2025版新教材高中数学第二章圆锥曲线1椭圆1.2椭圆的简单几何性质课时作业北师大版选择性必修第一册

1．2椭圆的简洁几何性质必备学问基础练学问点一椭圆的几何性质及应用1.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0且λ≠1)有()A．相同的焦点B．相同的顶点C．相同的离心率D．相同的长、短轴2．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．43．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是________.学问点二椭圆的离心率4.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(2,3)5．已知焦点在x轴上的椭圆的方程为eq\f(x2,4a)＋eq\f(y2,a2－1)＝1，则a越大，该椭圆的形态()A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆6．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为eq\f(b,5)，则该椭圆的离心率为________.学问点三与椭圆有关的范围问题7.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点．若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))8．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2.若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率e的取值范围为________.9．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，F(3，0)为椭圆C的右焦点．若点P为椭圆C上的随意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，求eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围．关键实力综合练一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为()A．(±10，0)B．(±eq\r(69)，0)C．(0，±13)D．(0，±eq\r(69))2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B．eq\f(y2,6)＋x2＝1C．eq\f(x2,6)＋y2＝1D．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝13．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满意△AOF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A．eq\r(3)－1B．2－eq\r(3)C．eq\r(2)－1D．2－eq\r(2)4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满意eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0，1)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(0，eq\f(\r(2),2))D．(eq\f(\r(2),2)，1)5．如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A．eq\r(3)－1B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)6．[易错题]已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|的最小值是()A．0B．1C．2D．2eq\r(2)二、填空题7．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝eq\f(π,4)，若AB＝4，BC＝eq\r(2)，则椭圆的两个焦点之间的距离为________.8．已知F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，OP∥AB(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率是________.9．[探究题]如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球旁边一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P其次次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2).其中正确式子的序号是________.三、解答题10．如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(1,3)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上随意一点，若eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的最大值是12，求椭圆的方程．学科素养升级练1．[多选题]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为(0，eq\f(\r(5)－1,2))D．若eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1Q,\s\up6(→))，则椭圆C的长轴长为eq\r(5)＋eq\r(17)2．如图，圆O与椭圆相切，已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与圆O相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆的离心率为________.3．[学科素养——数学运算]已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)假如存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．1．2椭圆的简洁几何性质必备学问基础练1．解析：将椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0且λ≠1)化为标准方程，得eq\f(x2,λa2)＋eq\f(y2,λb2)＝1(λ>0且λ≠1)，其离心率e＝eq\f(\r(λa2－λb2),\r(λ)a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)，故选C.答案：C2．解析：将椭圆方程化为标准形式为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，所以长轴长为2，短轴长为2eq\r(\f(1,m))，由题意得2＝2×2eq\r(\f(1,m))，解得m＝4.答案：D3．解析：由已知，得a＝9，2c＝eq\f(1,3)×2a，所以c＝eq\f(1,3)a＝3，b2＝a2－c2＝72.又椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1.答案：eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝14．解析：将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，则a2＝1，b2＝eq\f(1,4)，所以a＝1，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(3),2)，故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案：A5．解析：设椭圆的离心率为e，由题意得a>1，且4a>a2－1，即1<a<2＋eq\r(5)，所以e2＝eq\f(4a－a2＋1,4a)＝1＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－a))，则a越大，离心率e越小，所以椭圆越接近于圆．故选A.答案：A6．解析：由椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S＝bc，该三角形的周长为2a＋2c，由题意可得S＝bc＝eq\f(1,2)(2a＋2c)·eq\f(b,5)，得a＋c＝5c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，因此该椭圆的离心率为eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)7．解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝eq\f(2,3)a，又a－c≤|PF2|≤a＋c，所以a－c≤eq\f(2a,3)≤a＋c，所以eq\f(a,3)≤c，所以eq\f(c,a)≥eq\f(1,3)，又0<eq\f(c,a)<1，所以椭圆的离心率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))，故选C.答案：C8．解析：当P是椭圆的上、下顶点时∠F1PF2最大，所以120°≤∠F1PF2<180°，所以60°≤∠F1PO<90°，所以sin60°≤sin∠F1PO<sin90°.因为|F1P|＝a，|F1O|＝c，所以eq\f(\r(3),2)≤eq\f(c,a)<1，则椭圆的离心率e的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))9．解析：由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝c2＋b2,a＋c＝2b,c＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝4,c＝3))，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.设P(m，n)(0<m<5)，则eq\f(m2,25)＋eq\f(n2,16)＝1，则n2＝16－eq\f(16,25)m2，·＝(m，n)·(3－m，－n)＝3m－m2－n2＝3m－m2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16－\f(16,25)m2))＝－eq\f(9,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(25,6)))eq\s\up12(2)－eq\f(39,4).因为0<m<5，所以－16<－eq\f(9,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(25,6)))eq\s\up12(2)－eq\f(39,4)≤－eq\f(39,4)，所以·的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－16，－\f(39,4))).关键实力综合练1．解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦点坐标为(0，±eq\r(69)).答案：D2．解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为标准形式为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq\r(5))，故可设所求椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq\r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,6)＝1.答案：B3．解析：不妨设F为椭圆的右焦点，点A在第一象限内，则由题意，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入椭圆方程，得eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，结合b2＝a2－c2，化简并整理，得c4－8a2c2＋4a4＝0，即e4－8e2＋4＝0，所以e＝eq\r(3)－1，故选A.答案：A4．解析：∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上．又点M在椭圆的内部，∴c<b，∴c2<b2＝a2－c2，即2c2<a2，∴eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又椭圆离心率e∈(0，1)，∴0<e<eq\f(\r(2),2).答案：C5．解析：因为过F1的直线MF1是圆F2的切线，|MF2|＝c，|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝eq\r(3)c.由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝eq\r(3)c＋c＝2a，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1.答案：A6．解析：设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，∴|＋|＝eq\r(4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋4yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＝2eq\r(2－2yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＝2eq\r(－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2).∵点P在椭圆上，∴0≤yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))≤1，∴当yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1时，|＋|取得最小值为2.故选C.答案：C7．解析：不妨设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意知2a＝4，∴a＝2.∵∠CBA＝eq\f(π,4)，BC＝eq\r(2)，∴不妨设点C的坐标为(－1，1).∵点C在椭圆上，∴eq\f(1,4)＋eq\f(1,b2)＝1，∴b2＝eq\f(4,3)，∴c2＝a2－b2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，c＝eq\f(2\r(6),3)，则椭圆的两个焦点之间的距离为eq\f(4\r(6),3).答案：eq\f(4\r(6),3)8．解析：由题意，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).因为OP∥AB，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\f(b2,a),c)，即b＝c，于是b2＝c2，即a2＝2c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)9．解析：椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ中相同的量是|PF|，都为a－c，所以②正确；两椭圆比较有：a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，所以①错误；两椭圆中轨道Ⅰ较扁，因此离心率较大，即eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2)，整理可得c1a2>a1c2，所以③正确，④错误．答案：②③10．解析：设F(－c，0).∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，∴a＝3c.设P(x0，y0)，则－3c≤x0≤3c.又＝(－c－x0，－y0)，＝(a－x0，－y0)，∴·＝(－c－x0，－y0)·(a－x0，－y0)＝－ac＋cx0－ax0＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝－ac＋cx0－ax0＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋b2－eq\f(b2,a2)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝eq\f(c2,a2)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－(a－c)x0＋b2－ac＝eq\f(1,9)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－(a－c)x0＋a2－c2－ac＝eq\f(1,9)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－2cx0＋5c2＝eq\f(1,9)(x0－9c)2－4c2.∴当x0＝－3c时，·有最大值，最大值为12c2＝12.∴c2＝1，∴a2＝9，b2＝a2－c2＝8，∴所求椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.学科素养升级练1．解析：由题意知，F1(－1，0)，F2(1，0).对于A：由椭圆的定义知，|QF1|＋|QF2|＝2a，所以|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|≥2a－|PF2|＝2a－1，当P，Q，F2三点共线时等号成立，故A正确；对于B：若椭圆C的短轴长为2，则b＝1.又c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.因为eq\f(12,2)＋12>1，所以点P在椭圆外，不符合题意，故B错误；对于C：因为点P(1，1)在椭圆内，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)<1，即b2＋a2<a2b2.又b2＝a2－c2＝a2－1，所以a2－1＋a2<a2(a2－1)，整理得a4－3a2＋1>0，解得a2<eq\f(3－\r(5),2)或a2>eq\f(3＋\r(5),2).因为a2>1，所以a2>eq\f(3＋\r(5),2)，则e2＝eq\f(c2,a2)<eq\f(2,3＋\r(5))＝eq\f(6－2\r(5),4)＝eq\b\lc\(\r