高考数学大一轮复习课时214.6函数Y=Asin（ωxφ）的图象及简单应用课件

§4.6函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用教材研读1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图考点突破考点一“五点法”作图和图象变换考点二函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式考点三函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用考点四三角函数模型的简单应用1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)振幅周期频率相位初相

AT=①

f=

=

②

ωx+φ

φ教材研读y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找五个关键点,一般

先列表,后描点,连线,其中列表如下:x③

-

④

-

+

⑤

⑥

-

⑦

ωx+φ⑧

0

⑨

⑩

π

2π

y=Asin(ωx+φ)0A0-A0由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤:

1.y=2sin

的振幅、频率和初相分别为

(A)A.2,

,

B.2,

,

C.2,

,

D.2,

,-

2.函数y=cosx|tanx|

的大致图象是

(C)

3.(2018金华东阳二中高三调研)为得到函数y=cos

的图象,只需将函数y=sin2x的图象

(A)

个单位长度

个单位长度4.下图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一部分,则函

数f(x)的解析式为

f(x)=sin

+2

.

解析

由题中图象知,A=

=1,

=

-

=

,则T=

,∴ω=

,由

×

+φ=

+2kπ,k∈Z,得φ=-

+2kπ,k∈Z.又|φ|<π,∴φ=-

.∴f(x)=sin

+2.5.将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析

式是

y=sin

.

“五点法”作图和图象变换典例1已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)

的最小正周期是π,且当x=

时,f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式;(2)作出f(x)在[0,π]上的图象(要求列表).考点突破解析(1)因为函数f(x)的最小正周期是π,所以ω=2.又因为x=

时,f(x)取得最大值2.所以A=2,同时2×

+φ=2kπ+

,k∈Z,φ=2kπ+

,k∈Z,因为-

<φ<

,所以φ=

,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=2sin

.(2)因为x∈[0,π],所以2x+

∈

,列表如下:2x+

π

2π

x0

πf(x)120-201描点、连线得图象,如图.

◆探究

在本例条件下,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长

度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.解析由已知得y=g(x)=f(x-m)=2sin

=2sin

是偶函数,所以2m-

=

(2k+1),k∈Z,m=

+

,k∈Z,又因为m>0,所以m的最小值为

.方法指导作三角函数的图象的方法(1)用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为y=Asin(ωx+φ)(A>0,

ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;②求出最小正周期T=

;③求出振幅A;④列出一个周期内的五个特殊点,当要画出某指定区间上的图象

时,应列出该区间内的特殊点.(2)图象变换法①平移变换沿x轴平移,遵循“左加右减”法则;沿y轴平移,遵循“上加下减”法则.②伸缩变换沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的

(纵坐标不变);沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标不

变).1-1将函数f(x)=2sin

的图象向右平移φ个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的

,所得图象关于直线x=

对称,则φ的最小正值为

(B)A.

πB.

πC.

πD.

π解析将函数f(x)=2sin

的图象向右平移φ个单位,所得图象对应的解析式为y=2sin

=2sin

,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的

,所得图象对应的解析式为y=2sin

,令4x-2φ+

=kπ+

,k∈Z,得其对称轴方程为x=

+

+

,kx=

代入上式得φ=-

+

,k∈Z,则φ的最小正值为

π.1-2若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位,所得图象关

于y轴对称,则φ的最小正值是

(C)A.

B.

C.

D.

解析函数f(x)=sin2x+cos2x=

sin

的图象向右平移φ个单位,所得图象对应的函数解析式是y=

sin

,由题意可得

-2φ=kπ+

,k∈Z,即φ=-

-

,k∈Z,当k=-1时,φ的最小正值是

.故选C.典例2(1)(2016课标全国Ⅱ文,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如

图所示,则

(A)

函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式A.y=2sin

B.y=2sin

C.y=2sin

D.y=2sin

(2)函数f(x)=sin2x和函数g(x)的部分图象如图所示,则函数g(x)的解析式

可以是

(C)

A.g(x)=sin

B.g(x)=sin

C.g(x)=cos

D.g(x)=cos

解析(1)由题图可知A=2,

=

-

=

,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点

,所以2sin

=2,所以

+φ=2kπ+

,k∈Z,即φ=2kπ-

,k∈Z,当k=0时,φ=-

,所以y=2sin

,故选A.(2)f

=sin

=

,由图象可得g(x)的图象经过点

,代入验证:选项A,g

=sin

≠

,故不符合题意;选项B,g

=sin

≠

,故不符合题意;选项D,g

=cos

=-cos

≠

,故不符合题意;选项C,g

=cos

=cos

=

,故选C.方法指导确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法(1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,则A=

,b=

.(2)求ω,确定函数的最小正周期T,则可得ω=

.(3)求φ,常用的方法:①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A,ω,b已知)或代入图

象与直线y=b的交点的坐标求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.

具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点):ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”):ωx+φ=

;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点):ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”):ωx+φ=

;“第五点”:ωx+φ=2π.2-1函数f(x)=Asin(ωx+φ)

的图象如图所示,为了得到g(x)=cos3x的图象,只需将f(x)的图象

(D)

个单位长度

个单位长度解析由图象可知,A=1,

=

-

=

,故T=

=

,所以ω=3,所以f(x)=sin(3x+φ).又f

=sin

=sin

=-1,所以

+φ=

+2kπ,k∈Z,即φ=

+2kπ,k∈Z,又|φ|<

,所以φ=

,故f(x)=sin

.因为g(x)=cos3x=sin

,所以只需将f(x)的图象向左平移

个单位长度,即可得到g(x)的图象,故选D.2-2

(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)

在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ0

π

2πx

Asin(ωx+φ)05

-50(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的

y=g(x)图象的一个对称中心为

,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-

.补全数据如下表:ωx+φ0

π

2πx

πAsin(ωx+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sin

.(2)由(1)知f(x)=5sin

,得g(x)=5sin

.y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-

=kπ,k∈Z,解得x=

+

-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点

中心对称,所以

+

-θ=

,k∈Z,解得θ=

-

,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值

.典例3设函数f(x)=sin

+sin

,其中0<ωf

=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),

再将得到的图象向左平移

个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在

上的最小值.

函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用命题方向一三角函数图象变换与性质的综合问题解析(1)因为f(x)=sin

+sin

,所以f(x)=

sinωx-

cosωx-cosωx=

sinωx-

cosωx=

=

sin

.由题设知f

=0,所以

-

=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=

sin

,所以g(x)=

sin

=

sin

.因为x∈

,所以x-

∈

,当x-

=-

,即x=-

时,g(x)取得最小值-

.方法技巧三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路先将y=f(x)化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.典例4若关于x的方程2sin

=m在

上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是

(C)A.(1,

)

B.[0,2]

C.[1,2)

D.[1,

]命题方向二与三角函数有关的方程、不等式问题解析2sin

=m在

上有两个不相等的实数根等价于函数f(x)=2sin

的图象与直线y=m有两个交点.如图,在同一坐标系中作出y=f(x)与y=m的图象,由图可知m的取值范围是[1,2).

◆探究

若本例中两个实数根为x1,x2,则x1+x2=

.解析由题意知x1,x2分别为函数f(x)=2sin

2x+

的图象与直线y=m的交点A,Bx+

=

+kπ(k∈Z)可得f(x)的图象的对称轴的方程为x=

+

(k∈Z),故A,B两点关于直线x=

对称,则x1+x2=

×2=

.

方法技巧三角函数的零点、不等式问题(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0).(2)画出函数在一个周期上的图象.(3)利用图象解决与三角函数有关的方程、不等式问题.3-1已知函数f(x)=sinωx-

cosωx(ω>0),若方程f(x)=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,则实数ω的取值范围是

.解析由题意可得f(x)=2sin

,作出f(x)的函数图象如图所示:

令2sin

=-1,得ωx-

=-

+2kπ(k∈Z)或ωx-

=

+2kπ(k∈Z),∴x=

+

(k∈Z)或x=

+

(k∈Z).设直线y=-1与y=f(x)的图象在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A,第5个

交点为B,则xA=

+

,xB=

+

,∵方程f(x)=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,∴xA<π≤xB,即

+

<π≤

+

,解得

<ω≤

.3-2设f(x)=sinx(sinx+cosx)+2cos2x.求使不等式f(x)≥

成立的x的取值集合.解析因为f(x)=sin2x+sinx·cosx+2cos2x=1+

sin2x+

(1+cos2x)=

sin

+

,所以f(x)≥

⇒

+

sin

≥

⇒sin

≥0⇒2kπ≤2x+

≤2kπ+π,k∈Z⇒k