2018届广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（二）（文科）数学试题（解析版）

2018届广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（二）（文科）数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，若,，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为全集，所以，，因此，选B.2.若复数满足，则()A.1B.C.2D.3【答案】B【解析】因为，所以，即，，因此，选B.3.已知函数,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以，因此函数为上单调递增函数，从而由“”可得“”，由“”可得“”，即“”是“”的充分必要条件，选C.4.设满足约束条件，则的最小值为()A.4B.0C.2D.-4【答案】D【解析】先作可行域，如图，则直线过点A（-1,2）时取最小值-4，选D.5.若抛物线的焦点在直线上，则等于()A.4B.0C.-4D.-6【答案】A【解析】因为抛物线的焦点为，又因为抛物线的焦点在直线上，所以选A.6.某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标),并由最小二乘法计算得到回归直线的方程为,相关系数为.现给出以下3个结论：①；②直线恰好过点；③；其中正确结论是()A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，综上正确结论是①②，选A.7.执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为()A.-2B.-1C.D.【答案】B【解析】若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，符合题意；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；综上选B.8.如图是一种螺栓的简易三视图,其螺帽俯视图是一个正六边形,则由三视图尺寸,该螺栓的表面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】螺栓由一个正六棱柱与一个圆柱组合而成，其中正六棱柱的高为1，底边正六边形边长为2，圆柱高为6，底边圆半径为1.因此螺栓的表面积为正六棱柱表面积与圆柱侧面积和，正六棱柱的一个底面积为，正六棱柱的侧面积为圆柱侧面积为，因此螺栓的表面积为选C.点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．9.甲乙丙丁四个人背后各有1个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号．他们每人都说对了一半，则丙是()A.1号B.2号C.3号D.4号【答案】C【解析】若赵同学说：甲是2号为对，则乙不是3号；钱同学说：丙是2号是错，则乙是4号；孙同学说：丁是2号是错，丙是3号；李同学说：乙是3号是错，则丁是1号；此时甲是2号，乙是4号，丙是3号，丁是2号；若赵同学说：甲是2号为错，则乙是3号；孙同学说：丙是3号是错，丁是2号；钱同学说：丙是2号是错，乙是4号也是错的；与每人都说对了一半矛盾；综上丙是3号，选C.10.已知双曲线的左焦点为，右顶点为，虚轴的一个端点为，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得不妨设，则，因为为等腰三角形，所以只能是即，（舍去负值），选A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.已知函数的图象在区间上不单调,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为时，又因为函数的图象在区间上不单调,当时，；当时，；当时，；因此的取值范围为，选B.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间12.已知函数,曲线关于直线对称,现给出如结论：①若,则存在，使；②若，则不等式的解集为；③若，且是曲线的一条切线,则的取值范围是.其中正确结论的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】由题意得过点，且所以，因此，①若,则由，因此存在②若，则，此时,图像如图所示，因此不等式等价于，即不等式的解集为；③若，且，如图，则是曲线的一条切线,设切点为，则，因为，所以，由，所以，综上，正确结论的个数为3，选D.点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】因为，所以在点处的切线斜率为因为，所以切线方程为14.若，则__________．【答案】或【解析】因为所以所以，解得或所以或15.直角中，为中点，在斜边上，若,则__________．【答案】【解析】以B为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则,因为为中点，所以因为，所以所以16.数列满足.则__________．【答案】【解析】因为所以,两式相减得，当时，因此......三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在平面四边形中，.(Ⅰ)若,求；(Ⅱ)若,求.【答案】（1）（2）3【解析】试题分析：（1）根据正弦定理直接可得；（2）设，根据得，由余弦定理可得，在直角三角形中求得，最后解方程得.试题解析：(Ⅰ)由正弦定理得，，即,解得.(Ⅱ)设，在中，,在中,由余弦定理得，.又所以，即.整理得，解得或（舍去），即18.如图，在多面体中，四边形是梯形，，平面，平面⊥平面.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若是等边三角形，,求多面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）过点作，根据面面垂直性质定理得平面，由于平面,所以，再根据线面平行判定定理得平面同样由，根据线面平行判定定理得平面,最后根据面面平行判定定理得平面平面,即得平面.（2）先分割多面体为一个四棱锥与一个三棱锥，再找高或证线面垂直，由（1）可得平面，平面，最后根据锥体体积公式求体积.试题解析：(Ⅰ)过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面,平面,所以平面，又平面,所以，又平面,所以平面因为,平面,平面,所以平面,又,所以平面平面,又平面,所以平面.(Ⅱ)由(Ⅰ)平面（此时为中点），可得，又，所以平面，又平面平面，故点到平面的距离为.所以多面体的体积.19.从某企业生产的产品的生产线上随机抽取件产品,测量这批产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图：(Ⅰ)估计这批产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)若该种产品的等级及相应等级产品的利润(每件)参照以下规则(其中为产品质量指标值):当,该产品定为一等品,企业可获利200元；当且，该产品定为二等品,企业可获利100元；当且，该产品定为三等品,企业将损失500元；否则该产品定为不合格品,企业将损失1000元．(ⅰ)若测得一箱产品(5件)的质量指标数据分别为：76、85、93、105、112,求该箱产品的利润；(ⅱ)设事件；事件；事件.根据经验,对于该生产线上的产品,事件发生的概率分别为0.6826、0.9544、0.9974.根据以上信息,若产品预计年产量为10000件,试估计该产品年获利情况.(参考数据:)【答案】（1）平均数的估计值为100,方差的估计值为104．（2）100元，元【解析】试题分析：（1）根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均数，根据方差公式求方差，（2）(ⅰ)先根据定义分别求出各箱对应利润，再求和，(ⅱ))根据提供的概率分布,估计出10000件产品中三个等级的件数，再根据定义分别求出各箱对应利润，最后求和.试题解析：(Ⅰ)质量指标的样本平均数,质量指标的样本的方差,这种产品质量指标的平均数的估计值为100,方差的估计值为104．(Ⅱ)因.(i)计算得5件产品中有一等品两件：93,105；二等品两件：85,112；三等品一件：76.故根据规则,获利为:元．(ⅱ)根据提供的概率分布,该企业生产的10000件产品中一等品大约为件,二等品大约为件,三等品件,不合格品大约为件.估计年获利为:元.20.已知直线过点，且与抛物线相交于两点，与轴交于点，其中点在第四象限，为坐标原点.(Ⅰ)当是中点时，求直线的方程；(Ⅱ)以为直径的圆交直线于点，求的值.【答案】（1）（2）4【解析】试题分析：（1）根据中点坐标公式得的横坐标，代入抛物线方程得的纵坐标，最后根据点斜式求直线的方程；（2）先设坐标,以及直线方程根据三点共线设为，由圆的性质得，并用坐标表示，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简解得的值.试题解析：(Ⅰ)因为是中点，，点在轴上，所以的横坐标,代入得，，又点在第四象限，所以的坐标为，所以直线即直线的方程为.(Ⅱ)显然直线的斜率不为0，设直线的方程为,又三点共线，则可设为且，联立方程，化简得到,由韦达定理得,又在上，所以,因为在以为直径的圆上,所以，即,又，所以,即,所以.21.已知,函数.(Ⅰ)若有极小值且极小值为0,求的值；(Ⅱ)当时，,求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据a的正负讨论导函数零点情况，当时只有一个零点，且为极小值，再根据极小值为0,求的值；当时讨论两个零点大小，先确定极小值取法，再根据极小值为0,求的值；（2）先化简不等式为，再对时，变量分离，转化为讨论对应函数最值问题最小值，先根据与同号得>0，再根据放缩证明最小值恒大于零且趋于零，综合可得的取值范围.试题解析：(Ⅰ).①若，则由解得,当时，递减；当上，递增；故当时，取极小值，令,得（舍去）.②若，则由，解得.(i)若，即时，当，.递增；当上，递减；当上，递增.故当时，取极小值，令，得（舍去）（ii）若，即时，递增不存在极值；(iii)若，即时，当上，递增；，上，递减；当上，递增.故当时，取极小值,得满足条件.故当有极小值且极小值为0时,(Ⅱ)方法一：等价于,即，即①当时，①式恒成立；以下求当时不等式恒成立,且当时不等式恒成立时的取值范围．令,即，记.(i)当即时，是上的增函数，所以,故当时，①式恒成立；(ii)当即时，令,若，即时，则在区间上有两个零点,其中,故在上有两个零点:,在区间和上，递增；在区间上，递减；故在区间上，取极大值,②注意到，所以，所以,注意到,在区间上，递增，所以,当时，.故当时，在区间上，，而在区间上.当时，，也满足当时，；当时，.故当时，①式恒成立；(iii)若，则当时，，即，即当时，①式不可能恒成立.综上所述,所求的取值范围是.方法二：等价于，③当时，③式恒成立；当时，③式等价于：，令，则,当时，；当时，，故当时，③式恒成立；以下证明:对任意的正数,存在，使，取，则，令，解得，即时，,综上所述,所求的取值范围是.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数，).以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线上一点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)设点在上，点在上（异于极点），若四点依次在同一条直线上，且成等比数列,求的极坐标方程.【答案】（1）.（2）【解析】试题分析：（1）先根据平方关系消元得曲线的直角坐标方程，再根据将直角坐标方程化为极坐标方程，最后代入A点坐标解出,