河南省信阳市普通高中2024-2025学年高三数学上学期第一次教学质量检测理科试题含解析

河南省信阳市一般中学2024-2025学年高三数学上学期第一次教学质量检测理科试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．留意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置．2．选择题答案运用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案运用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3．请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，集合，则集合等于（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A与集合B，再求交集即可。【详解】由题得，，.故选：C.【点睛】本题考查了集合的基本运算，函数的定义域、解不等式问题，属于基础题.2.“”是“在上恒成立”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出在上恒成立时取值范围，结合充分条件和必要条件即可得出答案.【详解】在上恒成立，即在上恒成立，令，则在上恒成立，故在上单调递增，，所以.因，而推不出，所以“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件.故选：A.3.已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可求存在，使等式成立的实数的取值集合，求其补集即可.【详解】由得，函数在上为增函数，∴，故当命题“存在，使等式成立”是假命题时，实数的取值范围为.故选：D4.函数在区间的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项解除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，解除BD；又当时，，所以，解除C.故选：A.5.已知角终边所在直线的斜率为，则（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再依据二次齐次式化简代入即可求解.【详解】由三角函数定义得，所以．故选：D6.为加强环境爱护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发觉该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.假如在前5个小时消退了的污染物，那么污染物削减须要花的时间为（）A.7小时 B.10小时 C.15小时 D.18小时【答案】B【解析】【分析】依据前5个小时消退了的污染物，由，求得k，再设污染物削减所用的时间为t，由求解.【详解】因为前5个小时消退了的污染物，所以，解得，所以，设污染物削减所用的时间为t，则，所以，解得，故选：B7.已知定义在上的偶函数满意，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意,分析可得函数是周期为4的周期函数,由此可得，，用赋值法求出的值,由此计算即可得答案.【详解】依据题意,函数满意,则,又由为偶函数，则有,则有,即函数是周期为4的周期函数,，令可得.，，所以故选：B8.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是①函数的图象关于点对称②函数的图象关于直线对称③函数在单调递减④该图象向右平移个单位可得的图象A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④【答案】A【解析】【分析】依据的图象及三角函数图像和性质，解得函数的解析式，得到，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.【详解】由函数的图象可得，周期所以，当时函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数，对于①，当时，，正确；对于②，当时，，正确；对于③，令得，所以函数的单调递减区间为，，所以不正确；对于④，向右平移个单位，，所以不正确；故选：A.【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较困难的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.9.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围【详解】解：令，∵在上单调递减，∴在内递增，且恒大于0，且，．故选：C．10.已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换，化简三角函数，利用正弦型函数的单调性，建立不等式组，可得答案.【详解】，由，则，由题意，，则，解得.故选：C.11.已知实数，且，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，推断函数单调性，比大小.【详解】由，，，得，，，又，即，同理，即，所以，即，设函数，在上恒成立，故函数在上单调递增，所以，故选：A.12.已知函数及其导函数的定义域都为实数集，记若恒有成立，则正确结论共有（）（1）；（2）；（3）；（4）.A.（1）（3） B.（2）（3） C.（1）（2）（4） D.（2）（3）（4）【答案】B【解析】【分析】由题意，依据函数的对称性，可分别得到两个函数的对称轴，结合利用探讨极值的导数值，可得答案.【详解】对于（1），由，则令，可得，即，故由题意，只知函数的对称性，无法确定函数值，故（1）错误；对于（2），由，可得函数的图象关于直线对称，若函数存在极值，则必定在处取得，故，即，由，则函数的图象关于直线对称，故，依据函数的对称性，函数在处取得极值，由函数的图象关于直线对称，则函数在处取得极值，即，由函数的图象关于直线对称，则，即函数在处取得极值，由函数的图象关于直线对称，则函数在处取得极值，即，由函数的图象关于直线对称，则，若函数不存在极值，则函数必定为常值函数，故恒成立，故（2）正确；对于（3），由，则令，可得，即，故（3）正确；对于（4），由函数的图象关于直线对称，则，故（4）错误.故选：B.第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．13.已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.【答案】【解析】【分析】由导数的几何意义可求得的值，由切点在切线上可得的值，即可求解.【详解】因为函数的图象在点处的切线方程是，所以，，所以，故答案为：.14.已知直线分别与函数和的图象交于点，，则_________．【答案】3【解析】【分析】依据函数和互为反函数，关于对称，求出AB的中点坐标，即可得到结果.【详解】函数和互为反函数，则函数和关于对称，将与联立求得交点为，由直线分别与函数和的图象交于点为，，，，则点，和，的中点坐标为，则，即，故答案为：315.如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形.为南门位置，为东门位置，小区里有一条平行于的小路，若米，则圆弧的长为___________米【答案】【解析】【分析】连结，由，可得，，在△中，由正弦定理可得，，可求出，进而可求出，进而依据圆弧所对应的圆心角及半径，可求出圆弧的长度.【详解】连结，因为，所以，.在△中，由正弦定理可得，，即，解得，因为，且，所以，所以.故答案为：.16.已知，函数的最小值为，则的取值范围是：______.【答案】【解析】【分析】计算，得到，，探讨，，三种状况，计算得到答案.【详解】，解得.，其中，.当时，，故，即，化简得到，故或；当时，，解得或.当时，，故，即，化简得到，故或.综上所述：.故答案为：.【点睛】本题考查了依据函数最值求参数，意在考查学生的计算实力和综合应用实力.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，设：，成立；：，成立，假如“”为真，“”为假，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】由不等式恒成立问题，构造函数，，用配方法求函数最小值，由存在性问题，求，，利用单调性求最大值，再由“真假”或“假真”，列不等式组求解．【详解】若为真，则对，恒成立，设，配方得，∴在上的最小值为-3，∴，解得，∴为真时，.若为真，则，成立，即成立.设，则在上是增函数，∴的最大值为，∴，∴为真时，.∵“”为真，“”为假，∴与一真一假.当真假时，，∴.当假真时，∴，∴.综上所述，.【点睛】本题考查了恒成立问题及存在性问题及复合命题及其真假，属于中档题．18.已知函数是偶函数．（1）求实数的值；（2）设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由偶函数得对恒成立，结合对数运算性质化简可求解；（2）化简，则，令，则命题等价于有且只有一个正根，结合判别式与韦达定理求解即可【小问1详解】∵为偶函数，∴对随意，有，∴对恒成立．∴对恒成立，∴对恒成立，∴．【小问2详解】由（1）知，，∴由题意知有且只有一个实数根．令，则关于t的方程（*）有且只有一个正根．若，则，不合题意，舍去；若，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根．方程（*）有两相等正根等价于，解得．方程（*）的两根异号等价于，解得．综上所述，实数a的取值范围是．19.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特别角的三角函数值即可确定角B的大小；（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最终结合三角函数的性质即可求得的取值范围.【详解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.结合余弦定，∴，即，即，即，即，∵为锐角三角形，∴，∴，所以，又B为的一个内角，故.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由，结合正弦定理可得：为锐角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因，并利用余弦定理整理得，即.结合，得.由临界状态（不妨取）可知.而为锐角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化简得故的取值范围是.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：.由可得：，，则，.即的取值范围是.【整体点评】（I）的方法一，依据已知条件，利用余弦定理经过较困难的代数恒等变形求得，运算实力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为困难的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二干脆运用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.20.设函数.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，由在有变号的解即可得．（2）利用导数确定函数的单调性同，得其在上的单调性，得最小值，由最小值求得参数，并得出最大值．【详解】(1)由，当时，的最大值为，令，得，∴当时，在上存在单调递增区间，即在上存在单调递增区间时，的取值范围是；(2)令，得两根，，，∴在、上单调递减，在上单调递增，当时，有，∴在上的最大值为，又∵，即，∴在上的最小值为，得，，从而在上的最大值为.【点睛】本题考查导数与函数的单调性，考查导数求函数的最值．确定函数的单调性是解题关键．21.如图，扇形区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在马路OA和OB上．经测得，扇形区域的圆心角，半径为5千米．为了便利旅游参观，准备在扇形区域外修建一条马路，分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与相切于点S（异于点P，Q），设（弧度），将马路的长度记为（单位：千米），假设全部马路的宽度均忽视不计．（1）将y表示为的函数，并写出的取值范围；（2）求y的最小值，并求此时的值．【答案】（1），（2）的最小值为，此时的值为【解析】【分析】（1）由图知，在两个直角三角形中求得相加即可得，的范围易得；（2）令，换元后应用基本不等式求得最小值．【小问1详解】因为MN与相切于点S，所以，在中，因为，，所以，在中，因为，，所以，所以，（）【小问2详解】因，所以，令（），则，所以，当且仅当，即时取等号，此，又，所以．所以马路MN长度的最小值为，此时的值为．22.已知函数的最小值为0，其中.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对随意的，有成立，求实数的最小值；（Ⅲ）证明.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）对进行求导，已知最小值为0，可得微小值也为0，得，从而求出的值；（2）由题意随意的，有成立，可以令先通过，大致确定取值范围，再利用分类探讨法求出的最值；(3)由(2)知：令得：令得: