】因为角的终边在第二象限，则，，所以点P在第四象限．故选：C.6．在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可知，作出图示如下：根据题意可得，，作轴且垂足为；利用三角函数定义可得，；又点在第四象限，所以点的